## 统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|ST546001

2023年1月3日

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• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础
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## 统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Central Limit Theorem

The following result explains why Gaussian noises (i.e., normal random variables) are so prevalent in nature.

Theorem $2.4$ (Lindeberg-Lévy central limit theorem (CLT)). Let $\left{X_j\right}_{j=1}^{\infty}$ be a sequence of i.i.d. random variables. Assume that $\mathbb{E} X_j^2<\infty$ and let $\sigma^2=\operatorname{Var}\left(X_j\right)$. Then
$$\frac{S_n-n \eta}{\sqrt{n \sigma^2}} \rightarrow N(0,1)$$
in the sense of distribution.
Outline of proof. Assume without loss of generality that $\eta=0$ and $\sigma=1$; otherwise we can shift and rescale $X_j$. Let $f$ be the characteristic function of $X_1$ and let $g_n$ be the characteristic function of $S_n / \sqrt{n}$. Then
$$g_n(\xi)=\mathbb{E} e^{i \xi S_n / \sqrt{n}}=\prod_{j=1}^n \mathbb{E} e^{i \xi X_j / \sqrt{n \sigma^2}}=\prod_{j=1}^n f\left(\frac{\xi}{\sqrt{n}}\right)=f\left(\frac{\xi}{\sqrt{n}}\right)^n .$$
Using Taylor expansion and the properties of characteristic functions we obtain
\begin{aligned} f\left(\frac{\xi}{\sqrt{n}}\right) & -f(0)+\frac{\xi}{\sqrt{n}} f^{\prime}(0)+\frac{1}{2}\left(\frac{\xi}{\sqrt{n}}\right)^2 f^{\prime \prime}(0)+o\left(\frac{1}{n}\right) \ & =1-\frac{\xi^2}{2 n}+o\left(\frac{1}{n}\right) . \end{aligned}
Hence
(2.2) $g_n(\xi)=f(\xi / \sqrt{n})^n=\left(1-\frac{\xi^2}{2 n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n \rightarrow e^{-\frac{1}{2} \xi^2} \quad$ as $n \rightarrow \infty$ for every $\xi \in \mathbb{R}$. Using Theorem 1.35, we obtain the stated result.

## 统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Cram´er’s Theorem for Large Deviations

Let $\left{X_j\right}_{j=1}^n$ be a sequence of i.i.d. random variables and let $\eta=\mathbb{E} X_j$. The laws of large numbers says that for any $\epsilon>0$, with probability close to 1 , $\left|S_n / n-\eta\right|<\epsilon$ for large enough $n$; conversely if $y \neq \eta$, then the probability that $S_n / n$ is close to $y$ goes to zero as $n \rightarrow \infty$. Events of this type, i.e., $\left{\left|S_n / n-y\right|<\epsilon\right}$ for $y \neq \eta$, are called large deviation events.

To estimate the precise rate at which $\mathbb{P}\left(\left|S_n / n-y\right|<\epsilon\right)$ goes to zero, we assume that the distribution $\mu$ of the $X_j$ ‘s has finite exponential moments.

Define the moment and cumulant generating functions as in Section 1.10:
(2.3) $M(\lambda)=\mathbb{E} e^{\lambda X_j}, \quad \Lambda(\lambda)=\log M(\lambda)$.
The Legendre-Fenchel transform of $\Lambda(\lambda)$ is
$$I(x)=\sup _\lambda{x \lambda-\Lambda(\lambda)} .$$
Let $\mu_n(\Gamma)=\mathbb{P}\left(S_n / n \in \Gamma\right)$. We have the following important characterization for $\mu_n$.

Theorem $2.7$ (Cramér’s theorem). $\left{\mu_n\right}$ satisfies the large deviation principle:
(i) For any closed set $F \in \mathcal{R}$
$$\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \mu_n(F) \leq-\inf {x \in F} I(x) .$$ (ii) For any open set $G \in \mathcal{R}$ $$\varliminf{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \mu_n(G) \geq-\inf {x \in G} I(x) .$$ Taking the two bounds together, this theorem suggests that $$\mu_n(\Gamma) \asymp \exp \left(-n \inf {x \in \Gamma} I(x)\right) .$$

# 随机分析代考

## 统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Central Limit Theorem

Veft ${X$ j $\backslash$ right $}$ _ $j=1}^{\wedge}{\backslash i n f t y}$ 是独立同分布随机变量的序列。假使，假 设 $\mathbb{E} X_j^2<\infty$ 然后让 $\sigma^2=\operatorname{Var}\left(X_j\right)$. 然后
$$\frac{S_n-n \eta}{\sqrt{n \sigma^2}} \rightarrow N(0,1)$$

$$g_n(\xi)=\mathbb{E} e^{i \xi S_n / \sqrt{n}}=\prod_{j=1}^n \mathbb{E} e^{i \xi X_j / \sqrt{n \sigma^2}}=\prod_{j=1}^n f\left(\frac{\xi}{\sqrt{n}}\right)=f\left(\frac{\xi}{\sqrt{n}}\right)$$

$$f\left(\frac{\xi}{\sqrt{n}}\right)-f(0)+\frac{\xi}{\sqrt{n}} f^{\prime}(0)+\frac{1}{2}\left(\frac{\xi}{\sqrt{n}}\right)^2 f^{\prime \prime}(0)+o\left(\frac{1}{n}\right)$$

$(2.2) g_n(\xi)=f(\xi / \sqrt{n})^n=\left(1-\frac{\xi^2}{2 n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n \rightarrow e^{-\frac{1}{2} \xi^2}$ 作

## 统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Cram´er’s Theorem for Large Deviations

$\eta=\mathbb{E} X_j$. 大数定律说对于任何 $\epsilon>0$, 概率接近 $1,\left|S_n / n-\eta\right|<\epsilon$

(2.3) $M(\lambda)=\mathbb{E} e^{\lambda X_j}, \quad \Lambda(\lambda)=\log M(\lambda)$.

$$I(x)=\sup \lambda x \lambda-\Lambda(\lambda) .$$ 让 $\mu_n(\Gamma)=\mathbb{P}\left(S_n / n \in \Gamma\right)$. 我们有以下重要的特征 $\mu_n$. (i) 对于任何闭集 $F \in \mathcal{R}$ $$\varlimsup{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \mu_n(F) \leq-\inf x \in F I(x) .$$
(ii) 对于任何开集 $G \in \mathcal{R}$
$$\lim n \rightarrow \infty \frac{1}{n} \log \mu_n(G) \geq-\inf x \in G I(x) .$$

$$\mu_n(\Gamma) \asymp \exp (-n \inf x \in \Gamma I(x))$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。