## 统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|MATH4512

2023年1月3日

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## 统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Invariant Distribution

Given the initial distribution of the Markov chain $\boldsymbol{\mu}_0$, the distribution of $X_n$ is then given by
$$\boldsymbol{\mu}_n=\boldsymbol{\mu}_0 \boldsymbol{P}^n .$$
We call a distribution $\pi$ an invariant distribution or stationary distribution if
$$\pi=\pi P .$$
If the initial distribution is an invariant distribution, then the distribution of the Markov chain will be invariant in time. It is also useful to define the invariant measure or stationary measure $\boldsymbol{\pi}$ of a Markov chain if (3.3) holds and $\pi_i \geq 0$ for any $i \in S$, but $\pi$ need not be normalized.

One can represent a finite Markov chain by a directed graph, as shown in Figure 3.1. The arrows and real numbers show the transition probability of the Markov chain. The transition probability matrix corresponding to the left side of the figure is
$$\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \ 0 & 0 & 1 \end{array}\right],$$
which is a reducible matrix (see Definition 3.6) and has two linearly independent invariant distributions $\boldsymbol{\pi}_1=(1,0,0)$ and $\boldsymbol{\pi}_2=(0,0,1)$. The transition probability matrix corresponding to the right side of the figure is
$$\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \ 0 & 1 & 0 \end{array}\right] .$$
which is irreducible and has only one invariant distribution $\pi=(1 / 4,1 / 2,1 / 4)$.

## 统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Ergodic Theorem for Finite Markov Chains

As we have seen, irreducibility itself is enough to guarantee the convergence of the time average to the ensemble average. However, irreducibility is not enough to guarantee strong ergodicity; namely
$$\boldsymbol{\mu}n=\boldsymbol{\mu}_0 \boldsymbol{P}^n \rightarrow \boldsymbol{\pi}$$ for any initial distribution $\boldsymbol{\mu}_0$. The simplest counterexample is as follows: $$\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{array}\right]$$ We have $\boldsymbol{P}^{2 n}=\boldsymbol{I}$ and $\boldsymbol{P}^{2 n+1}=\boldsymbol{P}$; thus $\boldsymbol{\mu}{r u}$ will oscillate instead of converge to some limit. This type of periodicity is a barrier for strong ergodicity. To avoid this, we introduce a stronger condition called the primitive chain.
Definition 3.10. A Markov chain is said to be primitive if there exists an $s>0$ such that $\left(\overline{\boldsymbol{P}}^s\right)_{i j}>0$ for any pair $(i, j)$.

Theorem 3.11. Assume that the Markov chain is primitive. Then for any initial distribution $\boldsymbol{\mu}0$ $$\boldsymbol{\mu}_n=\boldsymbol{\mu}_0 \boldsymbol{P}^n \rightarrow \boldsymbol{\pi} \quad \text { exponentially fast as } n \rightarrow \infty$$ where $\boldsymbol{\pi}$ is the unique invariant distribution. Proof. Given two distributions, $\boldsymbol{\mu}_0$ and $\tilde{\boldsymbol{\mu}}_0$, we define the total variation distance by $$d\left(\boldsymbol{\mu}_0, \tilde{\boldsymbol{\mu}}_0\right)=\frac{1}{2} \sum{i \in S}\left|\mu_{0, i}-\tilde{\mu}{0, i}\right| .$$ Since $$0=\sum{i \in S}\left(\mu_{0, i}-\tilde{\mu}{0, i}\right)=\sum{i \in S}\left(\mu_{0, i}-\tilde{\mu}{0, i}\right)^{+}-\sum{i \in S}\left(\mu_{0, i}-\tilde{\mu}_{0, i}\right)^{-},$$

# 随机分析代考

## 统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Invariant Distribution

$$\boldsymbol{\mu}_n=\boldsymbol{\mu}_0 \boldsymbol{P}^n .$$

$$\pi=\pi P \text {. }$$

## 统计代写|随机分析作业代写stochastic analysis代写|Ergodic Theorem for Finite Markov Chains

$$\boldsymbol{\mu} n=\boldsymbol{\mu}0 \boldsymbol{P}^n \rightarrow \boldsymbol{\pi}$$ 对于任何初始分布 $\boldsymbol{\mu}_0$. 最简单的反例如下: $$\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{llll} 0 & 1 & 1 & 0 \end{array}\right]$$ 我们有 $\boldsymbol{P}^{2 n}=\boldsymbol{I}$ 和 $\boldsymbol{P}^{2 n+1}=\boldsymbol{P}$; 因此 $\boldsymbol{\mu} \boldsymbol{r u}$ 将振荡而不 是收敛到某个极限。这种类型的周期性是强遍历性的障 碍。为了避免这种情况，我们引入了一个更强的条件， 称为原始链。 定义 3.10。如果存在 $s>0$ 这样 $\left(\overline{\boldsymbol{P}}^s\right){i j}>0$ 对于任何 一对 $(i, j)$.

$$\boldsymbol{\mu}n=\boldsymbol{\mu}_0 \boldsymbol{P}^n \rightarrow \boldsymbol{\pi} \quad \text { exponentially fast as } n \rightarrow \infty$$ 在哪里 $\boldsymbol{\pi}$ 是唯一不变分布。证明。给定两个分布， $\boldsymbol{\mu}_0$ 和 $\tilde{\boldsymbol{\mu}}_0$ ，我们定义总变异距离 $$d\left(\boldsymbol{\mu}_0, \tilde{\boldsymbol{\mu}}_0\right)=\frac{1}{2} \sum i \in S\left|\mu{0, i}-\tilde{\mu} 0, i\right| .$$

$$0=\sum i \in S\left(\mu_{0, i}-\tilde{\mu} 0, i\right)=\sum i \in S\left(\mu_{0, i}-\tilde{\mu} 0, i\right)$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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