# 物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|Fluctuation-Dissipation Theorem

#### Doug I. Jones

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## 物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|Fluctuation-Dissipation Theorem

Combining (17.21) with (17.12), we find the dynamic response function is given by the relation
$$\chi_i(t)=-\beta \frac{d}{d t} C_i(t)$$
called the fluctuation-dissipation theorem (FDT), which is valid independently of the form of the external force $f_i(t)$. The relation has its generalized form,
$$\chi_{j i}(t)=-\beta \frac{d}{d t} C_{j i}(t)$$
FDT contrasts with the static linear response theory result, $\chi_{j i}=\beta\left\langle\Delta \mathcal{X}j \Delta \mathcal{X}_i\right\rangle_0$ (9.4): while from the correlation of a time series signal at equal time one measures the static susceptibility of the system, from the correlation at different time one can find systems’ dissipative dynamic response to a time-dependent small disturbance. It is worth mentioning that for nonphysical complex systems with the primary variable $q_j$ and the noise strength $\mathcal{D}$ other than temperature, (17.22) is replaced by $$\chi{j i}(t)=-\mathcal{D}^{-1} \frac{d}{d t}\left\langle\Delta q_j(t) \Delta q_i(0)\right\rangle_0$$
The linear response relation can be written as
$$\Delta X_j(t)=\int_{-\infty}^t \chi_{j i}\left(t-t^{\prime}\right) f\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}=\int_{-\infty}^{\infty} \chi_{j i}\left(t-t^{\prime}\right) f_i\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime},$$
where the causality, $\chi_{j i}\left(t-t^{\prime}\right)=0$ for $t-t^{\prime}<0$, is noted. The Fourier transform is
$$\Delta X_j(\omega)=\chi_{j i}(\omega) f_i(\omega)$$
where
$$\chi_{j i}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} d t e^{i \omega t} \chi_{j i}(t)=\int_0^{\infty} d t e^{i \omega t} \chi_{j i}(t)$$

## 物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|Dielectric Response

We consider a system consisting of permanent dipole moments, e.g., water, subject to an electric field $\boldsymbol{E}(t)$. The perturbing Hamiltonian is given by
$$\mathcal{H}^{\prime}=-\boldsymbol{E}(t) \cdot \mathcal{P}=-E(t) \mathcal{P}$$
where $\mathcal{P}=\sum_{i=1}^N \boldsymbol{p}i, \boldsymbol{p}_i$ being a dipole moment of a molecule $i, \mathcal{P}$ is total diopole moment along the direction of the field. The polarization defined by $P(t)=\langle\mathcal{P}(t)\rangle$ under the field satisfies the linear response relation $$P(t)=\int{-\infty}^t d t^{\prime} \chi_P\left(t-t^{\prime}\right) E\left(t^{\prime}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} d t^{\prime} \chi_P\left(t-t^{\prime}\right) E\left(t^{\prime}\right)$$
and its Fourier transform
$$P(\omega)=\chi_P(\omega) E(\omega)$$
where
$$\begin{gathered} \chi_P(t)=-\beta \frac{d}{d t}\langle\Delta \mathcal{P}(t) \Delta \mathcal{P}(0)\rangle_0 \ \chi_P(\omega)=\int_0^{\infty} d t e^{i \omega t} \chi_P(t) . \end{gathered}$$
are respectively the dielectric dynamic response functions in real and Fourier spaces.

As an example, we adopt the Debye model, according to which the dipole correlation function decays with a single relaxation time $\tau$ : \begin{aligned} \langle\Delta \mathcal{P}(t) \Delta \mathcal{P}(0)\rangle_0 & =\left\langle(\Delta \mathcal{P})^2\right\rangle_0 e^{-t / \tau} \ & =k_B T \chi_P e^{-t / \tau} \end{aligned}
where $\chi_P$ is static electric susceptibility (9.7) that can be identified as $\chi_P(\omega \rightarrow 0)$, from (17.36) and (17.35). From (17.35), we obtain the dielectric response function
$$\chi_P(t)=k_B T \chi_P \tau^{-1} e^{-t / \tau}$$
and the frequency dependent electric subsceptibility
$$\chi_P(\omega)=\chi_P /(1-i \omega \tau) .$$

# 统计物理代考

## 物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|Fluctuation-Dissipation Theorem

$$\chi_i(t)=-\beta \frac{d}{d t} C_i(t)$$

$$\chi_{j i}(t)=-\beta \frac{d}{d t} C_{j i}(t)$$
FDT对比静态线生响应理论结果，
$\chi_{j i}=\beta\left\langle\Delta \mathcal{X}j \Delta \mathcal{X}_i\right\rangle_0(9.4):$ 从同一时间的时间序列信 号的相关性可以衡量系统的静态敏感性，从不同时间的 相关性可以发现系统对时间相关的小扰动的耗散动态响 应。值得一提的是，对于具有主变量的非物理复杂系统 $q_j$ 和噪声强度 $\mathcal{D}$ 除了温度， (17.22) 被替换为 $$\chi j i(t)=-\mathcal{D}^{-1} \frac{d}{d t}\left\langle\Delta q_j(t) \Delta q_i(0)\right\rangle_0$$ 线性响应关系可以写成 $$\Delta X_j(t)=\int{-\infty}^t \chi_{j i}\left(t-t^{\prime}\right) f\left(t^{\prime}\right) d t^{\prime}=\int_{-\infty}^{\infty} \chi_{j i}(t$$

$$\Delta X_j(\omega)=\chi_{j i}(\omega) f_i(\omega)$$

$$\chi_{j i}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} d t e^{i \omega t} \chi_{j i}(t)=\int_0^{\infty} d t e^{i \omega t} \chi_{j i}(t)$$

## 物理代写|统计物理代写Statistical Physics of Matter代考|Dielectric Response

$$\mathcal{H}^{\prime}=-\boldsymbol{E}(t) \cdot \mathcal{P}=-E(t) \mathcal{P}$$

$$P(t)=\int-\infty^t d t^{\prime} \chi_P\left(t-t^{\prime}\right) E\left(t^{\prime}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} d t^{\prime} \chi_P(t-$$

$$P(\omega)=\chi_P(\omega) E(\omega)$$

$$\chi_P(t)=-\beta \frac{d}{d t}\langle\Delta \mathcal{P}(t) \Delta \mathcal{P}(0)\rangle_0 \chi_P(\omega)=\int_0^{\infty} d t e^{i \omega t}$$

$$\langle\Delta \mathcal{P}(t) \Delta \mathcal{P}(0)\rangle_0=\left\langle(\Delta \mathcal{P})^2\right\rangle_0 e^{-t / \tau} \quad=k_B T \chi_P e^{-}$$在哪里 $\chi_P$ 是静电敏感性 (9.7)，可以确定为 $\chi_P(\omega \rightarrow 0)$ ，来自 (17.36) 和 (17.35)。从 (17.35)，我们得到介电 响应函数
$$\chi_P(t)=k_B T \chi_P \tau^{-1} e^{-t / \tau}$$

$$\chi_P(\omega)=\chi_P /(1-i \omega \tau)$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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