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黎曼曲面是一个类似于曲面的构型，它在复平面上覆盖着几个，一般来说是无限多的 “片”。这些薄片可以有非常复杂的结构和相互的联系。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|REGULARITY OF INDIVIDUAL TERMS

We have now shown that the individual terms in the Laplace transform add up to the Laplace transform of the monodromy. Finally we have to show that the individual terms have regular singularities. This will verify properties (2.5.4) and (2.5.5) from §2. The formal sum of the power series for the individual terms will then give the power series for the singularities of the Laplace transform of the monodromy, due to the estimates given in the previous section.
Condition (2.5.4)
First we must prove that the terms $f_n(\zeta)$ have locally finite regular singularities. To do this we use the following proposition, a technical extension of the wellknown regularity of the Gauss-Manin connection.

Suppose $\left(Y, Y^{\prime}\right)$ is a pair consisting of a complex manifold and a closed analytic subset. Suppose $g: Y \rightarrow \mathbf{C}$ is a holomorphic function, and $b$ is a holomorphic form of top degree. Suppose that for each $\zeta$ in the universal cover of $D^(s, \epsilon)$, we have a cycle in relative homology $\eta(\zeta)$, such that $\zeta$ is not contained in the support of $g . \eta(\zeta)$, and such that for $\zeta^{\prime}$ near $\zeta, \eta\left(\zeta^{\prime}\right)$ is homologous to $\eta(\zeta)$ by a homology $\kappa\left(\zeta, \zeta^{\prime}\right)$ whose support doesn’t meet $\zeta$ (in other words, $\eta\left(\zeta^{\prime}\right)-\eta(\zeta)=\partial \kappa\left(\zeta, \zeta^{\prime}\right)$ in relative homolory). Then the function $$ f(\zeta)=\int_{\eta(\zeta)} \frac{b}{g-\zeta} $$ is a multivalued analytic function on $D^(s, \epsilon)$.
Proposition 10.1 Suppose that $Y^{\prime}$ is a divisor with normal crosings in $Y$, and suppose that the critical point sets of the function $g$ on $\left(Y, Y^{\prime}\right)$ are compact. Suppose there is a compact subset $K \subset Y$ such that for any $\zeta$ in the universal cover of $D^*(s, \epsilon)$, the cycle $\eta(\zeta)$ is contained in $K$. Suppose also that the homologies $\kappa\left(\zeta, \zeta^{\prime}\right)$ are contained in $K$. Then the function $f(\zeta)$ has regular singularities.

Proof: Since the critical point sets are compact, we may make a resolution of singularities $\tilde{Y} \rightarrow Y$, such that the fibers of $g$ are divisors with normal crossings and the strict transform $\tilde{Y}^{\prime}$ of $Y^{\prime}$ is a divisor with normal crossings, which crosses fibers of $g$ normally $[12]$.

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Uniformity of N

To complete the proof of condition (2.5.4), we need to obtain a uniform bound for the numbers $N$ in the expansions of $f_n(\zeta)$. Let $U^I$ be a neighborhood of some component of the critical point set in $Z_I / \Gamma_I$. Here everything looks like in the algebraic situation, because the critical point set is a compact subvariety. Let $s$ be the point to which the component maps under $g$. For any $\zeta$ close to $s$, let $U_\zeta^I=g^{-1}(\zeta) \cap U^I$. For any $J$ and $\alpha: J \rightarrow I$ let $U^{J, \alpha} \subset Z_J / \Gamma_J$ denote $\alpha^{-1} U^I$, and similarly for $U_\zeta^{J, \alpha}$. Then there is an action of the monodromy operator $T$ on the homology $H_*\left(U_\zeta^I, \cup_\alpha \alpha U_\zeta^{J, \alpha}\right)$. There is a number $N_I$ such that $\left(T^{N_I}-I\right)^K=0$ on this homology group for some $K$. We have to show that there is a uniform bound for this number $N_I$, independent of the index $I$ or the component of the critical point set.

There is a spectral sequence for relative homology, which converges to $H_\left(U_\zeta^I, U_\alpha \alpha U_\zeta^{J, \alpha}\right)$. The $E^2$ term is a direct sum of homology groups of the form $H_\left(U_\zeta^J\right)$. On each of these groups we have $\left(T^{M_J}-I\right)^K=0$ for some $K$. The number $N_I$ is the least common multiple of the $M_J$ which occur for the terms in the spectral sequence. Thus it suffices to show that there is a bound for the $M_J$.

Now recall from above that we can write $Z_J=Z^a \times Z^b$ where $g$ is constant on $Z^b$ and has isolated critical points on $Z^a$. Then $Z_J / \Gamma_J=Z^a / \Gamma^{\prime} \times X^b$. We may enlarge $U^{J, \alpha}$ until it has the form $U=U^{\prime} \times X^b$, for a relatively compact $U^{\prime} \subset Z^a / \Gamma^{\prime}$. Then $U_\zeta=U_\zeta^{\prime} \times X^b$. Further we may choose a realization of the monodromy operator which is constant in the $X^b$ direction. By the Künneth formula it suffices to bound the exponent $M$ such that $\left(T^M-I\right)=0$ on $H_*\left(U_\zeta^{\prime}\right)$. In other words, we may assume that $g$ has isolated singularities on $U$.

Suppose $u$ is a class in $H_*\left(U_\zeta\right)$. There is a retraction $R$ from $U$ to $U_s$, and we may assume that this retraction commutes with the monodromy operator. In particular, $R(T-I) u=0$. Note that $(T-I)$ is a factor in $\left(T^M-I\right)$. Therefore it suffices to bound the number $M$ such that $\left(T^M-I\right)^K u=0$ for some $K$ for all $u$ such that $R u=0$. But the singular fiber $U$, has isolated singularities, so if $R u=0$ then $u$ is a sum of classes supported on small neighborhoods of the singularities.

A singularity has the form $\left(s_1, \ldots, s_n\right)$, where $s_k$ are singularities of $g^k=$ $g_{j_{k-1} j_k}$ on $Z$. Let $U^k$ be a small neighborhood of $s_k$, and we may assume $U=U^1 \times \ldots U^n$. Choose local coordinates $z_k$ so that $s_k$ is given by $z_k=0$, and $g^k=\left(z_k\right)^{\nu_k}$ (we may change $g^k$ by constants-this moves the point $s$ to 0 ). The $\nu_k$ come from a finite set of numbers, depending on the orders of zeros of the one-forms $a_i$. Note that the $g^k$ are not identically zero because of the condition that the singularities are isolated.

黎曼曲面代写

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|REGULARITY OF INDIVIDUAL TERMS

我们现在已经表明，拉普拉斯变换中的各个项加起来就 是单值的拉普拉斯变换。最后，我们必须证明各个项具 有规则的奇点。这将验证 §2 中的属性 (2.5.4) 和 (2.5.5)。由于上一节中给出的估计，单个项的幂级数的 形式和将给出单项的拉普拉斯变换奇点的幂级数。 条件 (2.5.4)
首先我们必须证明条件 $f_n(\zeta)$ 具有局部有限正则奇点。 为此，我们使用以下命题，这是众所周知的 GaussManin 连接规律性的技术扩展。
认为 $\left(Y, Y^{\prime}\right)$ 是由复流形和闭解析子集组成的一对。认 为 $g: Y \rightarrow \mathbf{C}$ 是全纯函数，并且 $b$ 是最高阶的全纯形 式。假设对于每个 $\left(\right.$ 在万能的封面 $\left.D^{(} s, \epsilon\right)$ ，我们有一个 相对同源䀠环 $\eta(\zeta)$, 这样 $\zeta$ 不包含在支持中 $g . \eta(\zeta)$ ，这 样对于 $\zeta^{\prime}$ 靠近 $\zeta, \eta\left(\zeta^{\prime}\right)$ 同源于 $\eta(\zeta)$ 通过同源 $\kappa\left(\zeta, \zeta^{\prime}\right)$ 谁 的支持不符合 $\zeta$ (换句话说， $\eta\left(\zeta^{\prime}\right)-\eta(\zeta)=\partial \kappa\left(\zeta, \zeta^{\prime}\right)$ 相对同调 $)$ 。然后是函数
$$
f(\zeta)=\int_{\eta(\zeta)} \frac{b}{g-\zeta}
$$
是一个多值解析函数 $\left.D^{(} s, \epsilon\right)$.
命题 $10.1$ 假设 $Y^{\prime}$ 是具有正常交叉点的除数 $Y$ ，并假设函 数的临界点集 $g$ 在 $\left(Y, Y^{\prime}\right)$ 紧凑。假设有一个紧凑的子集 $K \subset Y$ 这样对于任何 $\zeta$ 在万能的封面 $D^*(s, \epsilon)$ ，周期 $\eta(\zeta)$ 包含在 $K$. 还假设同源性 $\kappa\left(\zeta, \zeta^{\prime}\right)$ 包含在 $K$. 然后是 函数 $f(\zeta)$ 有规则的奇点。
证明: 由于临界点集是栋凑的，我们可以解决奇点 $\tilde{Y} \rightarrow Y$ ，这样的纤维 $g$ 是具有正常交叉和严格变换的除 数 $\tilde{Y}^{\prime}$ 的 $Y^{\prime}$ 是具有正常交叉的除数，它与纤维交叉 $g$ 一般 $[12]$

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Uniformity of N

为了完成条件证明 (2.5.4)，我们需要获得数字的统一 界限 $N$ 在扩展中 $f_n(\zeta)$. 让 $U^I$ 是临界点集的某个组成部 分的邻域 $Z_I / \Gamma_I$. 这里的一切看起来都像代数情况，因 为临界点集是一个紧凑的子笶。让 $s$ 是组件映射到的点 $g$. 对于任何 $\zeta$ 相近 $s$ ，让 $U_\zeta^I=g^{-1}(\zeta) \cap U^I$. 对于任何 $J$ 和 $\alpha: J \rightarrow I$ 让 $U^{J, \alpha} \subset Z_J / \Gamma_J$ 表示 $\alpha^{-1} U^I$ ，同样对 于 $U_\zeta^{J, \alpha}$. 然后是单值算子的一个动作 $T$ 关于同源性 $H_\left(U_\zeta^I, \cup_\alpha \alpha U_\zeta^{J, \alpha}\right)$. 有一个数 $N_I$ 这样 $\left(T^{N_I}-I\right)^K=0$ 在这个同源群上 $K$. 我们必须证明这 个数字有一个统一的界限 $N_I$ ，独立于索引 $I$ 或临界点集 的组成部分。 存在相对同源性的光谱序列，其收敛于 $H_{\left(U_\zeta^I, U_\alpha \alpha U_\zeta^{J, \alpha}\right)}$. 这 $E^2$ 项是以下形式的同源群的直和 $H_{\left(U_\zeta^J\right)}$. 在这些组中 的每一个上，我们都有 $\left(T^{M_J}-I\right)^K=0$ 对于一些 $K$. 号码 $N_I$ 是的最小公倍数 $M_J$ 发生在谱序列中的项。因此 足以证明 $M_J$. 现在回想一下我们可以写 $Z_J=Z^a \times Z^b$ 在哪里 $g$ 是恒 定的 $Z^b$ 并隔离了关键点 $Z^a$. 然后 $Z_J / \Gamma_J=Z^a / \Gamma^{\prime} \times X^b$. 我们可以放大 $U^{J, \alpha}$ 直到它有 形式 $U=U^{\prime} \times X^b$ ，对于一个相对紧凑的 $U^{\prime} \subset Z^a / \Gamma^{\prime}$. 然后 $U_\zeta=U_\zeta^{\prime} \times X^b$. 此外，我们可以 选择单值算子的实现，它在 $X^b$ 方向。根据 Künneth 公 式，足以限制指数 $M$ 这样 $\left(T^M-I\right)=0$ 在 $H_\left(U_\zeta^{\prime}\right)$ . 换句话说，我们可以假设 $g$ 上有孤立的奇点 $U$.认为 $u$ 是一个类 $H_*\left(U_\zeta\right)$. 有退稿 $R$ 从 $U$ 到 $U_s$ ，我们可以 假设这种撤回与单价算子通勤。尤其， $R(T-I) u=0$. 注意 $(T-I)$ 是一个因素 $\left(T^M-I\right)$. 因此，足以绑定数字 $M$ 这样 $\left(T^M-I\right)^K u=0$ 对于一些 $K$ 对所有人 $u$ 这样
$R u=0$. 但单一的纤维 $U$ ，有孤立的奇点，所以如果
$R u=0$ 然后 $u$ 是在奇点的小邻域上支持的类的总和。
奇点有以下形式 $\left(s_1, \ldots, s_n\right)$ ，在哪里 $s_k$ 是奇点 $g^k=$ $g_{j_{k-1} j_k}$ 在 $Z$. 让 $U^k$ 成为一个小社区 $s_k$ ，我们可以假设 $U=U^1 \times \ldots U^n$. 选择当地坐标 $z_k$ 以便 $s_k$ 是 (谁) 给的 $z_k=0$ ，和 $g^k=\left(z_k\right)^{\nu_k}$ (我们可能会改变 $g^k$ 通 过常数-这移动了点 $s$ 到 0$)$ 。这 $\nu_k$ 来自一组有限的数 字，取决于单形式的零的顺序 $a_i$. 请注意， $g^k$ 由于奇点 是孤立的条件，因此不完全为零。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。