数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|MAST30024


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黎曼曲面是一个类似于曲面的构型,它在复平面上覆盖着几个,一般来说是无限多的 “片”。这些薄片可以有非常复杂的结构和相互的联系。

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|MAST30024

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|MOVING THE CYCLE OF INTEGRATION

We will now apply the procedure outlined in the previous sections to move the cycle of integration $\eta$ to obtain an analytic continuation.

Inductive hypothesis: Suppose that $\zeta_0$ is a point in $\mathbf{C}$, with a path $\rho_0$ from $|\zeta| \geq a$ to $\zeta_0$, of length $\leq M_0$, not meeting $S_{M_0}$. Suppose that $\eta_$ is a prochain with $(\partial-A) \eta_=0$, such that all points of $S u p p_{Z_}\left(\eta_\right)$ are beyond points of $S u p p_{z_}\left(\beta_\right)$ at distance $\leq M_0$, and such that there is an estimate $\mathbf{F}\left(\eta_n, \varepsilon n, C, \varepsilon\right)$ with $C$ and $\varepsilon$ uniform for all $\eta_n$. Suppose that $\zeta_0$ is not contained in $S u p p_{\mathbf{C}}\left(\eta_*\right)$, and that
f(\zeta)=\int_\eta \frac{b}{g-\zeta}
serves to define the analytic continuation of $f$ along the path $\rho_0$, for $\zeta$ near $\zeta_0$. Finally, assume that the path $\rho_0$ is piecewise linear, and that the chain $\eta$ is obtained by repeated applications of the procedure we are about to outline.
Fix a number $L$ and let $M=M_0+L$. Suppose $\rho:[0,1] \rightarrow \mathbf{C}$ is a line segment of length $L$, which does not meet $S_M$, and which begins at $\rho(0)=\zeta_0$. We would like to analytically continue $f(\zeta)$ along the segment $\rho$. Without loss of generality, we may make a rotation and assume that the segment points in the negative real direction, in other words $\rho(1)=\zeta_0-L$.

Choose a small number $\epsilon$ such that the disc $D\left(\zeta_0, 10 \epsilon\right)$ does not meet $\operatorname{Supp} p_{\mathbf{C}}\left(\eta_*\right)$, and such that the neighborhood $D(\rho, 10 \epsilon)$ (signifying the set of all points at distance less than $10 \epsilon$ from the segment $\rho$ ) does not meet $S_M$. Choose numbers $\sigma$ and $\delta$, small enough to meet the requirements made below. Let $L^{\prime}=L-\epsilon$. Let $\xi_0=\Re \zeta_0$.

Make a choice of flows as in $\S 3$, with reference to this angular error $\delta$, the length $L^{\prime}$ (which is slightly shorter than $L$ ), and the small number $\sigma$. Remember that a rotation has been made, so the flows should be chosen to go approximately in the negative real direction. In terms of a picture fixed from the start, the flows would go in some direction approximately equal to the direction of the line segment $\rho$. The flow $f^0$ must be fixed independently of which rotation is made, because it appears in the definition of the estimate $\mathbf{F}$, hence in the inductive hypothesis.

数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|BOUNDS ON MULTIPLICITIES

In this section we will use the assumption that the chain $\eta$ is obtained from $\beta$ by finitely many applications of the procedure outlined in $\S \S 4-8$, to prove that if $z$ is a generic point of $\Lambda(\ell)=\Lambda\left(\ell_1\right) \times \ldots \times \Lambda\left(\ell_n\right)$ then the multiplicity of $F H \varphi$ at $z$ is bounded by $C^n$. This was an ingredient in the previous section’s proof of (2.5.3).

First we give a general description of the chains which can arise from repeated applications of the procedures outlined in the previous section.

Suppose $A$ and $B$ are subsets of $\mathbf{R}^a$ and $\mathbf{R}^b$ respectively. A continuous $\operatorname{map} f: A \rightarrow B$ is piecewise polynomial if there is a finite decomposition $A=\bigcup U_\alpha$ and if there are polynomial maps $P_\alpha$ from $\mathbf{R}^a$ to $\mathbf{R}^b$ such that $\left.f\right|{U\alpha}=P_\alpha$. It follows from continuity that the boundaries between pieces are algebraically defined. The degree of $f$ is the largest of the degrees of the component polynomials $P_{\alpha, i}, i=1, \ldots, b$. If $s_i$ and $t_j$ are coordinates in $\mathbf{R}^a$ and $\mathbf{R}^b$ respectively, then the degree of $f_j$ in the variable $s_i$ is the largest of the degrees of the polynomials $P_{\alpha, j}$ in the variable $s_i$. The size of $f$ is the largest of the following numbers: the number of pieces $U_\alpha$, and the suprema of the derivatives $\sup {U_a}\left|\partial P{\alpha, i} / \partial x_j\right|$.

If $f: A \rightarrow B$ and $g: B \rightarrow C$ are piecewise polynomial maps, then $g \circ f$ : $A \rightarrow C$ is a piecewise polynomial map. Furthermore, the degree of $g \circ f$ is less than or equal to the product of the degrees of $f$ and $g$. The number of pieces into which the map $g \circ f$ is decomposed is less than or equal to the product of the number of pieces for $g$ and the number of pieces for $f$. The supremum of the partial derivatives of $g \circ f$ is less than or equal to $\operatorname{dim}(B)$ times the product of the suprema of the partial derivatives of $f$ and $g$, by the chain rule.

We now define a type of piecewise polynomial map which will arise in describing the chains that can occur. Suppose we have a graph organized as a tree, with some edges marked and some not, beginning with $m$ vertices along the top and ending with $n$ vertices along the bottom. Suppose that for each marked edge we have a map $f(e, x, t): Z \times[0,1] \rightarrow Z$, and suppose that for each unmarked edge $e$ we have a map $f(e, x): Z \rightarrow Z$. Suppose that there are $N$ marked edges. Then we get a map
\Phi: Z^m \times[0,1]^N \rightarrow Z^n
defined as follows (it is similar to our usual construction seen first in §5). Fix $z \in Z^m$ and $s \in[0,1]^N$.

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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|MOVING THE CYCLE OF INTEGRATION

我们现在将应用前面部分中概述的过程来移动集成周期 $\eta$ 获得解析延 拓。
归纳假设:假设 $\zeta_0$ 是一个点 $\mathbf{C}$ ,有路径 $\rho_0$ 从 $|\zeta| \geq a$ 到 $\zeta_0$ ,长度 $\leq M_0$ , 不见面 $S_{M_0}$. 假设 和是一个prochain $(\partial-A) \eta{=} 0$ ,使得所有点 S up p_{Z_}left(\eta__right) 超出点 S up p_{z_}Yeft(\beta_\right) 在远处 $\leq M_0$ ,这样就有一个估计 $\mathbf{F}\left(\eta_n, \varepsilon n, C, \varepsilon\right)$ 和 $C$ 和 $\varepsilon$ 统一的 $\eta_n$. 假设 $\zeta_0$ 不包含在 $\operatorname{Supp} p_{\mathbf{C}}\left(\eta_\right)$ ,然后 $$ f(\zeta)=\int_\eta \frac{b}{g-\zeta} $$ 用于定义的分析延拓 $f$ 沿着小路 $\rho_0$ ,为了 $\zeta$ 靠近 $\zeta_0$. 最后,假设路径 $\rho_0$ 是分段线性的,并且链 $\eta$ 是通过重复应用我们即将概述的程序获得的。 固定号码 $L$ 然后让 $M=M_0+L$. 认为 $\rho:[0,1] \rightarrow \mathbf{C}$ 是长度的线段 $L$ ,不满足 $S_M$ ,开始于 $\rho(0)=\zeta_0$. 我们想继续分析 $f(\zeta)$ 沿段 $\rho$. 不失一 般性,我们可以进行旋转并假设线段指向负实方向,换句话说 $\rho(1)=\zeta_0-L$ 选择一个小数字 $\epsilon$ 这样光盘 $D\left(\zeta_0, 10 \epsilon\right)$ 不符合Supp $p_{\mathbf{C}}\left(\eta_\right)$ ,并且 使得邻域 $D(\rho, 10 \epsilon$ ) (表示距离小于的所有点的集合 $10 \epsilon$ 从细分市场 $\rho$ ) 不符合 $S_M$. 选择号码 $\sigma$ 和 $\delta$ ,小到足以满足下面提出的要求。让 $L^{\prime}=L-\epsilon$. 让 $\xi_0=\Re \zeta_0$.
选择流程,如 $\S 3$ ,参考这个角度误差 $\delta$ ,长度 $L^{\prime}$ (略短于 $L$ ),和小数 $\sigma$ . 请记住,已经进行了旋转,因此应选择流向近似负实方向。就从一开 始就固定的图片而言,流将沿某个方向行进,该方向近似等于线段的 方向 $\rho$. 流量 $f^0$ 必须独立于进行哪个旋转而固定,因为它出现在估计的 定义中 $\mathbf{F}$ ,因此在归纳假设中。

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在本节中,我们将使用链的假设 $\eta$ 是从 $\beta$ 通过有限多次应用中概述的程 序§§4-8,来证明如果 $z$ 是一个通用点
$\Lambda(\ell)=\Lambda\left(\ell_1\right) \times \ldots \times \Lambda\left(\ell_n\right)$ 然后的多重性 $F H \varphi$ 在 $z$ 受限于 $C^n$. 这是上一节 (2.5.3) 证明中的一个组成部分。
首先,我们对链条进行一般描述,这些链条可能因重复应用上一节中 概述的程序而产生。
认为 $A$ 和 $B$ 是子集 $\mathbf{R}^a$ 和 $\mathbf{R}^b$ 分别。连续的 $\operatorname{map} f: A \rightarrow B$ 如果存在 有限分解,则为分段多项式 $A=\bigcup U_\alpha$ 如果有多项式映射 $P_\alpha$ 从 $\mathbf{R}^a$ 到 $\mathbf{R}^b$ 这样 $f \mid U \alpha=P_\alpha$. 从连续性可以看出,片段之间的边界是代数定 义的。的程度 $f$ 是分量多项式的最大次数 $P_{\alpha, i}, i=1, \ldots, b$. 如果 $s_i$ 和 $t_j$ 坐标在 $\mathbf{R}^a$ 和 $\mathbf{R}^b$ 分别是,那么程度 $f_j$ 在变量中 $s_i$ 是多项式中最大 的次数 $P_{\alpha, j}$ 在变量中 $s_i$. 的大小 $f$ 是下列数字中最大的: 件数 $U_\alpha$ , 以及 导数的极值 $\sup U_a\left|\partial P \alpha, i / \partial x_j\right|$.
如果和是分段多项式映射,则 :是分段多项式映射。此外,的次数小于 或等于和的次数的乘积。映射被分解成的片段数小于或等于片段数与 片段数的乘积。的偏导数的上界小于或等于 $f: A \rightarrow B g: B \rightarrow C$ $g \circ f A \rightarrow C g \circ f f g g \circ f g f g \circ f \operatorname{dim}(B)$ 通过链式法则乘以和的 偏导数的上乘积。 $f g$
我们现在定义一种分段多项式映射,它将在描述可能出现的链时出 现。假设我们有一个组织为树的图,一些边被标记,一些没有标记, 从顶部的个顶点开始到底部个顶点结束。假设对于每条标记边我们有 一个映射,并假设对于每条末标记边我们有一个映射。假设有条标记 边。然后我们得到一个映射定义如下 (它类似于我们在 $\S 5$ 中首先看到 的通常构造)。固定和 $m n f(e, x, t): Z \times[0,1] \rightarrow Z e$ $f(e, x): Z \rightarrow Z N$
\Phi: Z^m \times[0,1]^N \rightarrow Z^n
z \in Z^m s \in[0,1]^N

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术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。



有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。





随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。


多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。


MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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