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黎曼曲面是一个类似于曲面的构型，它在复平面上覆盖着几个，一般来说是无限多的 “片”。这些薄片可以有非常复杂的结构和相互的联系。
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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Local structure of singularities
There is a basic result about the local structure of singular Riemann surfaces (they are more often called analytic spaces in the literature), which justifies the moral definition we gave in the first lecture. It also says that all local information near singular points can be captured algebraically.
2.14 Theorem (Weierstrass Preparation Theorem): Let $F(z, w)$ be holomorphic near $(0,0)$ and assume that
$$
F(0,0)=0, \quad \frac{\partial F}{\partial w}(0,0)=0, \quad \ldots, \quad \frac{\partial^{n-1} F}{\partial w^{n-1}}(0,0)=0, \quad \text { but } \quad \frac{\partial^n F}{\partial w^n}(0,0) \neq 0 .
$$
Then
- (weak form) there exists a function $\Phi$ of the form
$$
\Phi(z, w)=w^n+f_{n-1}(z) w^{n-1}+\cdots+f_1(z) w+f_0(z)
$$
with $f_0, \ldots, f_{n-1}$ analytic near $z=0$, whose zero-set agrees with that of $F$ near 0 . - (strong form) there exists, additionally, a holomorphic function $u(z, w)$, non-zero near $(z, w)=(0,0)$, such that
$$
F(z, w)=\Phi(z, w) u(z, w)
$$
Moreover, this factorization of $F$ is unique.
数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Removal of singularities
If we are not interested in the structure of a singularity, there arises the natural question how this singularity can be ‘removed’, or resolved (the official term). In algebraic geometry, this is done by a procedure called normalization. There is an analytic way to describe that; I shall do so informally, without attempting to define all terms or prove the statements.
There is no way to resolve the singularity of a surface $S$ while keeping it in $\mathbb{C}^2$, so let us first clarify the question. First, it can be shown that the singularities of analytic sets are isolated. (This is plausible enough, as they are the zeroes of the gradient of $F$ ). The correct question is: can we find an abstract Riemann surface $R$ (necessarily non-singular, in view of our definition), mapping holomorphically to $S$, so that the map is bi-holomorphic at the regular points of $S$ ? If so,we say that $R$ resolves the singularities of $S$; in effect, we have replaced the singular points of $S$ with smooth points (in $R$ ). The answer is, it can always be done, and $R$ is unique up to isomorphism.
Note, first, that there are two kinds of singularities: topological ones and purely analytic ones. An example of a topological singularity is the solution set of $w^2-z^2=0$ near the origin, whose neighbourhood is homeomorphic to the union of two disks meeting at their centre. Such singularities arise when the defining power series splits into distinct factors – in this case, $(z-w)(z+w)$. The first step in the resolution is then clear: we separate the disks by replacing their union with a disjoint union. There will now be two points in $R$ maping to the singular point of $S$.
In general, if the power series $F$ defining our surface near $s$ can be factored into terms which are not units in the ring of holomorphic functions near $s$, we replace its zero-set by the disjoint union of the zero-sets of the factors.
The simplest example of a purely analytic singularity is $z^3-w^2=0$, near the origin. As we shall see, the zero-set $S$ is locally homeomorphic to the disc; however, neither coordinate can be used to define the structure of a non-singular surface on $S$. Instead, this can be done by the analytic map $u \mapsto(z, w)=\left(u^2, u^3\right)$, which defines a homeomorphism from $\mathbb{C}$ to $S$. Away from zero, the map is bi-holomorphic, because $u$ can be recovered as $w / z$.
The following theorem shows that our example is no accident. Say that a power series $F(z, w)$ is irreducible near $(0,0)$ if, for any factorization $F=F_1(z, w) \cdot F_2(z, w)$ into power series, near $(0,0)$, one of the factors does not vanish at $(0,0)$ (and hence is multiplicatively invertible there). This excludes the possibility of decomposing the zero-set, as in the previous example.
黎曼曲面代写
数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Local structure of singularities
有一个关于奇异黎曼曲面(它们在文献中更常被称为解析空间)的局部结构的基本结果，它证明了我们在第一节课中给出的道德定义。它还说，所有在奇异点附近的局部信息都可以用代数方法捕获。
2.14定理(Weierstrass准备定理):设$F(z, w)$在$(0,0)$附近全纯，并设
$$
F(0,0)=0, \quad \frac{\partial F}{\partial w}(0,0)=0, \quad \ldots, \quad \frac{\partial^{n-1} F}{\partial w^{n-1}}(0,0)=0, \quad \text { but } \quad \frac{\partial^n F}{\partial w^n}(0,0) \neq 0 .
$$
然后
(弱形式)存在一个形式的函数$\Phi$
$$
\Phi(z, w)=w^n+f_{n-1}(z) w^{n-1}+\cdots+f_1(z) w+f_0(z)
$$
在$z=0$附近有$f_0, \ldots, f_{n-1}$解析，其零集与$F$在0附近的零集一致。
(强形式)另外存在一个全纯函数$u(z, w)$，在$(z, w)=(0,0)$附近非零，使得
$$
F(z, w)=\Phi(z, w) u(z, w)
$$
而且，$F$的这种分解是唯一的。
数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Removal of singularities
如果我们对奇点的结构不感兴趣，就会产生一个自然的问题，即奇点如何被“移除”或解决(官方术语)。在代数几何中，这是通过一个称为归一化的过程来完成的。有一种分析的方法来描述它;我将非正式地这样做，不试图定义所有的术语或证明这些陈述。
没有办法解决一个表面的奇点$S$同时保持它在$\mathbb{C}^2$，所以让我们先澄清这个问题。首先，证明了解析集的奇异性是孤立的。(这很有道理，因为它们是$F$梯度的零)。正确的问题是:我们能否找到一个抽象的黎曼曲面$R$(根据我们的定义，必须是非奇异的)，将其全纯映射到$S$，从而使该映射在$S$的正则点上是双全纯的?如果是这样，我们说$R$解决了$S$的奇点;实际上，我们已经将$S$的奇异点替换为光滑点(在$R$中)。答案是，它总是可以做到的，并且$R$在同构方面是唯一的。
注意，首先，有两种奇点:拓扑奇点和纯解析奇点。拓扑奇点的一个例子是原点附近的解集$w^2-z^2=0$，它的邻域同胚于两个盘在其中心相遇的并。当定义幂级数分解成不同的因子时，就会出现这样的奇点——在这种情况下是$(z-w)(z+w)$。解决问题的第一步就很清楚了:我们用一个不连接的连接来取代它们的连接，从而分离磁盘。现在$R$中将有两个点映射到$S$的奇点。
一般来说，如果定义在$s$附近的曲面的幂级数$F$可以被分解成在$s$附近的全纯函数环中的非单位项，我们用因子的零集的不相交并代替它的零集。
纯解析奇点最简单的例子是$z^3-w^2=0$，在原点附近。我们将看到，零集$S$局部同胚于圆盘;然而，这两个坐标都不能用于定义$S$上的非奇异曲面的结构。相反，这可以通过分析映射$u \mapsto(z, w)=\left(u^2, u^3\right)$来完成，该映射定义了从$\mathbb{C}$到$S$的同胚。在远离零的地方，映射是双全纯的，因为$u$可以恢复为$w / z$。
下面的定理表明我们的例子不是偶然的。假设一个幂级数$F(z, w)$在$(0,0)$附近是不可约的，如果将$F=F_1(z, w) \cdot F_2(z, w)$分解成幂级数，在$(0,0)$附近，其中一个因子在$(0,0)$不消失(因此在那里是乘法可逆的)。这就排除了分解零集的可能性，就像前面的例子一样。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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