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表示论是数学的一个分支，它通过将抽象代数结构的元素表示为向量空间的线性变换来研究抽象代数结构，并研究这些抽象代数结构上的模块。实质上，表示通过用矩阵及其代数运算来描述其元素，使抽象代数对象更加具体。矩阵和线性运算符的理论已被充分理解，因此用熟悉的线性代数对象来表示更抽象的对象有助于收集属性，有时还能简化更抽象理论的计算。

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数学代写|表示论代写Representation theory代考|Computing Persistence of Simplicial Towers

In this section, we present an algorithm for computing the persistence of a simplicial tower. Consider a simplicial tower $\mathcal{K}: K_0 \stackrel{f_0}{\rightarrow} K_1 \stackrel{f_1}{\rightarrow} K_2 \stackrel{f_2}{\rightarrow} \cdots \stackrel{f_{n-1}}{\rightarrow} K_n$ and the map $f_{i j}: K_i \rightarrow K_j$ where $f_{i j}=f_{j-1} \circ \cdots \circ f_{i+1} \circ f_i$. To compute the persistent homology for a simplicial filtration, the persistence algorithm in the previous chapter essentially maintains a consistent basis by computing the image $f_{i j_z}\left(B_i\right)$ of a basis $B_i$ of $\mathrm{H}\left(K_i\right)$. As the algorithm moves through an inclusion in the filtration, the homology basis elements get created (birth) or are destroyed (death). Here, for towers, instead of a consistent homology basis, we maintain a consistent cohomology basis. We need to be aware that, for cohomology, the induced maps from $f{i j}: K_i \rightarrow K_j$ are reversed, that is, $f_{i j}^: \mathrm{H}^p\left(K_i\right) \leftarrow \mathrm{H}^p\left(K_j\right)$; refer to Section 2.5.4. So, if $B^i$ is a cohomology basis of $\mathrm{H}^p\left(K_i\right)$ maintained hy the algorithm, it computes implicitly the pre-image $f_{i j}^{*-1}\left(B^i\right)$. Dually, this implicitly maintains a consistent homology basis and thus captures all information about persistent homology as well.

We maintain a consistent cohomology basis using a notion called annotations [60] which are binary vectors assigned to simplices. These annotations are updated as we go forward through the sequence in the given tower. This implicitly maintains a cohomology basis in the reverse direction where the birth and death of cohomology classes coincide with the death and birth, respectively of homology classes.

Definition 4.6. (Annotation) Given a simplicial complex $K$, let $K(p)$ denote the set of $p$-simplices in $K$. An annotation for $K(p)$ is an assignment a : $K(p) \rightarrow \mathbb{Z}2^g$ of a binary vector $\mathrm{a}\sigma=\mathrm{a}(\sigma)$ of length $g$ to each $p$-simplex $\sigma \in K$. The binary vector $\mathrm{a}\sigma$ is called the annotation for $\sigma$. Each entry ” 0 ” or ” 1 ” of $\mathrm{a}\sigma$ is called its element. Annotations for simplices provide an annotation for every $p$-chain $c_p: \mathbf{a}{c_p}=\sum{\sigma \in c_p} \mathbf{a}_\sigma$.

An annotation a : $K(p) \rightarrow \mathbb{Z}_2^g$ is valid if the following two conditions are satisfied:

• $g=\operatorname{rank} \mathrm{H}_{\mathrm{p}}(\mathrm{K})$, and
• two $p$-cycles $z_1$ and $z_2$ have $\mathbf{a}{z_1}=\mathbf{a}{z_2}$ if and only if their homology classes are identical, that is, $\left[z_1\right]=\left[z_2\right]$.

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Algorithm

Consider the persistence module $\mathrm{H}p \mathcal{K}$ induced by a simplicial tower $\mathcal{K}:\left{K_i \stackrel{f_i}{\rightarrow} K{i+1}\right}$ where every $f_i$ is a so-called elementary simplicial map which we will introduce shortly:
$$
\mathrm{H}p \mathcal{K}: \mathrm{H}_p\left(K_0\right) \stackrel{f{0 *}}{\rightarrow} \mathrm{H}p\left(K_1\right) \stackrel{f{1 z}}{\rightarrow} \mathrm{H}p\left(K_2\right) \stackrel{f{2 *}}{\rightarrow} \ldots \stackrel{f_{n-1 }}{\rightarrow} \mathrm{H}p\left(K_n\right) $$ Instead of tracking a consistent homology basis for the module $\mathrm{H}_p \mathcal{K}$, we track a cohomology basis in the module $\mathrm{H}^p \mathcal{K}$ where the homomorphisms are in reverse direction: $$ \mathrm{H}^{p f} \mathcal{K}: \mathrm{H}^p\left(K_0\right) \stackrel{f_0^}{\leftarrow} \mathrm{H}^p\left(K_1\right) \stackrel{f_1^}{\leftarrow} \mathrm{H}^p\left(K_2\right) \stackrel{f_2^}{\longleftarrow} \cdots \stackrel{f{n-1}^{\circ}}{\longleftarrow} \mathrm{H}^p\left(K_n\right) .
$$
As we move from left to right in the above sequence, the annotations implicitly maintain a cohomology basis whose elements are also timestamped to signify when a basis element is born or dies. We keep in mind that the birth and death of a cohomology basis element coincides with the death and birth of a homology basis element because the two modules run in opposite directions.
To jump start the algorithm, we need annotations for simplices in $K_0$ at the beginning whose nonzero elements are timestamped with 0 . This can be achieved by considering an arbitrary filtration of $K_0$ and then applying the generic algorithm as we describe for inclusions in Section 4.2.3. The first vertex in this filtration gets the annotation of [1].

Before describing the algorithm, we observe a simple fact that simplicial maps can be decomposed into elementary maps which let us design simpler atomis steps for the algorithm.

表示论代考

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Computing Persistence of Simplicial Towers

在本节中，我们提出了一种计算单纯塔持久性的算法。 考虑一个简单的塔
$\mathcal{K}: K_0 \stackrel{f_0}{\rightarrow} K_1 \stackrel{f_1}{\rightarrow} K_2 \stackrel{f_2}{\rightarrow} \cdots \stackrel{f_{n-1}}{\rightarrow} K_n$ 和地图
$f_{i j}: K_i \rightarrow K_j$ 在哪里 $f_{i j}=f_{j-1} \circ \cdots \circ f_{i+1} \circ f_i$.
为了计算单纯过滤的持久同源性，上一章的持久性算法
本质上是通过计算图像来保持一致的基础 $f_{i j_z}\left(B_i\right)$ 的基 础 $B_i$ 的 $\mathrm{H}\left(K_i\right)$. 当算法通过包含在过滤中移动时，同源 基础元素被创建（出生）或被破坏 (死亡)。在这里，
对于塔，我们保持一致的上同调基础，而不是一致的同 调基础。我们需要知道，对于上同调，从
fij $: K_i \rightarrow K_j$ 是相反的，也就是说，
$f_{i j}^{:} \mathrm{H}^p\left(K_i\right) \leftarrow \mathrm{H}^p\left(K_j\right)$ ；请参阅第 2.5.4 节。因此，
如果 $B^i$ 是的上同调基础 $\mathrm{H}^p\left(K_i\right)$ 由算法维护，它隐式计 算原像 $f_{i j}^{*-1}\left(B^i\right)$. 双重地，这隐含地保持了一致的同 源性基础，因此也捕获了关于持久同源性的所有信息。
我们使用称为注释 [60] 的概念维护一致的上同调基础， 注释是分配给单纯形的二元向量。这些注释随看我们在 给定塔中的序列前进而更新。这隐含地保持了反向的上 同调基础，其中上同调类的诞生和死亡分别与同调类的 死亡和诞生重合。
定义 4.6。 (译注) 给定一个单纯复形 $K$ ，让 $K(p)$ 表 示的集合 $p$-简单的 $K$. 的注解 $K(p)$ 是一个任务 a :
$K(p) \rightarrow \mathbb{Z} 2^g$ 一个二元向量 $\mathrm{a} \sigma=\mathrm{a}(\sigma)$ 长度 $g$ 每一个 $p$ 单纯形 $\sigma \in K$. 二元向量 $\mathrm{a} \sigma$ 被称为注解 $\sigma$. 每个条目 “0” 或”1″的a $\sigma$ 称为它的元素。单纯形的注释为每个 $p$-链 $c_p: \mathbf{a} c_p=\sum \sigma \in c_p \mathbf{a}_\sigma$.
注释 $\mathrm{a}: K(p) \rightarrow \mathbb{Z}_2^g$ 满足以下两个条件才有效:

• $g=\operatorname{rank} \mathrm{H}_{\mathrm{p}}(\mathrm{K})$ ，和
• 二 $p$-周期 $z_1$ 和 $z_2$ 有 \$\mathbfa $}$
  $\left{z\right.$ 1}=Imathbf{a} $\left{z{-} 2\right}$
  ifandonlyiftheirhomologyclassesareide
  Veft[z_1\right]=Vleft[z_2\right] $\$$ 。

数学代写|表示论代写Representation theory代考|Algorithm

考虑持久化模块 $\mathrm{H} p$ 伪简单的塔引起
每一个 $f_i$ 是所谓的初等单纯形映射，我们将很快介绍
它:
$\mathrm{H} p \mathcal{K}: \mathrm{H}p\left(K_0\right) \stackrel{f 0 *}{\rightarrow} \mathrm{H} p\left(K_1\right) \stackrel{f 1 z}{\rightarrow} \mathrm{H} p\left(K_2\right) \stackrel{f 2 *}{\rightarrow} \ldots \stackrel{f{n-1}}{\rightarrow}$
而不是跟踪模块的一致同源基础 $\mathrm{H}_p \mathcal{K}$ ，我们跟踪模块中 的上同调基础 $\mathrm{H}^p \mathcal{K}$ 其中同态是反向的:
Imathrm ${\mathrm{H}} \wedge{\mathrm{p} f} \backslash m a t h c a \mid{\mathrm{K}}: \backslash m a t h r m{\mathrm{H}} \wedge p \backslash l$ eft(K_O\right) $\backslash S$
当我们在上面的序列中从左到右移动时，注释隐含地维 护了一个上同调基，其元素也带有时间戳以表示基元素 何时诞生或消亡。请记住，上同调基元的生夾与同调基 元的生曱同时发生，因为这两个模的运行方向相反。
为了快速启动算法，我们需要在 $K_0$ 在开头，其非零元 素的时间戳记为 0 。这可以通过考虑任意过滤来实现 $K_0$ 然后应用我们在第 $4.2 .3$ 节中描述的包含的通用算 法。此过滤中的第一个顶点获得 [1] 的注释。
在描述算法之前，我们观察到一个简单的事实，即单纯 映射可以分解为基本映射，这让我们可以为算法设计更 简单的原子步骤。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。