# 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Uniqueness Theorem for Power Series

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Uniqueness Theorem for Power Series

The following uniqueness result for power series is another consequence of Corollary 8.7 .8

COROLLARY 8.7.11 Suppose $\sum a_k(x-c)^k$ and $\sum b_k(x-c)^k$ are two power series which converge for all $x,|x-c|0$. Then
$$\sum_{k=0}^{\infty} a_k(x-c)^k=\sum_{k=0}^{\infty} b_k(x-c)^k, \quad|x-c|<R,$$
if and only if $a_k=b_k$ for all $k=0,1,2, \ldots$
Proof. Clearly, if $a_k=b_k$ for all $k$, then the two power series are equal and converge to the same function. Conversely, set
$$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k(x-c)^k \quad \text { and } \quad g(x)=\sum_{k=0}^{\infty} b_k(x-c)^k .$$
If $f(x)=g(x)$ for all $x,|x-c|<R$, then $f^{(n)}(x)=g^{(n)}(x)$ for all $n=0,1,2, \ldots$, and all $x,|x-c|<R$. In particular, $f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c)$ for all $n=0,1,2, \ldots$ Thus by (17), $a_n=b_n$ for all $n$.

## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Representation of a Function by a Power Series

Up to this point we have shown that if a function $f$ is defined by a power series, that is
$$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k(x-c)^k, \quad|x-c|0, then by Corollary 8.7 .8, f is infinitely differentiable on (c-R, c+R) and the coefficients a_k are given by a_k=f^{(k)}(c) / k !. We now consider the converse question. Given an infinitely differentiable function on an open interval I and c \in I, \operatorname{can} f be expressed as a power series in a neighborhood of the point c. Specifically, does there exist an \epsilon>0 such that$$
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k(x-c)^k
$$for all x,|x-c|<\epsilon, with a_k=f^{(k)}(c) / k ! for all k=0,1,2, \ldots The following example of Cauchy shows that this is not always possible. EXAMPLE 8.7.12 Let f be defined on \mathbb{R} by$$
f(x)= \begin{cases}e^{-1 / x^2}, & x \neq 0, \ 0, & x=0 .\end{cases}
$$Since \lim {x \rightarrow 0} e^{-1 / x^2}=\lim {t \rightarrow \infty} e^{-t^2}=0, f is continuous at 0 . For x \neq 0,$$
f^{\prime}(x)=\frac{2 e^{-1 / x^2}}{x^3}
$$当且仅当 a_k=b_k 对全部 k=0,1,2, \ldots 证明。显然，如果 a_k=b_k 对全部 k ，则两个幂级数相等 且收敛于同一个函数。反之，设 f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} a_k(x-c)^k \quad and \quad g(x)=\sum_{k=0}^{\infty} b_k(x-c)^k 如果 f(x)=g(x) 对全部 x,|x-c|<R ，然后 f^{(n)}(x)=g^{(n)}(x) 对全部 n=0,1,2, \ldots ， 和所有 x,|x-c|<R. 尤其， f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c) 对全部 n=0,1,2, \ldots. 因此由 (17)， a_n=b_n 对全部 n. ## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Representation of a Function by a Power Series 到目前为止，我们已经证明如果一个函数 f 由幂级数定 义，即 \ \$$
$\mathrm{f}(\mathrm{x})=$ Isum_ ${\mathrm{k}=0}^{\wedge}{$ infty $} \mathrm{a}{-} \mathrm{k}(\mathrm{xc})^{\wedge} \mathrm{k}$, lquad $|\mathrm{xc}| 0$ , thenbyCorollary 8.7 .8 , 女 isinfinitelydifferentiableon( $\mathrm{cR}, \mathrm{c}+\mathrm{R})$ andthecoefficientsa_karegivenbya_k=f $\mathrm{f}{(\mathrm{k})}(\mathrm{c}) /$ $k ! \$$。 我们现在考虑相反的问题。给定开区间上的无限可微函 数 I 和 c \in I, \operatorname{can} f 表示为点附近的幂级数 c. 具体来说， 是否存在 \epsilon>0 这样$$ f(x)=\sum{k=0}^{\infty} a_k(x-c)^k $$对全部 x,|x-c|<\epsilon ， 和 a_k=f^{(k)}(c) / k ! 对全部 k=0,1,2, \ldots 下面柯西的例子表明这并不总是可能 的。 例 8.7.12 让 f 定义于 R 经过$$ f(x)=\left{e^{-1 / x^2}, \quad x \neq 0,0, \quad x=0 .\right. $$自从 \lim x \rightarrow 0 e^{-1 / x^2}=\lim t \rightarrow \infty e^{-t^2}=0, f 在 0 处连续。为了 x \neq 0 ，$$ f^{\prime}(x)=\frac{2 e^{-1 / x^2}}{x^3}$\$

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