## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|MATH2401

2022年12月26日

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## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|The Uniform Norm

Let $X$ be a metric space. Recall from the Preliminaries that we let the symbol $\overline{\mathbf{F}}$ denote a choice of $[-\infty, \infty]$ or $\mathbb{C}$. We let $C(X)$ be the vector space that consists of all continuous, scalar-valued functions on $X$. Specifically, if $\overline{\mathbf{F}}=\mathbb{C}$, then $C(X)$ is the set of continuous, complex-valued functions on $X$, while if $\overline{\mathbf{F}}=[-\infty, \infty]$, then $C(X)$ is the set of continuous, real-valued functions on $X$ (we do not allow functions in $C(X)$ to take the values $\pm \infty$ ). We let $C_b(X)$ be the subspace of all bounded continuous functions on $X$ :
$$C_b(X)={f \in C(X): f \text { is bounded }} .$$
If $X$ is compact, then Theorem $1.1 .17$ implies that $C_b(X)=C(X)$.
To avoid multiplicities of brackets and parentheses, if $X=(a, b)$ then we usually write $C(a, b)$ instead of $C((a, b))$, if $X=[a, b)$ then we write $C[a, b)$ instead of $C([a, b))$, and so forth.

In order to define a norm on $C_b(X)$, we introduce the following terminology.

Definition 1.3.1 (Uniform Norm). Let $X$ be a metric space. The uniform norm of a function $f: X \rightarrow \overline{\mathbf{F}}$ is
$$|f|_{\mathrm{u}}=\sup {x \in X}|f(x)| .$$ Note that $|f|{\mathrm{u}}$ is defined for every function on $X$, although $|f|_{\mathrm{u}}=\infty$ if $f$ is unbounded. Therefore $|f|_{\mathrm{u}}<\infty$ for all $f \in C_b(X)$, and the reader should check that $|\cdot|_{\mathrm{u}}$ is a norm on $C_b(X)$ in the sense of Definition 1.2.3. Hence $C_b(X)$ is a normed vector space.

Convergence with respect to the uniform norm is called uniform convergence. That is, $f_n$ converges uniformly to $f$ if
$$\lim {n \rightarrow \infty}\left|f-f_n\right|{\mathrm{u}}-\lim {n \rightarrow \infty}\left(\sup {x \in X}\left|f(x)-f_n(x)\right|\right)-0$$

## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Some Function Spaces

We will define several vector spaces of functions whose domain is $\mathbb{R}^d$. We have already seen $C\left(\mathbb{R}^d\right)$, the space of continuous functions on $\mathbb{R}^d$, and $C_b\left(\mathbb{R}^d\right)$, the space of bounded continuous functions on $\mathbb{R}^d$.

We say that $f: \mathbb{R}^d \rightarrow \overline{\mathbf{F}}$ vanishes at infinity if $\lim _{|x| \rightarrow \infty} f(x)=0$. Precisely, this means that if $\varepsilon>0$ is given, then there exists some $R>0$ such that $|f(x)|<\varepsilon$ for all $x$ with $|x| \geq R$. The space of continuous functions that vanish at infinity is $$C_0\left(\mathbb{R}^d\right)=\left{f \in C\left(\mathbb{R}^d\right): \lim _{|x| \rightarrow \infty} f(x)=0\right} .$$
The support of a continuous function $f$ on $\mathbb{R}^d$ is the closure in $\mathbb{R}^d$ of the set of points where $f$ is nonzero:
$$\operatorname{supp}(f)=\overline{\left{x \in \mathbb{R}^d: f(x) \neq 0\right}} .$$
We say that $f$ has compact support if $\operatorname{supp}(f)$ is a compact set. Since supp $(f)$ is a closed subset of $\mathbb{R}^d$ (by definition), the Heine-Borel Theorem implies that supp $(f)$ is compact if and only if it is bounded. Hence,
$f$ has compact support $\Longleftrightarrow \quad f$ is zero outside of some ball $B_r(0)$.
The space of continuous functions with compact support is
$$C_c\left(\mathbb{R}^d\right)=\left{f \in C\left(\mathbb{R}^d\right): \operatorname{supp}(f) \text { is compact }\right} \text {. }$$

# 实分析代写

## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|The Uniform Norm

$\overline{\mathbf{F}}=[-\infty, \infty]$ ，然后 $C(X)$ 是一组连续的实值函数 $X$ (我们不允许功能 $C(X)$ 取值 $\pm \infty$ ). 我们让 $C_b(X)$ 是所 有有界连续函数的子空间 $X$ :
$$C_b(X)=f \in C(X): f \text { is bounded . }$$

$$|f|{\mathrm{u}}=\sup x \in X|f(x)| .$$ 注意 $|f| \mathrm{u}$ 为每个函数定义 $X$ ，虽然 $|f|{\mathrm{u}}=\infty$ 如果 $f$ 是 无界的。所以 $\left.f\right|{\mathrm{u}}<\infty$ 对所有人 $f \in C_b(X)$ ，读者应 该检查 $|\cdot|{\mathrm{u}}$ 是一个常态 $C_b(X)$ 在定义 $1.2 .3$ 的意义上。 因此 $C_b(X)$ 是赋范向量空间。

$$\lim n \rightarrow \infty\left|f-f_n\right| \mathrm{u}-\lim n \rightarrow \infty(\sup x \in X \mid f(x)$$

## 数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Some Function Spaces

$\lim _{|x| \rightarrow \infty} f(x)=0$. 准确地说，这意味着如果 $\varepsilon>0$

loperatorname ${$ supp $}(f)=$ loverline ${1$ left ${x \operatorname{lin} \backslash \operatorname{Imathbb}{\mathcal{F}$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。