# 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|PHYS2041

#### Doug I. Jones

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## 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Schr¨odinger Equation

Let us try and extend the Schrödinger equation to describe a non-relativistic particle of mass $m$ moving in a real potential $V(x)$. An evident approach is to just appeal to our classical mechanics arguments and extend the hamiltonian by
$$\frac{p^2}{2 m} \rightarrow \frac{p^2}{2 m}+V(x)$$
Let us see what happens to our previous quantum mechanics arguments if we work with the following hamiltonian
$$H(p, x)=\frac{p^2}{2 m}+V(x) \quad ; \text { hamiltonian }$$
We will continue to write the momentum in the Schrödinger equation as
$$p=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \quad ; \text { momentum }$$
The hamiltonian is still hermitian, since a real potential is hermitian
$$\int d x \psi^(x) V \psi(x)=\int d x[V \psi(x)]^ \psi(x) \quad \text {; hermitian }$$
The separated solutions are then again stationary states
$$\Psi(x, t)=\psi(x) e^{-i E t / \hbar}$$
where $E$ is the real energy
$$\frac{\int d x \psi^*(x) H \psi(x)}{\int d x|\psi(x)|^2}=E$$

## 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Particle in a Box

Before investigating the general boundary conditions, let us first consider another simple physical situation where the potential is repulsive and grows very large. The potential then effectively presents a wall to the particle where the wave function must vanish. If a particle moves in one dimension along the $x$-axis and is in a box of length $L$, the boundary conditions become (see Fig. 3.1)
$$\psi(0)=\psi(L)=0 \quad \text {; particle in box }$$
The energy eigenstates in this case are
\begin{aligned} \psi_n(x) & =\sqrt{\frac{2}{L}} \sin k_n x \ k_n & =\frac{n \pi}{L} \quad ; n=1,2,3, \cdots \end{aligned}

The corresponding energy eigenvalues are
$$E_n=\frac{\left(\hbar k_n\right)^2}{2 m}=\frac{(\hbar \pi n)^2}{2 m L^2}$$
The energy eigenstates are no longer also eigenstates of momentum, since now the particle is bouncing off the walls; however, the momentum operator is still hermitian since the boundary term on the r.h.s. of Eq. (2.36) still vanishes
$$\left[\psi_m^*(x) \psi_n(x)\right]_0^L=0$$

# 量子力学代考

## 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Schr¨odinger Equation

$$\frac{p^2}{2 m} \rightarrow \frac{p^2}{2 m}+V(x)$$

$$H(p, x)=\frac{p^2}{2 m}+V(x) \quad ; \text { hamiltonian }$$

$$p=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \quad ; \text { momentum }$$

$$\left.\int d x \psi^{(} x\right) V \psi(x)=\int d x[V \psi(x)]^\psi(x) \quad ; \text { hermitian }$$

$$\Psi(x, t)=\psi(x) e^{-i E t / \hbar}$$

$$\frac{\int d x \psi^*(x) H \psi(x)}{\int d x|\psi(x)|^2}=E$$

## 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Particle in a Box

$\psi(0)=\psi(L)=0 \quad ;$ particle in box

$$\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}} \sin k_n x k_n \quad=\frac{n \pi}{L} \quad ; n=1,2,3$$

$$E_n=\frac{\left(\hbar k_n\right)^2}{2 m}=\frac{(\hbar \pi n)^2}{2 m L^2}$$

$$\left[\psi_m^*(x) \psi_n(x)\right]_0^L=0$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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