## 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|PHYC30018

2023年4月4日

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## 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Barrier Penetration

Consider a non-relativistic particle moving in one dimension against a barrier of height $V_0$ extending for all $x>0$. Suppose its energy is less than the barrier height. Then classically it can never get into the barrier, since its kinetic energy is a positive definite quantity
$$\begin{array}{rlr} E & =\frac{m}{2} \dot{x}^2+V_0 \quad ; x>0 \ E-V_0 & =\frac{m}{2} \dot{x}^2 \geq 0 \end{array}$$
Let us now ask what happens in quantum mechanics with the above boundary conditions. Consider a stationary state with an energy $E<V_0$ below the barrier. To the left of the barrier, we have both an incident and reflected wave (see Fig. 3.4)
$$\psi(x)=e^{i k x}+a e^{-i k x} \quad ; x<0$$

Inside the barrier, the Schrödinger equation reads
$$\left[-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2}{d x^2}+V_0\right] \psi(x)=E \psi(x) \quad ; x>0$$
This can be rearranged to read
\begin{aligned} \frac{d^2 \psi(x)}{d x^2} & =\kappa^2 \psi(x) & ; x>0 \ \kappa^2 & \equiv \frac{2 m\left(V_0-E\right)}{\hbar^2} & \end{aligned}
The acceptable solution inside the barrier, which extends out to infinity, is evidently
$$\psi(x)=b e^{-\kappa x} \quad ; x>0$$
Let us now match the wave functions, and their first derivatives, at the origin $x=0$
\begin{aligned} 1+a & =b \ i k(1-a) & =-\kappa b \end{aligned}

## 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Bound States

As another application of the one-dimensional Schrödinger equation, consider the lowest-energy ground state in an attractive square-well potential
$$V(x)=-V_0 \quad ;-L0. We are looking for a bound state with (see Fig. 3.5)$$
E=-E_b<0 \quad \text {; bound state } $$The ground state will be symmetric, and so we only have to consider x>0. Inside the potential, we want the symmetric solution with minimum curvature, and so$$
\begin{array}{rlr}
\psi(x) & =a \cos \left(\kappa_i x\right) \quad ; xL \
\kappa_o^2 & =\frac{2 m}{\hbar^2} E_b
\end{array}
$$Now match the wave functions and their derivatives at x=L. Better yet, match the logarithmic derivative, which is the ratio of the derivative to the function, since one then gets rid of the amplitudes. Thus, with a change in sign,$$
\kappa_i \tan \left(\kappa_i L\right)=\kappa_o \quad \text {; eigenvalue equation (3.30) }
$$# 量子力学代考 ## 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Barrier Penetration 考虑一个非相对论粒子在一个维度上对抗高度障碍移动 V_0 为所有人延伸 x>0. 假设它的能量小于势垒高度。 然后经典地它永远不会进入障碍，因为它的动能是一个 正定的量$$
E=\frac{m}{2} \dot{x}^2+V_0 \quad ; x>0 E-V_0 \quad=\frac{m}{2} \dot{x}^2 \geq 0
$$现在让我们问一下，在具有上述边界条件的情况下，量 子力学会发生什么。考虑具有能量的静止状态 E0$$

$$\frac{d^2 \psi(x)}{d x^2}=\kappa^2 \psi(x) \quad ; x>0 \kappa^2 \equiv \frac{2 m\left(V_0-E\right)}{\hbar^2}$$

$$\psi(x)=b e^{-\kappa x} \quad ; x>0$$

$$1+a=b i k(1-a) \quad=-\kappa b$$

## 物理代写|量子力学代写quantum mechanics代考|Bound States

$V(x)=-V_0 \quad ;-L 0 \$$. Wearelookingforabound E=-E _b<0 \backslash quad \backslash text \{; bound state \} \ \$$ 基态是对称 的，所以我们只需要考虑$x>0$. 在势内，我们想要具有最小曲率的对称解，因此 $$\psi(x)=a \cos \left(\kappa_i x\right) \quad ; x L \kappa_o^2=\frac{2 m}{\hbar^2} E_b$$ 现在匹配波函数及其导数$x=L$. 更好的是，匹配对数导 数，这是导数与函数的比率，因为这样就可以摆脱振 幅。因此，随着符号的变化，$\kappa_i \tan \left(\kappa_i L\right)=\kappa_o \quad ;\$ eigenvalue equation (3.30)

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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