# 数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Theorems of Jordan-Brouwer

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## 数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Theorems of Jordan-Brouwer

Let us consider the compact set $F \subset \mathbb{R}^n$, and we denote the number of connected components for the open set $\mathbb{R}^n \backslash F$ by the symbol $N(F) \in$ ${0,1, \ldots,+\infty}$.
Theorem 1. (Jordan, Brouwer)
Let two homeomorphic compact sets $F$ and $F^$ in $\mathbb{R}^n$ be given. Then we have the identity $N(F)=N\left(F^\right)$.
Proof: (J. Leray)
Since the sets $F$ and $F^$ are homeomorphic, we have a topological mapping $\hat{f}: F \rightarrow F^$ with its inverse mapping $\hat{f}^{-1}: F^* \rightarrow F$. With the aid of Tietze’s extension theorem we construct mappings $f, g \in C^0\left(\mathbb{R}^n\right)$ satisfying $f(x)=\hat{f}(x)$ for all points $x \in F$ and $g(y)=\hat{f}^{-1}(y)$ for all points $y \in F^$. On the contrary, we assume that $$N:=N(F) \neq N\left(F^\right)=: N^*$$
was correct: Then we depart from the inequality $N^$ is finite. We denote by the symbols $\left{D_i\right}_{i=1, \ldots, N}$ and $\left{D_i^\right}_{i=1, \ldots, N^}$ the bounded connected components of $\mathbb{R}^n \backslash F$ and $\mathbb{R}^n \backslash F^$, respectively. When we take $z \in D_k$ and $k \in\left{1, \ldots, N^+1\right}$, the product theorem yields
\begin{aligned} \delta_{i k} & =d\left(g \circ f, D_i, D_k\right)=d\left(g \circ f, D_i, z\right) \ & =\sum_{j=1}^{N^} \underbrace{d\left(f, D_i, D_j^\right)}{:=a{i j}} \underbrace{d\left(g, D_j^, z\right)}{:=b{j k}}=\sum_{j=1}^{N^} a_{i j} b_{j k} \quad \text { for } \quad i, k=1, \ldots, N^*+1 . \end{aligned}

Now we have a point $\xi=\left(\xi_1, \ldots, \xi_{N^+1}\right) \in \mathbb{R}^{N^+1} \backslash{0}$ satisfying
$$\sum_{k=1}^{N^+1} b_{j k} \xi_k=0 \quad \text { for } \quad j=1, \ldots, N^$$
Consequently, we obtain with the relation
$$\xi_i=\sum_{j=1}^{N^} \sum_{k=1}^{N^+1} a_{i j} b_{j k} \xi_k=\sum_{j=1}^{N^} a_{i j}\left(\sum_{k=1}^{N^+1} b_{j k} \xi_k\right)=0, \quad i=1, \ldots, N^+1$$ an evident contradiction. The assumption $N \neq N^$ was incorrect which implies equality.
q.e.d.

## 数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|The Cauchy-Riemann differential equation

We begin with the following
Definition 1. Let the function $f=f(z): \Omega \rightarrow \mathbb{C}$ be defined on the open set $\Omega \subset \mathbb{C}$, and $z_0 \in \Omega$ denotes an arbitrary point. Then we name the function $f$ complex differentiable at the point $z_0$ if the following limit
$$\lim _{\substack{z \rightarrow z_0 \ z \neq z_0}} \frac{f(z)-f\left(z_0\right)}{z-z_0}=: f^{\prime}\left(z_0\right)$$
exists. We call $f^{\prime}\left(z_0\right)$ the complex derivative of the function $f$ at the point $z_0$. When $f^{\prime}(z)$ exists for all $z \in \Omega$ and the function $f^{\prime}: \Omega \rightarrow \mathbb{C}$ is continuous, we name the function $f$ holomorphic in $\Omega$.
We note the well-known
Theorem 1. If the power series
$$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$$
converges for all points $|z|0$ being fixed, then the function $f(z)$ is holomorphic in the disc ${z \in \mathbb{C}:|z|<R}$ and we have
$$f^{\prime}(z)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n z^{n-1}$$

# 偏微分方程代写

## 有限元方法代写

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