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偏微分方程指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。符合这个关系的函数是方程的解。

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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Continuous and compact operators

A linear mapping $T$ is continuous if and only if the image of the unit sphere under $T$ is bounded (see Appendix A.1). If this image is even relatively compact (that is, its closure is compact), then we call $T$ compact. We have thus made the following definition:

Definition 4.37 Let $E$ and $F$ be normed spaces. A linear mapping $T: E \rightarrow F$ is called compact if the following condition is satisfied: for any bounded sequence $\left(u_n\right){n \in \mathbb{N}} \subset E$ there exists a subsequence $\left(u{n_k}\right){k \in \mathbb{N}}$ such that $\left(T u{n_k}\right){k \in \mathbb{N}}$ converges in $F{\text {s }}$

Here we wish to consider such mappings in the special situation of Hilbert spaces, where we have both convergence in norm and weak convergence. We will assume throughout that $H_1$ and $H_2$ are real or complex separable Hilbert spaces.

Theorem 4.38 Let $T: H_1 \rightarrow H_2$ be linear and continuous. Then $T$ is weakly continuous, that is, $u_n \rightarrow u$ in $H_1$ implies $T u_n \rightarrow T u$ in $H_2$.

Proof Let $w \in H_2$, then $\varphi(v):=(T v, w){H_2}$ defines a continuous linear form on $H_1$. By the theorem of Riesz-Fréchet, there is thus a unique $T^* w \in H_1$ such that $(T v, w){H_2}=\left(v, T^* w\right){H_1}$ for all $v \in H_1$. If $u_n \rightarrow u$ in $H_1$, then $$ \left(T u_n, w\right){H_2}=\left(u_n, T^* w\right){H_1} \rightarrow\left(u, T^* w\right){H_1}=(T u, w)_{H_2} .
$$
Since $w \in \mathrm{H}_2$ was arbitrary, it follows that $T u_n \rightarrow T u$ in $H_2$.
The converse of Theorem $4.38$ is also true: every weakly continuous operator is also continuous; see Exercise 4.2. Now we can describe compact operators as being exactly those operators which “improve” convergence in the following sense.

Theorem 4.39 Let $T: H_1 \rightarrow H_2$ be linear. Then the following statements are equivalent:
(i) $T$ is compact.
(ii) $u_n \rightarrow u$ in $H_1$ implies $T u_n \rightarrow T u$ in $\mathrm{H}_2$.
For the proof we will use the following lemma which, despite looking like splitting hairs, turns out to be extremely useful.

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David Hilbert (1862-1943) was one of the pre-eminent mathematicians of the first half of last century. At the International Congress of Mathematicians (ICM) in Paris in 1900, Hilbert presented his famous 23 mathematical problems, which continue to exert considerable influence on mathematical research to this day. He was the central figure of the Göttingen school, which up until the Nazis seized power in Germany in 1933 was one of the foremost mathematical institutions worldwide. Between 1904 and 1910, Hilbert published a series of articles on integral equations, in which bilinear forms on $\ell_2$ appeared as an essential tool.

The definition of Hilbert spaces was only given in 1929, by John von Neumann. Decisive for the success of Hilbert space theory was the invention of the Lebesgue integral, in the doctoral thesis of Henri Lebesgue completed in 1902. Building on Lebesgue’s theory, Frigyes Riesz showed in 1907 that every element of $\ell_2(\mathbb{Z})$ is the sequence of Fourier coefficients of some function in $L_2(0,2 \pi)$. In the same year, Ernst Fischer (1875-1954) proved that $L_2(0,2 \pi)$ is complete, which is equivalent to Riesz’ result. This is why the name “theorem of Riesz-Fischer” is often used for the fact that $L_2(\Omega)$

is complete (see the appendix). Riesz and Maurice Fréchet (1878-1973) determined the set of all continuous linear forms on $L_2(0,1)$ independently of each other in 1907, thus proving Theorem $4.21$.

Fréchet obtained his doctorate in Paris in 1906 under Hadamard; in his dissertation, metric spaces are introduced for the first time. The theorem of Riesz-Fréchet is often known as the Riesz representation theorem; however, there is another Riesz representation theorem for measures, which will play an important role in Section 7.2.

It was Hilbert who proved a first version of the spectral theorem, Theorem 4.50. But subsequent to his works on integral equations, it was operators and not bilinear forms which took centre stage. Bounded operators on Hilbert spaces became a central concept in mathematics, and to this day operator theory remains an important area of mathematical research. In the 1930 s. quantum theory was a key driving force in the development of functional analysis. The decisive breakthrough in the mathematieal formulation of quantum physies was made by John von Neumann. who had visited Göttingen in 1926/27 and to whom the concept of unbounded operators is due (cf. Mathematische Annalen, No. 33, 1932). An unbounded self-adjoint operator (as was defined in Section 4.8) models an observable in quantum theory. The book Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik (Mathematical Foundations of Quantum Mechanics) by John von Neumann, which appeared in 1932 in German, describes the mathematical modeling of quantum theory as is still used today, and indeed with great success. Although operators are ideal for describing equations, it is interesting that bilinear forms reached their pinnacle as a method for solving partial differential equations around 50 years after Hilbert’s work.

偏微分方程代写

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Continuous and compact operators

线性映射 $T$ 是连续的当且仅当单位球面的图像在 $T$ 是有 界的 (见附录 A.1)。如果这个图像甚至是相对紧凑的 (即它的闭包是紧凑的)，那么我们调用 $T$ 袖珍的。因 此我们做了如下定义:
定义 $4.37$ 让 $E$ 和 $F$ 是赋范空间。线性映射 $T: E \rightarrow F$ 如果满足以下条件，则称为紧凑：对于任何有界序列 $\left(u_n\right) n \in \mathbb{N} \subset E$ 存在子序列 $\left(u n_k\right) k \in \mathbb{N}$ 这样 $\left(T u n_k\right) k \in \mathbb{N}$ 收敛于 $F \mathrm{~s}$
在这里，我们希望在 Hilbert 空间的特殊情况下考虑此 类映射，在这种情况下，我们既有范数收敛，也有弱收敛。我们将始终假设 $H_1$ 和 $H_2$ 是实数或复数可分希尔伯 特空间。
定理 4.38 让 $T: H_1 \rightarrow H_2$ 是线性和连续的。然后 $T$ 是 弱连续的，即 $u_n \rightarrow u$ 在 $H_1$ 暗示 $T u_n \rightarrow T u$ 在 $H_2$.
证明让 $w \in H_2$ ，然后 $\varphi(v):=(T v, w) H_2$ 定义一个 连续的线性形式 $H_1$. 根据 Riesz-Fréchet 的定理，因此 存在唯一的 $T^* w \in H_1$ 这样 $(T v, w) H_2=\left(v, T^* w\right) H_1$ 对所有人 $v \in H_1$. 如果 $u_n \rightarrow u$ 在 $H_1$ ，然后
$$
\left(T u_n, w\right) H_2=\left(u_n, T^* w\right) H_1 \rightarrow\left(u, T^* w\right) H_1
$$
自从 $w \in \mathrm{H}_2$ 是任意的，因此T $u_n \rightarrow T u$ 在 $H_2$.
定理的逆4.38也是如此: 每个弱连续算子也是连续的；
见练习 4.2。现在我们可以将紧湊算子描述为在以下意义 上“改进”收敛的那些算子。
定理 4.39 让 $T: H_1 \rightarrow H_2$ 是线生的。那么下面的陈述 是等价的:
(i) $T$ 很紧湊。
(二) $u_n \rightarrow u$ 在 $H_1$ 暗示 $T u_n \rightarrow T u$ 在 $\mathrm{H}_2$.
为了证明，我们将使用以下引理，尽管它看起来像分裂 的头发，但事实证明它非常有用。

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大卫·希尔伯特 (1862-1943) 是上世纪上半叶最杰出的 数学家之一。1900 年在巴黎举行的国际数学家大会 (ICM) 上，希尔伯特提出了他著名的 23 个数学问题， 这些问题至今对数学研究仍然产生相当大的影响。他是 哥廷根学派的核心人物，直到 1933 年纳粹在德国夺取 政权之前，哥廷根学派一直是世界上最重要的数学机构 之一。1904 年至 1910 年间，希尔伯特发表了一系列关 于积分方程的文章，其中双线性形式 $\ell_2$ 作为必备工具出 现。
希尔伯特空间的定义直到 1929 年才由约翰冯·诺依曼给 出。勒贝格积分的发明决定了爻尔伯特空间理论的成 功，亨利.勒贝格在 1902 年完成的博士论文中提出了这 一点。在勒贝格理论的基础上，Frigyes Riesz 在 1907 年表明， $\ell_2(\mathbb{Z})$ 是某个函数的傅立叶系数序列 $L_2(0,2 \pi)$. 同年，Ernst Fischer (1875-1954) 证明了 $L_2(0,2 \pi)$ 是完整的，相当于 Riesz 的结果。这就是为 什么经常使用“Riesz-Fischer 定理”这个名称的原因 $L_2(\Omega)$
已完成 (见附件)。Riesz 和 Maurice Fréchet (18781973) 确定了所有连续线性形式的集合 $L_2(0,1) 1907$ 年 相互独立，从而证明定理4.21.
Fréchet 于 1906 年在 Hadamard 的指导下在巴黎获得 博士学位。在他的论文中，首次引入了度量空间。
Riesz-Fréchet 定理通常被称为 Riesz 表示定理；然而， 还有另一个测度的 Riesz 表示定理，它将在 $7.2$ 节中发 挥重要作用。
希尔伯特证明了谱定理的第一个版本，即定理 4.50。但 在他对积分方程的研究之后，占据中心舞台的是算子而 不是双线性形式。希尔伯特空间上的有界算子成为数学 的核心概念，直到今天算子理论仍然是数学研究的重要 领域。在 1930 年代。量子理论是泛函分析发展的关键 推动力。约翰·氻·诺依曼 (John von Neumann) 在量子物 理学的数学公式方面取得了决定性突破。他曾在 1926/27 年访问过哥廷根，无界运算符的概念应归功于 他 (参见 Mathematische Annalen，1932 年第 33
期)。无界自伴算子 (如第 $4.8$ 节中所定义) 模拟量子 理论中的可观测值。约翰·冯·诺伊曼 (John von Neumann) 于 1932 年出版的德语版 Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik（量子力学的数学 基础) 一书描述了量子理论的数学模型，该模型至今仍 在使用，而且确实取得了巨大成功。尽管算子是描述方 程的理想选择，但有趣的是，双线性形式在希尔伯特工 作 50 年后作为一种求解偏微分方程的方法达到了顶峰。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。