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常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。
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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|On the Existence and Uniqueness of Solutions
Unfortunately, not all problems are solvable, and those that are solvable sometimes have several solutions. This is true in mathematics just as it is true in real life.
Before attempting to solve a problem involving some given differential equation and auxiliary condition (such as an initial value), it would certainly be nice to know that the given differential equation actually has a solution satisfying the given auxiliary condition. This would be especially true if the given differential equation looks difficult and we expect that considerable effort will be required in solving it (effort which would be wasted if that solution did not exist). And even if we can find a solution, we normally would like some assurance that it is the only solution.
The following theorem is the standard theorem quoted in most elementary differential equation texts addressing these issues for fairly general first-order initial-value problems.
Theorem $3.1$ (on existence and uniqueness)
Consider a first-order initial-value problem
$$
\frac{d y}{d x}=F(x, y) \quad \text { with } \quad y\left(x_0\right)=y_0
$$
in which both $F$ and ${ }^{\partial F} / \partial y$ are continuous functions on some open region of the $X Y$-plane containing the point $\left(x_0, y_0\right) .^2$ The initial-value problem then has exactly one solution over some open interval $(\alpha, \beta)$ containing $x_0$. Moreover, this solution and its derivative are continuous over that interval.
This theorem assures us that, if we can write a first-order differential equation in the derivative formula form,
$$
\frac{d y}{d x}=F(x, y),
$$
and that $F(x, y)$ is a ‘reasonably well-behaved’ formula on some region of interest, then our differential equation has solutions – with luck and skill, we will be able to find them. Moreover, if we can find a solution to this equation that also satisfies some initial value $y\left(x_0\right)=y_0$ corresponding to a point at which $F$ is ‘reasonably well-behaved’, then that solution is unique (i.e., it is the only solution) – there is no need to worry about alternative solutions – at least over some interval $(\alpha, \beta)$. Just what that interval $(\alpha, \beta)$ is, however, is not explicitly described in this theorem. It turns out to depend in subtle ways on just how well behaved $F(x, y)$ is. More will be said about this in a few paragraphs.
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Confirming the Existence of Solutions
So let us consider the first-order initial-value problem
$$
\frac{d y}{d x}=F(x, y) \quad \text { with } \quad y\left(x_0\right)=y_0 \quad,
$$
assuming that both $F$ and ${ }^{\partial F} / \partial y$ are continuous on some open region in the $X Y$-plane containing the point $\left(x_0, y_0\right)$. Our goal is to verify that a solution $y$ exists over some interval. (This is the existence claim of Theorem 3.1. The uniqueness claim of that theorem will be left as an exercise using material developed in the next section – see Exercise $3.2$ on page 56.)
The gist of our proof consists of three steps:
- Observe that the initial-value problem is equivalent to a corresponding integral equation.
- Derive a sequence of functions $-\psi_0, \psi_1, \psi_2, \psi_3, \ldots-$ using a formula inspired by that integral equation.
- Show that this sequence of functions converges on some interval to a solution $y$ of the original initial-value problem.
The “hard” part of the proof is in the details of the last step. We can skip over these details initially, returning to them in the next section.
Two comments should be made here:
- The $\psi_k$ ‘s end up being approximations to the solution $y$, and, in theory at least, the method we are about to describe can be used to find approximate solutions to an initial-value problem. Other methods, however, are often more practical.
- This method was developed by the French mathematician Emile Picard and is often referred to as the (Picard’s) method of successive approximations or as Picard’s iterative method (because of the way the $\psi_k$ ‘s are generated).
To simplify discussion let us assume $x_0=0$, so that our initial-value problem is
$$
\frac{d y}{d x}=F(x, y) \quad \text { with } \quad y(0)=y_0 .
$$
There is no loss of generality here. After all, if $x_0 \neq 0$, we can apply the change of variable $s=x-x_0$ and convert our original problem into problem (3.3) (with $x$ replaced by $s$ ).
常微分方程代写
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|On the Existence and Uniqueness of Solutions
不幸的是，并不是所有的问题都可以解决，而那些可以 解决的问题有时会有多种解决方案。这在数学中是正确 的，就像在现实生活中一样。
在尝试解决涉及某些给定微分方程和辅助条件 (例如初 始值) 的问题之前，最好知道给定微分方程实际上有满 足给定辅助条件的解。如果给定的微分方程看起来很困 难，并且我们预计要解决它需要相当大的努力（如果该 解决方案不存在，这些努力将被浪费），则尤其如此。 即使我们能找到解决方案，我们通常也希望得到一些保 证，即它是唯一的解决方案。
以下定理是大多数初等微分方程文本中引用的标准定 理，用于解决相当一般的一阶初值问题的这些问题。 定理3.1 (关于存在性和唯一性) 考虑一阶初值问题
$$
\frac{d y}{d x}=F(x, y) \quad \text { with } \quad y\left(x_0\right)=y_0
$$
其中两者 $F$ 和 ${ }^{\partial F} / \partial y$ 是某些开放区域上的连续函数 $X Y$ 包含点的平面 $\left(x_0, y_0\right) .{ }^2$ 那么初始值问题在某个开区间 内只有一个解 $(\alpha, \beta)$ 含有 $x_0$. 此外，该解及其导数在该 区间内是连续的。
这个定理向我们保证，如果我们可以用导数公式的形式 写出一阶微分方程，
$$
\frac{d y}{d x}=F(x, y),
$$
然后 $F(x, y)$ 是某个感兴趣区域的“合理行为良好”的公 式，那么我们的微分方程就有解一一如果有运气和技 巧，我们将能㿟找到它们。此外，如果我们能找到这个 方程的解也满足一些初始值 $y\left(x_0\right)=y_0$ 对应于一个点 $F$ 是“合理的良好行为”，那么该解决方案是唯一的（即， 它是唯一的解决方案) 一一无需担心替代解决方案一 至少在某个时间间隔内 $(\alpha, \beta)$. 只是那个间隔 $(\alpha, \beta)$ 然 而，这个定理中没有明确描述。事实证明，它以微夰的 方式取决于行为的好坏 $F(x, y)$ 是。将在几段中对此进 行更多说明。
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Confirming the Existence of Solutions
所以让我们考虑一阶初值问题
$$
\frac{d y}{d x}=F(x, y) \quad \text { with } \quad y\left(x_0\right)=y_0 \quad,
$$
假设两者 $F$ 和 ${ }^{\partial F} / \partial y$ 在某些开放区域上是连续的 $X Y$-包 含点的平面 $\left(x_0, y_0\right)$. 我们的目标是验证解决方案 $y$ 存在 于某个时间间隔内。（这是定理 $3.1$ 的存在性声明。该 定理的唯一性声明将留作练习，使用下一节中开发的材 料一一见练习3.2第 56 页。)
我们证明的要点包括三个步骤:
- 观察到初始值问题等价于相应的积分方程。
- 导出函数序列 $-\psi_0, \psi_1, \psi_2, \psi_3, \ldots$-使用受该 积分方程启发的公式。
- 证明这个函数序列在某个区间收敛到一个解 $y$ 的原 始初值问题。
证明的”困难”部分在于最后一步的细节。我们最初可以 跳过这些细节，在下一节中返回到它们。
这里应该提出两点意见：1. 这 $\psi_k$ 最终成为解决方案的近似值 $y$ ，并且至少在 理论上，我们将要描述的方法可用于找到初始值 问题的近似解。然而，其他方法通常更实用。 - 这种方法由法国数学家 Emile Picard 开发，通常 被称为 (Picard 的) 逐次逼近法或 Picard 的迭代 法 (因为 $\psi_k$ 的生成)。
为了简化讨论让我们假设 $x_0=0$, 所以我们的初 始值问题是
$$
\frac{d y}{d x}=F(x, y) \quad \text { with } \quad y(0)=y_0 .
$$
这里不失一般性。毕竟，如果 $x_0 \neq 0$ ，我们可以 应用变量的变化 $s=x-x_0$ 并将我们的原始问题 转换为问题 (3.3) (与 $x$ 取而代之 $s$ ).
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
