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常微分方程是为一个或多个独立变量的函数及其导数定义的方程。y’=x+1是一个常微分方程的例子。

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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Factorization of differential operators: homogeneous case

In this subsection, we find the solution to the ODE $P(D) y=0$ in terms of the roots of the polynomial $P$. In order to do that, we first recall the following basic results.
Result 1. If all the coefficients of the non-constant polynomial $P$ are real and $z \in \mathbb{C}$ is a root of $P$, then $\bar{z}$ is also a root of $P$. Hence there exist polynomials $Q_1, \ldots, Q_k$ such that degree of each $Q_i, 1 \leq i \leq k$ is either one or two and
$$
P(X)=Q_1(X) Q_2(X) \cdots Q_k(X) .
$$
Result 2. Let $T_i: V \rightarrow V, 1 \leq i \leq k$ be linear operators defined on a real vector space $V$ and $T_i T_j=T_j T_i, 1 \leq i, j \leq k$. Let $K_i=\left{v \in V: T_i(v)=\right.$ $0}, 1 \leq i \leq k$. Then
$$
\left{\sum_{i=1}^k c_i v_i: c_i \in \mathbb{R}, v_i \in K_i\right} \subseteq\left{v \in V: T_1 T_2 \cdots T_k(v)=0\right} .
$$
We use these two results to find solutions to the differential equations with constant coefficients. We begin with the following useful result which is motivated by Result 2 .

Lemma 3.1.1. Assume that $I: C(\mathbb{R}) \rightarrow C(\mathbb{R})$ denotes the identity function. Consider the $O D E$
$$
\left(D-\alpha_1 I\right)\left(D-\alpha_2 I\right) \cdots\left(D-\alpha_n I\right) y=0, x \in \mathbb{R},
$$
where $\alpha_i \in \mathbb{R}$ are distinct real numbers for $1 \leq i \leq n$. Then
$$
\phi(x)=c_1 e^{\alpha_1 x}+\cdots+c_n e^{\alpha_n x}, x \in \mathbb{R},
$$
where $c_j \in \mathbb{R}, 1 \leq j \leq n$ is a solution to (3.3).
Proof. We first set
$$
P(D) y:=\left(D-\alpha_1 I\right)\left(D-\alpha_2 I\right) \cdots\left(D-\alpha_n I\right) y, y \in C^n(\mathbb{R}) .
$$
Let $T_i=D-\alpha_i I, 1 \leq i, j \leq n$. Then notice that each $T_j$ is a linear operator and $T_i T_j=T_j T_i, 1 \leq i, j \leq n$. Furthermore, we find that $\phi_j=e^{\alpha_j x}$, is a solution to $\left(D-\alpha_j I\right) \phi_j=0,1 \leq j \leq n$ or $T_j\left(e^{\alpha_j x}\right)=0$. In view of Result 2, it follows that $\phi$ given in (3.4) is a solution to (3.3).

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Factorization of differential operators: non-homogeneous case

In this subsection, we study some methods to find a solution to the following non-homogeneous ODE with constant coefficients
$$
\mathscr{L}[y]:=\left(a_n D^n+a_{n-1} D^{n-1}+\cdots+a_0 I\right) y=f,
$$
where $a_i \in \mathbb{R}, 0 \leq i \leq n$ and $f$ is a continuous function. Our objective is to find a function in the set $\mathscr{L}^{-1}({f})$. Any member in the set $\mathscr{L}^{-1}({f})$ is called a particular solution to $\mathscr{L}[y]=f$.

We now consider the case where the operator $\mathscr{L}$ is given by
$$
\mathscr{L}=\left(D-\alpha_1 I\right)\left(D-\alpha_2 I\right) \cdots\left(D-\alpha_n I\right), \alpha_i \in \mathbb{R} .
$$
Since the operator $\mathscr{L}$ is the composition of the operators $D-\alpha_i I, 1 \leq i \leq n$, we readily get that
$$
\mathscr{L}^{-1}=\left(D-\alpha_n I\right)^{-1} \cdots\left(D-\alpha_1 I\right)^{-1} .
$$
We now find $\left(D-\alpha_1 I\right)^{-1} f$. For, we set $v=\left(D-\alpha_1 I\right)^{-1} f$, then $v$ satisfies
$$
\left(D-\alpha_1 I\right) v=f .
$$
Equation (3.17) is a first order linear equation and from (2.29) its solution is given by
$$
v(x)=e^{\alpha_1 x} \int^x f(x) e^{-\alpha_1 x} d x,
$$
where the integral is the indefinite integral. One can apply formula (3.18) récursively to obtain $\left(D-\alpha_n I\right)^{-1} \cdots\left(D-\alpha_1 I\right)^{-1} f$.
Example 3.1.17. Solve $\left(\bar{D}^2-5 \bar{D}+6 \bar{I}\right) y=x, x \in \mathbb{R}$.
Solution: We factorize the given equation as $(D-2 I)(D-3 I) y=x$. By setting $f(x)=x$ and using formula (3.18), we find
$$
(D-3 I)^{-1} f=e^{3 x} \int^x x e^{-3 x} d x=-e^{3 x}\left(\frac{x e^{-3 x}}{3}+\frac{e^{-3 x}}{9}\right)=-\frac{x}{3}-\frac{1}{9} .
$$
Again using formula (3.18), we compute
$$
(D-2 I)^{-1}(D-3 I)^{-1} f=(D-2 I)^{-1}\left(-\frac{x}{3}-\frac{1}{9}\right)=\frac{x}{6}+\frac{5}{36} .
$$
Hence
$$
\phi(x)=\frac{x}{6}+\frac{5}{36}, x \in \mathbb{R}
$$
is a particular solution to the given ODE.

常微分方程代写

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Factorization of differential operators: homogeneous case

在本小节中，我们找到 ODE 的解 $P(D) y=0$ 根据多项 式的根 $P$. 为此，我们首先回顾以下基本结果。 结果 1. 如果非常数多项式的所有系数 $P$ 是真实的并且 $z \in \mathbb{C}$ 是的根 $P$ ，然后 $\bar{z}$ 也是一个根 $P$. 因此存在多项式 $Q_1, \ldots, Q_k$ 这样每个程度 $Q_i, 1 \leq i \leq k$ 是一个或两 个并且
$$
P(X)=Q_1(X) Q_2(X) \cdots Q_k(X) .
$$
结果 2. 让 $T_i: V \rightarrow V, 1 \leq i \leq k$ 是定义在实数向量 空间上的线性算子 $V$ 和 $T_i T_j=T_j T_i, 1 \leq i, j \leq k$. 让 K_i=Vleft{v lin V: T_i(v)=|right. $\$ \$ 0}, 1$ 《leq i i leq k. 然后
我们使用这两个结果来寻找常系数微分方程的解。我们 从以下受结果 2 启发的有用结果开始。
引理 3.1.1。假使，假设 $I: C(\mathbb{R}) \rightarrow C(\mathbb{R})$ 表示身份 函数。考虑 $O D E$
$$
\left(D-\alpha_1 I\right)\left(D-\alpha_2 I\right) \cdots\left(D-\alpha_n I\right) y=0, x \in \mathbb{R}
$$
在哪里 $\alpha_i \in \mathbb{R}$ 是不同的实数 $1 \leq i \leq n$. 然后
$$
\phi(x)=c_1 e^{\alpha_1 x}+\cdots+c_n e^{\alpha_n x}, x \in \mathbb{R},
$$
在哪里 $c_j \in \mathbb{R}, 1 \leq j \leq n$ 是 (3.3) 的解。
证明。我们先设
$$
P(D) y:=\left(D-\alpha_1 I\right)\left(D-\alpha_2 I\right) \cdots\left(D-\alpha_n I\right) y, y
$$
让 $T_i=D-\alpha_i I, 1 \leq i, j \leq n$. 然后注意每个 $T_j$ 是 一个线性算子并且 $T_i T_j=T_j T_i, 1 \leq i, j \leq n$. 此外， 我们发现 $\phi_j=e^{\alpha_j x}$ ，是一个解决方案 $\left(D-\alpha_j I\right) \phi_j=0,1 \leq j \leq n$ 要么 $T_j\left(e^{\alpha_j x}\right)=0$. 鉴于结果 2，可以得出结论 $\phi(3.4)$ 中给出的是 (3.3) 的解。

数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Factorization of differential operators: non-homogeneous case

在本小节中，我们研究了一些方法来求解以下具有常系 数的非齐次 ODE
$$
\mathscr{L}[y]:=\left(a_n D^n+a_{n-1} D^{n-1}+\cdots+a_0 I\right) y=f
$$
在哪里 $a_i \in \mathbb{R}, 0 \leq i \leq n$ 和 $f$ 是连续函数。我们的目 标是在集合中找到一个函数 $\mathscr{L}^{-1}(f)$. 集合中的任何成 员 $\mathscr{L}^{-1}(f)$ 被称为一个特定的解决方案 $\mathscr{L}[y]=f$.
我们现在考虑运营商的情况 $\mathscr{L}$ 是 (谁) 给的
$$
\mathscr{L}=\left(D-\alpha_1 I\right)\left(D-\alpha_2 I\right) \cdots\left(D-\alpha_n I\right), \alpha_i \in \mathbb{R}
$$
由于运营商 $\mathscr{L}$ 是运算符的组成 $D-\alpha_i I, 1 \leq i \leq n$ ， 我们很容易得到
$$
\mathscr{L}^{-1}=\left(D-\alpha_n I\right)^{-1} \cdots\left(D-\alpha_1 I\right)^{-1} .
$$
我们现在发现 $\left(D-\alpha_1 I\right)^{-1} f$. 因为，我们设 $v=\left(D-\alpha_1 I\right)^{-1} f ＼mathrm{~ ， ~ 然 后 ~} v_{\text {满足 }}$
$$
\left(D-\alpha_1 I\right) v=f
$$
方程 (3.17) 是一阶线性方程，根据 (2.29) 其解由下式给 出
$$
v(x)=e^{\alpha_1 x} \int^x f(x) e^{-\alpha_1 x} d x
$$
其中积分是不定积分。可以递归地应用公式 (3.18) 得 到 $\left(D-\alpha_n I\right)^{-1} \cdots\left(D-\alpha_1 I\right)^{-1} f$.
示例 3.1.17。解决 $\left(\bar{D}^2-5 \bar{D}+6 \bar{I}\right) y=x, x \in \mathbb{R}$.
解决方案: 我们将给定的方程分解为
$(D-2 I)(D-3 I) y=x$. 通过设置 $f(x)=x$ 并利 用公式 (3.18)，我们发现
$$
(D-3 I)^{-1} f=e^{3 x} \int^x x e^{-3 x} d x=-e^{3 x}\left(\frac{x e^{-3 x}}{3}\right.
$$
再次使用公式 (3.18)，我们计算
$$
(D-2 I)^{-1}(D-3 I)^{-1} f=(D-2 I)^{-1}\left(-\frac{x}{3}-\frac{1}{9}\right.
$$
因此
$$
\phi(x)=\frac{x}{6}+\frac{5}{36}, x \in \mathbb{R}
$$
是给定 ODE 的特解。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。