## 数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|MATH289

2023年1月6日

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## 数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Method of partial fractions

The method of finding $\mathscr{L}^{-1} f$ using successive application of formula (3.18) has a drawback. That is we can find $\left(D-\alpha_k\right)^{-1} \cdots\left(D-\alpha_1\right)^{-1} f$ only after computation of $\left(D-\alpha_1\right)^{-1} f,\left(D-\alpha_2\right)^{-1}\left(D-\alpha_1\right)^{-1} f, \ldots,\left(D-\alpha_{k-1}\right)^{-1} \cdots(D-$ $\left.\alpha_1\right)^{-1} f$. This avoids ‘parallel’ computation of $\left(D-\alpha_k\right)^{-1} \cdots\left(D-\alpha_1\right)^{-1} f$. We illustrate what we mean by parallel computation by finding a solution to the problem given in Example 3.1.17. Before that, we prove the following elementary result.

Lemma 3.1.18. Let $J$ be an interval, $\alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{R}, f \in C^1(J),\left(D-\alpha_1 I\right) y_1=f$ and $\left(D-\alpha_2 I\right) y_2=f$. Then we have
$$\left(D-\alpha_1 I\right)\left(D-\alpha_2 I\right)\left(\frac{y_1-y_2}{\alpha_1-\alpha_2}\right)=f$$
or equivalently
$$\left(D-\alpha_2 I\right)^{-1}\left(D-\alpha_1 I\right)^{-1} f=\frac{1}{\alpha_1-\alpha_2}\left(\left(D-\alpha_1 I\right)^{-1}-\left(D-\alpha_2 I\right)^{-1}\right) f .$$
Proof. A straightforward calculation gives us that
$$\left(D-\alpha_1 I\right)\left(D-\alpha_2 I\right)\left(\frac{y_1-y_2}{\alpha_1-\alpha_2}\right)=\frac{\left(D-\alpha_2 I\right) f}{\alpha_1-\alpha_2}-\frac{\left(D-\alpha_1 I\right) f}{\alpha_1-\alpha_2}=f .$$
This proves the lemma.
Formally, we can write (3.19) as
$$\frac{1}{\left(D-\alpha_1 I\right)\left(D-\alpha_2 I\right)}=\frac{1}{\alpha_1-\alpha_2}\left(\frac{1}{D-\alpha_1 I}-\frac{1}{D-\alpha_2 I}\right) .$$
This is analogous to the formula of partial fractions when $D$ is a real variable. Lemma 3.1.18 can be extended to various other cases by simply considering the corresponding identities in the partial fractions.
We now use this method to find a solution to the problem given in Example 3.1.17.

## 数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Power series method

If the non-homogeneous term $f$ in equation (3.16) is a polynomial, then we use a special method to find a solution to (3.16). An advantage of this method is that we need not factorize the given differential operator. Before we begin explaining the method, consider the identity
$$(1+\alpha)\left(1-\alpha+\cdots+(-1)^n \alpha^n\right)=1+(-1)^n \alpha^{n+1}, \alpha \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}$$

Suppose $f$ and $P$ are polynomials of degrees $n_1$ and $n_2$, respectively. Moreover assume that $P(0) \neq 0$ and $P(X)=P(0)(1+Q(X))$. Then we have the identity $(I+Q(D))\left(I-Q(D)+\cdots+(-1)^{n_1} Q^{n_1}(D)\right) f=\left(I+(-1)^{n_1} Q^{n_1+1}(D)\right) f=f$, because $Q^{n_1+1}(D) f=0$. Therefore it follows that
$$(I+Q(D))^{-1} f=\left(1-Q(D)+\cdots+(-1)^{n_1} Q^{n_1}(D)\right) f,$$
and thus
$$(P(D))^{-1} f=\frac{1}{P(0)}\left(1-Q(D)+\cdots+(-1)^{n_1} Q^{n_1}(D)\right) f .$$
We illustrate this technique by giving some examples.
Example 3.1.19. Solve $\left(D^2+D+3 I\right) y=x^2+4 x, x \in \mathbb{R}$.

# 常微分方程代写

## 数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Method of partial fractions

$\left(D-\alpha_1\right)^{-1} f,\left(D-\alpha_2\right)^{-1}\left(D-\alpha_1\right)^{-1} f, \ldots,\left(D-\alpha_{k-1}\right)$ $\left.\alpha_1\right)^{-1} f$. 这避免了”并行”计算
$\left(D-\alpha_k\right)^{-1} \cdots\left(D-\alpha_1\right)^{-1} f$. 我们通过找到示例
3.1.17 中给出的问题的解决方案来说明并行计算的含

$$\left(D-\alpha_1 I\right)\left(D-\alpha_2 I\right)\left(\frac{y_1-y_2}{\alpha_1-\alpha_2}\right)=f$$

$$\left(D-\alpha_2 I\right)^{-1}\left(D-\alpha_1 I\right)^{-1} f=\frac{1}{\alpha_1-\alpha_2}\left(\left(D-\alpha_1 I\right)^{-}\right.$$

$$\left(D-\alpha_1 I\right)\left(D-\alpha_2 I\right)\left(\frac{y_1-y_2}{\alpha_1-\alpha_2}\right)=\frac{\left(D-\alpha_2 I\right) f}{\alpha_1-\alpha_2}$$

$$\frac{1}{\left(D-\alpha_1 I\right)\left(D-\alpha_2 I\right)}=\frac{1}{\alpha_1-\alpha_2}\left(\frac{1}{D-\alpha_1 I}\right.$$

## 数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Power series method

$$(1+\alpha)\left(1-\alpha+\cdots+(-1)^n \alpha^n\right)=1+(-1)^n \alpha^n$$

$$(I+Q(D))\left(I-Q(D)+\cdots+(-1)^{n_1} Q^{n_1}(D)\right) f=$$
，因为 $Q^{n_1+1}(D) f=0$. 因此它遵循
$$(I+Q(D))^{-1} f=\left(1-Q(D)+\cdots+(-1)^{n_1} Q^{n_1}\right.$$

$$(P(D))^{-1} f=\frac{1}{P(0)}\left(1-Q(D)+\cdots+(-1)^{n_1} Q^n\right.$$

$$\left(D^2+D+3 I\right) y=x^2+4 x, x \in \mathbb{R}$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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