# 数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|SYSM6305

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Repeated Integration by Dichotomy and Romberg’s

Let $I_{N, 1}$ be the estimation of the integral
$$\int_a^b f(x) d x$$
obtained by using the composite trapezoidal rule with a number $n$ of subintervals such that $n=2^N . I_{0,1}$ is the estimation of the integral obtained by using the simple trapezoidal rule $($ step $=h)$
$$I_{0,1}=\frac{(b-a)}{1}\left{\frac{1}{2}[f(a)+f(b)]\right}$$
$I_{1,1}$ is the estimation of the integral obtained by using the simple trapezoidal rule applied two times (step $=h / 2)$
\begin{aligned} I_{1,1} &=\frac{(b-a)}{2}\left{\frac{1}{2}[f(a)+f(b)]+f\left(a+\frac{(b-a)}{2}\right)\right} \ &=\frac{1}{2}\left{I_{0,1}+(b-a) f\left(a+\frac{(b-a)}{2}\right)\right} \end{aligned}
$I_{2,1}$ is the estimation of the integral obtained by using the simple trapezoidal rule applied four times $\left(\right.$ step $\left.=h / 2^2\right)$
\begin{aligned} I_{2,1} &=\frac{(b-a)}{4}\left{\frac{1}{2}[f(a)+f(b)]+\sum_{i=1}^3 f\left(a+i \frac{(b-a)}{4}\right)\right} \ &=\frac{1}{2}\left{I_{1,1}+\frac{(b-a)}{2} \sum_{\substack{i=1 \ \Delta i=2}}^3 f\left(a+i \frac{(b-a)}{4}\right)\right} \end{aligned}
The recurrence relation relating $I_{n, 1}$ (step $=h / 2^n$ ) to $I_{n-1,1}$ (step $=h / 2^{n-1}$ ) is thus expressed as
$$I_{n, 1}=\frac{1}{2}\left{I_{n-1,1}+\frac{(b-a)}{2^{n-1}} \sum_{\substack{i=1 \ \Delta i=2}}^{2^n-1} f\left(a+i \frac{(b-a)}{2^n}\right)\right}$$
The error term corresponding to $I_{n, 1}$ is equal to
$$-\frac{(b-a)^3}{12(2)^{2 n}} f^{(2)}(\xi), \quad \xi \in[a, b]$$
Provided that the function $f^{(2)}$ be continuous and bounded, $I_{n, 1}$ converges to the exact value of the integral.

## 数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Reminder on Orthogonal Polynomials

Two functions $g_m(x)$ and $g_n(x)$ belonging to a family of functions $g_i(x)$ are orthogonal with respect to a weight function $w(x)$ on the interval $[a, b]$ when, for all $n$
$$\begin{gathered} =\int_a^b w(x) g_m(x) g_n(x) d x=0 \quad \text { if } n \neq m \ \quad=\int_a^b w(x)\left[g_n(x)\right]^2 d x=c(n) \neq 0 \end{gathered}$$

where the notation $$is called scalar product of the functions f and g relative to the weight function w. The scalar product is a number. Two functions are orthogonal when their scalar product is zero. A function is normalized when the scalar product of the function by itself is equal to 1 . If all orthogonal functions two by two of the ensemble are normalized, the ensemble is orthonormal. In general, the value of c depends on n. A way to generate an ensemble of orthogonal polynomials for a given weight function w(x) is to use the recurrence relation$$
\begin{aligned}
&P_{-1}(x) \equiv 0 \
&P_0(x) \equiv 1 \
&P_{n+1}(x)=\left(x-a_n\right) P_n(x)-b_n P_{n-1}(x), \quad n=0,1,2, \ldots
\end{aligned}
$$with the coefficients defined by$$
\begin{aligned}
&a_n=\frac{\left\langle x P_n \mid P_n\right\rangle}{\left\langle P_n \mid P_n\right\rangle}, \quad n=0,1,2, \ldots \
&b_n=\frac{\left\langle x P_n \mid P_{n-1}\right\rangle}{\left\langle P_{n-1} \mid P_{n-1}\right\rangle}, \quad n=1,2, \ldots, \quad \text { any } b_0
\end{aligned}
$$To demonstrate Equation (2.6.5), it suffices to consider Equation (2.6.4) and to multiply by w(x) P_n or w(x) P_{n-1} respectively, then to take the integral of the new equation and to use the properties of orthogonal polynomials. The polynomials defined by (2.6 .4) are monic, i.e. the coefficient of the monomial x^n of largest degree of P_n(x) is equal to 1 . If each polynomial is divided by \left\langle P_n \mid P_n\right\rangle^{1 / 2}, the ensemble of polynomials becomes orthonormal. Other orthogonal polynomials can be met with different normalizations. Each polynomial P_n(x) has exactly n distinct roots in the interval [a, b]. Among thẻ known families of orthogonal functions, let us cite the family ( \sin k x) and the family (\cos k x). The monomial functions are not orthogonal. On the opposite, there exist several families of orthogonal polynomials. # 最优化代写 ## 数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Repeated Integration by Dichotomy and Romberg’s 让 I_{N, 1} 是积分的估计$$
\int_a^b f(x) d x
通过使用带数字的复合梯形规则获得 n 的子区间使得 n=2^N \cdot I_{0,1} 是使用简单梯形法则得到 的积分的估计 ( 步 =h) I_{1,1} 是通过使用简单梯形规则获得的积分的估计，应用两次 ( 步㡜= h / 2) I_{2,1} 是使用四次应用的简单梯形规则获得的积分的估计 \left(\right. 步 \left.=h / 2^2\right) Ibegin{aligned } I_{ 2,1} \& = Ifrac {( ba )}{4} \backslash left {\text { frac }{1}{2}[f(a)+f(b)]+\mid \text { sum_{i }=1}^{\wedge} 3 fleftt(a+i \frac {(b a)} 相关的递推关系 I_{n, 1} \quad\left(\right. 步 \left.=h / 2^n\right) 至 I_{n-1,1} \quad\left(\right. 步 \left.=h / 2^{n-1}\right) 因此表示为 对应的误差项 I_{n, 1} 等于
-\frac{(b-a)^3}{12(2)^{2 n}} f^{(2)}(\xi), \quad \xi \in[a, b]
$$前提是函数 f^{(2)} 是连续的和有界的， I_{n, 1} 收敛到积分的精确值。 ## 数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Reminder on Orthogonal Polynomials 两个功能 g_m(x) 和 g_n(x) 属于函数族 g_i(x) 与权重函数正交 w(x) 在区间 [a, b] 什么时候，对 于所有人 n$$
=\int_a^b w(x) g_m(x) g_n(x) d x=0 \quad \text { if } n \neq m \quad=\int_a^b w(x)\left[g_n(x)\right]^2 d x=c(n) \neq 0
$$其中符号 \ \$$ 称为函数的标量积 $f$ 和 $g$ 相对于权重函数 $w$. 标量积是一个数字。当标量积为零 时，两个函数是正交的。当函数本身的标量积等于 1 时，函数被归一化。如果集合的所有正 交函数两两归一化，则集合是正交的。一般来说，价值 $c$ 取决于 $n$.

$$P_{-1}(x) \equiv 0 \quad P_0(x) \equiv 1 P_{n+1}(x)=\left(x-a_n\right) P_n(x)-b_n P_{n-1}(x), \quad n=0,1$$

$$a_n=\frac{\left\langle x P_n \mid P_n\right\rangle}{\left\langle P_n \mid P_n\right\rangle}, \quad n=0,1,2, \ldots \quad b_n=\frac{\left\langle x P_n \mid P_{n-1}\right\rangle}{\left\langle P_{n-1} \mid P_{n-1}\right\rangle}, \quad n=1,2, \ldots,$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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