# 数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|MATH4230

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Global Integration on Interval

Consider basis points uniformly distributed on interval $[a, b]$
$$x_i=a+i h, \quad i=0,1, \ldots, n \quad \text { with } \quad h=\frac{b-a}{n}$$
Note that $n$ is the degree of the interpolation polynomial $P_n(x)$ such that
$$P_n\left(x_i\right)=f\left(x_i\right)=f_i, \quad i=0,1, \ldots, n$$
For example, a Lagrange polynomial can be chosen as an interpolation polynomial. In this case
$$P_n(x)=\sum_{i=0}^n L_i(x) f_i$$
with
$$L_i(x)=\prod_{\substack{k=0 \ k \neq i}}^n \frac{x-x_k}{x_i-x_k}$$
The variable $t \in[0, n]$ is introduced such that $x=a+h t$. The polynomial $L_i(x)$ becomes
$$L_i(x)=\phi_i(t)=\prod_{\substack{k=0 \ k \neq i}}^n \frac{t-k}{i-k}$$
By integrating, we get
\begin{aligned} \int_a^b P_n(x) d x &=\sum_{i=0}^n f_i \int_a^b L_i(x) d x \ &=h \sum_{i=0}^n f_i \int_0^n \phi_i(t) d t \ &=h \sum_{i=0}^n f_i w_i \end{aligned}
The coefficients $w_i$ are called weights; they depend only on $n$, thus they neither depend on the function $f$ nor on the integration limits $a$ and $b$. Recall that $h=(b-a) / n$. Example: $n=1$
$$\begin{gathered} w_0=\int_0^1 \frac{t-1}{0-1} d t=\int_0^1(1-t) d t=\frac{1}{2} \ w_1=\int_0^1 \frac{t-0}{1-0} d t=\int_0^1 t d t=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

## 数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Integration on Subintervals

In general, Newton-Cotes formulas are not applied on all the interval $[a, b]$, but on the sequence of subintervals composing $[a, b]$. The type of subinterval depends on the order of the chosen method. The points $x_i$ composing the interval $[a, b]$ are defined by
$$x_i=a+i h, \quad i=0,1, \ldots, N \quad \text { with } h=\frac{b-a}{N}$$
It can be noticed that, in the previous formula, the definition of $h$ is different from Equation (2.2.1). $N$ must be chosen in agreement with the order $n$ of the integration formula.

• For the trapezoidal rule, a subinterval is defined by $\left[x_i, x_{i+1}\right]$.
• For Simpson’s rule, $N$ is chosen even (the number of calculation points $x_i$ is odd), a subinterval is defined by $\left[x_{2 i}, x_{2 i+1}, x_{2 i+2}\right], i=0,1, \ldots, N / 2-1$.
• For the $3 / 8$ rule, $N$ is a multiple of 3 and a subinterval will be defined by $\left[x_{3 i}, x_{3 i+1}, x_{3 i+2}, x_{3 i+3}\right], i=0,1, \ldots, N / 3-1$.
• Application of the trapezoidal rule:
On a subinterval, the trapezoidal rule gives
$$I_i=\frac{h}{2}\left[f\left(x_i\right)+f\left(x_{i+1}\right)\right]$$
Applying it to all the interval $[a, b]$, we get
\begin{aligned} I(h) &=\sum_{i=0}^{N-1} I_i=h\left[\frac{f(a)}{2}+f(a+h)+\cdots+f(b-h)+\frac{f(b)}{2}\right] \ &=\frac{b-a}{2 N}\left[f(a)+f(b)+2 \sum_{i=1}^{N-1} f\left(a+i \frac{b-a}{N}\right)\right] \end{aligned}
The function $f$ is assumed to be continuously differentiable. On each subinterval, the error is equal to
$$I_i-\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) d x=\frac{h^3}{12} f^{(2)}\left(\xi_i\right)$$
Then the sum of the individual errors is
$$I(h)-\int_a^b f(x) d x=\frac{h^3}{12} \sum_{i=0}^{N-1} f^{(2)}\left(\xi_i\right)=\frac{h^2}{12} \frac{b-a}{N} \sum_{i=0}^{N-1} f^{(2)}\left(\xi_i\right)$$

# 最优化代写

## 数学代写|最优化作业代写优化理论代考|全局积分区间

$$x_i=a+i h, \quad i=0,1, \ldots, n \quad \text { with } \quad h=\frac{b-a}{n}$$

$$P_n\left(x_i\right)=f\left(x_i\right)=f_i, \quad i=0,1, \ldots, n$$

$$P_n(x)=\sum_{i=0}^n L_i(x) f_i$$
with
$$L_i(x)=\prod_{\substack{k=0 \ k \neq i}}^n \frac{x-x_k}{x_i-x_k}$$

$$L_i(x)=\phi_i(t)=\prod_{\substack{k=0 \ k \neq i}}^n \frac{t-k}{i-k}$$

\begin{aligned} \int_a^b P_n(x) d x &=\sum_{i=0}^n f_i \int_a^b L_i(x) d x \ &=h \sum_{i=0}^n f_i \int_0^n \phi_i(t) d t \ &=h \sum_{i=0}^n f_i w_i \end{aligned}

$$\begin{gathered} w_0=\int_0^1 \frac{t-1}{0-1} d t=\int_0^1(1-t) d t=\frac{1}{2} \ w_1=\int_0^1 \frac{t-0}{1-0} d t=\int_0^1 t d t=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

## 数学代写|最优化作业代写优化理论代考|子区间上的积分

$$x_i=a+i h, \quad i=0,1, \ldots, N \quad \text { with } h=\frac{b-a}{N}$$

• 对于梯形规则，子区间由$\left[x_i, x_{i+1}\right]$定义
• 对于Simpson规则，$N$选择偶数(计算点数$x_i$为奇数)，子区间由$\left[x_{2 i}, x_{2 i+1}, x_{2 i+2}\right], i=0,1, \ldots, N / 2-1$定义
• 对于$3 / 8$规则，$N$是3的倍数，子区间由$\left[x_{3 i}, x_{3 i+1}, x_{3 i+2}, x_{3 i+3}\right], i=0,1, \ldots, N / 3-1$定义
• 梯形规则的应用:
在子区间上，梯形法则给出
$$I_i=\frac{h}{2}\left[f\left(x_i\right)+f\left(x_{i+1}\right)\right]$$
将它应用到所有的区间$[a, b]$上，我们得到
\begin{aligned} I(h) &=\sum_{i=0}^{N-1} I_i=h\left[\frac{f(a)}{2}+f(a+h)+\cdots+f(b-h)+\frac{f(b)}{2}\right] \ &=\frac{b-a}{2 N}\left[f(a)+f(b)+2 \sum_{i=1}^{N-1} f\left(a+i \frac{b-a}{N}\right)\right] \end{aligned}
函数$f$是连续可微的。在每个子区间上，误差等于
$$I_i-\int_{x_i}^{x_{i+1}} f(x) d x=\frac{h^3}{12} f^{(2)}\left(\xi_i\right)$$
然后各个误差的总和是
$$I(h)-\int_a^b f(x) d x=\frac{h^3}{12} \sum_{i=0}^{N-1} f^{(2)}\left(\xi_i\right)=\frac{h^2}{12} \frac{b-a}{N} \sum_{i=0}^{N-1} f^{(2)}\left(\xi_i\right)$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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