## 物理代写|光学代写Optics代考|UNITS24

2023年2月6日

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## 物理代写|光学代写Optics代考|Time-Dependence

According to the “Schrodinger picture”, the states evolve in time, while the operators are time-independent. In this viewpoint, the time-dependence of $\widehat{\boldsymbol{E}}$ is absent, because $\widehat{\boldsymbol{E}}$ is an operator:
$$\widehat{\boldsymbol{E}}(\boldsymbol{r})=i \varepsilon \varepsilon^1\left(\widehat{a} e^{i k \cdot \boldsymbol{r}}-\widehat{a}^{\dagger} e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}\right)$$
The time-dependence is contained in the state, not in the operator:
$$|\psi(t)\rangle=|\psi(0)\rangle e^{-i \omega t}$$
The physical observable is
$$\langle\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, t)\rangle=\langle\psi(t)|\widehat{\boldsymbol{E}}(\boldsymbol{r})| \psi(t)\rangle$$
Note that for stationary states $|\psi(t)\rangle=|\psi(0)\rangle e^{-i \omega t}$ while $\langle\psi(t)|=\langle\psi(0)| e^{+i \omega t}$, so the time-dependence in Eq. (3.46) cancels out.

Alternatively, according to the “Heisenberg picture”, the operators are timedependent while the states are time-independent and keep their initial value at some time $t_0$ :
$$\widehat{\boldsymbol{E}}(\boldsymbol{r}, t)=i \varepsilon \varepsilon^1\left(\widehat{a} e^{i(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}-\omega t)}-\widehat{a}^{\dagger} e^{-i(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}-\omega t)}\right)$$
The physical observable is
$$\langle\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, t)\rangle=\left\langle\psi\left(t_0\right)|\widehat{\boldsymbol{E}}(\boldsymbol{r}, t)| \psi\left(t_0\right)\right\rangle$$
As we will see later, the Heisenberg viewpoint is useful in some circumstances, for example, when describing photodetection events at two different times.

Repeating the results obtained above, we have the quantum description of the field:
\begin{aligned} \widehat{\boldsymbol{E}}(\mathbf{r}) & =i \varepsilon \varepsilon^1\left(\widehat{a} e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}-\widehat{a}^{\dagger} e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}\right) \ & =i \boldsymbol{\varepsilon} \varepsilon^1\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(\widehat{Q}+i \widehat{P}) e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}-\frac{1}{\sqrt{2}}(\widehat{Q}-i \widehat{P}) e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}\right) \ & =\boldsymbol{\varepsilon} \varepsilon^1 \sqrt{2}\left(-\widehat{Q} \frac{\left(e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}-e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}\right)}{2 i}-\widehat{P} \frac{\left(e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}+e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}\right)}{2}\right) \ & =-\boldsymbol{\varepsilon} \varepsilon^1 \sqrt{2}[\widehat{Q} \sin (\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r})+\widehat{P} \cos (\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r})] \end{aligned}
$\widehat{Q}$ and $\widehat{P}$ describe the two components of the field that are $\frac{\pi}{2}$ out of phase. Recall the definitions of $\widehat{Q}$ and $\widehat{P}$ :
\begin{aligned} \widehat{Q} & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\widehat{a}+\widehat{a}^{\dagger}\right) \ \widehat{P} & =\frac{-i}{\sqrt{2}}\left(\widehat{a}-\widehat{a}^{\dagger}\right) \end{aligned}
Using Eqs. (3.50) and (3.51), the expectation values (average) of $\widehat{Q}$ and $\widehat{P}$ in the QHO state, $|n\rangle$, are easily evaluated using the results from Chap. 2:
\begin{aligned} & \langle Q\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\langle n\left|\left(\widehat{a}+\widehat{a}^{\dagger}\right)\right| n\right\rangle=0 \ & \langle P\rangle=\frac{-i}{\sqrt{2}}\left\langle n\left|\left(\widehat{a}-\widehat{a}^{\dagger}\right)\right| n\right\rangle=0 \end{aligned}

# 光学代考

## 物理代写|光学代写Optics代考|Time-Dependence

$$\widehat{\boldsymbol{E}}(\boldsymbol{r})=i \varepsilon \varepsilon^1\left(\widehat{a} e^{i k \cdot \boldsymbol{r}}-\widehat{a}^{\dagger} e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}\right)$$

$$|\psi(t)\rangle=|\psi(0)\rangle e^{-i \omega t}$$

$$\langle\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, t)\rangle=\langle\psi(t)|\widehat{\boldsymbol{E}}(\boldsymbol{r})| \psi(t)\rangle$$

$$\widehat{\boldsymbol{E}}(\boldsymbol{r}, t)=i \varepsilon \varepsilon^1\left(\widehat{a} e^{i(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}-\omega t)}-\widehat{a}^{\dagger} e^{-i(\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}-\omega t)}\right)$$

$$\langle\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, t)\rangle=\left\langle\psi\left(t_0\right)|\widehat{\boldsymbol{E}}(\boldsymbol{r}, t)| \psi\left(t_0\right)\right\rangle$$

$$\widehat{\boldsymbol{E}}(\mathbf{r})=i \varepsilon \varepsilon^1\left(\widehat{a} e^{i k \cdot \boldsymbol{r}}-\widehat{a}^{\dagger} e^{-i k \cdot \boldsymbol{r}}\right) \quad=i \varepsilon \varepsilon^1\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(\widehat{Q}+i \widehat{P}) e^i\right.$$
$\widehat{Q}$ 和 $\widehat{P}$ 描述该领域的两个组成部分 $\frac{\pi}{2}$ 㫒相。回々一下的定义 $\widehat{Q}$ 和 $\widehat{P}$ :
$$\widehat{Q}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\widehat{a}+\widehat{a}^{\dagger}\right) \widehat{P} \quad=\frac{-i}{\sqrt{2}}\left(\widehat{a}-\widehat{a}^{\dagger}\right)$$

$$\langle Q\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left\langle n\left|\left(\widehat{a}+\widehat{a}^{\dagger}\right)\right| n\right\rangle=0 \quad\langle P\rangle=\frac{-i}{\sqrt{2}}\langle n|\left(\widehat{a}-\widehat{a}^{\dagger}\right)$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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