## 物理代写|光学代写Optics代考|CSCI031

2023年2月6日

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## 物理代写|光学代写Optics代考|Photon Number

The average number of photons (expectation value of $n$ ) in Fock state $|n\rangle$ is
$$\langle n\rangle=\langle n|\widehat{N}| n\rangle=\left\langle n\left|\widehat{a}^{\dagger} \widehat{a}\right| n\right\rangle=n$$
The expectation value of $n^2$ is obtained by applying the $\widehat{N}$ operator twice:
$$\left\langle n^2\right\rangle=\left\langle n\left|\widehat{N}^2\right| n\right\rangle=n\langle n|\widehat{N}| n\rangle=n^2$$
The uncertainty in $n$ is
$$\Delta n=\sqrt{\left\langle n^2\right\rangle-\langle n\rangle^2}=\sqrt{n^2-(n)^2}=0$$
Thus, the Fock state $|n\rangle$ has a definite number of photons, $n$, with zero uncertainty.

## 物理代写|光学代写Optics代考|Electric Field of the Fock State

Recall from Chap. 3 that the electric field operator is
$$\widehat{\boldsymbol{E}}(\boldsymbol{r})=i \varepsilon \varepsilon^1\left(\widehat{a} e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}-\widehat{a}^{\dagger} e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}\right)$$
The average (expectation value) of $\widehat{\boldsymbol{E}}$ in the state $|n\rangle$ is
\begin{aligned} \langle\boldsymbol{E}\rangle & =\langle n|\widehat{\boldsymbol{E}}| n\rangle \ & =i \varepsilon \varepsilon^1\left\langle n\left|\left(\widehat{a} e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}-\widehat{a}^{\dagger} e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}\right)\right| n\right\rangle \ & =0 \end{aligned}
since $\widehat{a}|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle$, and $\langle n \mid n-1\rangle=0$ because these are orthogonal states. Similarly, $\left\langle n\left|\widehat{a}^{\dagger}\right| n\right\rangle=0$. Thus, we have the unusual situation where the Fock state, $|n\rangle$, has a precise number of photons, $n$, but the average electric field is zero. This tells us that Fock states are a nonclassical form of light. Due to their nonclassical nature, Fock states are very difficult to produce. In the next chapter, we will examine the single photon state, that is, the Fock state with $n=1$, including methods to produce this state.

Although the average electric field of a Fock state is zero, the field can still fluctuate about the average. The average of the square of the field (expectation value of $\widehat{\boldsymbol{E}}^2$ ) is
\begin{aligned} \left\langle\boldsymbol{E}^2\right\rangle & =\left\langle n\left|\widehat{\boldsymbol{E}}^2\right| n\right\rangle \ & =(i * i)\left(\varepsilon^1\right)^2\left\langle n\left|\left(\widehat{a} e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}-\widehat{a}^{\dagger} e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}\right)\left(\widehat{a} e^{i k \cdot r}-\widehat{a}^{\dagger} e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}\right)\right| n\right\rangle \ & =-\left(\varepsilon^1\right)^2\left\langle n\left|\left(\widehat{a}^2 e^{2 i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}-\widehat{a} \widehat{a}^{\dagger}-\widehat{a}^{\dagger} \widehat{a}+\left(\widehat{a}^{\dagger}\right)^2 e^{-2 i k \cdot r}\right)\right| n\right\rangle \end{aligned}
Keeping only the non-zero terms in Eq. (4.6), we get
$$\left\langle\boldsymbol{E}^2\right\rangle=\left(\varepsilon^1\right)^2\left\langle n\left|\left(\widehat{a} \widehat{a}^{\dagger}+\widehat{a}^{\dagger} \widehat{a}\right)\right| n\right\rangle$$
Putting Eq. (4.7) into the normal order (or, alternatively, using Eqs.

# 光学代考

## 物理代写|光学代写Optics代考|Photon Number

$$\langle n\rangle=\langle n|\widehat{N}| n\rangle=\left\langle n\left|\widehat{a}^{\dagger} \widehat{a}\right| n\right\rangle=n$$

$$\left\langle n^2\right\rangle=\left\langle n\left|\widehat{N}^2\right| n\right\rangle=n\langle n|\widehat{N}| n\rangle=n^2$$

$$\Delta n=\sqrt{\left\langle n^2\right\rangle-\langle n\rangle^2}=\sqrt{n^2-(n)^2}=0$$

## 物理代写|光学代写Optics代考|Electric Field of the Fock State

$$\widehat{\boldsymbol{E}}(\boldsymbol{r})=i \varepsilon \varepsilon^1\left(\widehat{a} e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}-\widehat{a}^{\dagger} e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}\right)$$

$$\langle\boldsymbol{E}\rangle=\langle n|\widehat{\boldsymbol{E}}| n\rangle \quad=i \varepsilon \varepsilon^1\left\langle n\left|\left(\widehat{a} e^{i k \cdot \boldsymbol{r}}-\widehat{a}^{\dagger} e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}\right)\right| n\right\rangle=0$$

$$\left\langle\boldsymbol{E}^2\right\rangle=\left\langle n\left|\widehat{\boldsymbol{E}}^2\right| n\right\rangle \quad=(i * i)\left(\varepsilon^1\right)^2\langle n|\left(\widehat{a} e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}-\widehat{a}^{\dagger} e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}}\right)$$

$$\left\langle\boldsymbol{E}^2\right\rangle=\left(\varepsilon^1\right)^2\left\langle n\left|\left(\widehat{a} \widehat{a}^{\dagger}+\widehat{a}^{\dagger} \widehat{a}\right)\right| n\right\rangle$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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