## 物理代写|光学工程代写Optical Engineering代考|EGEE480

2022年12月28日

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## 物理代写|光学工程代写Optical Engineering代考|DELTA FUNCTION

To consider applications of Fourier transform, we introduce a function corresponding to an impulse. Many types of impulse functions can be discussed. For example, a gaussian function, which is integral is 1 and width is infinitely small, as described by
$$\delta(x)=\lim {w \rightarrow 0} \frac{1}{w} \exp \left(-\pi \frac{x^2}{w^2}\right) .$$ This “function” is called generalized function or distribution, which is not a function by a strict definition. This $\delta(x)$ is interpreted as a kind of function that approaches to infinity at $x=0$ by decreasing its width, but its integral value is unity. This is a very useful function to describe a point light source, a point object and a point image in this book and is call the Dirac $\delta$ function. The Heaviside step function is defined by $$H(x)=\left{\begin{array}{l} 1: x>0 \ 0: x \leq 0 \end{array}\right.$$ This function is undifferentiable at $x=0$ but its formal differential has a property of the delta function $\delta(x)$, so we have $$H^{\prime}(x)=\delta(x)$$ For a mathematically well-behaved function $f(x)$, its integration by parts is given by \begin{aligned} \int{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) \mathrm{d} x & =\int_{-\infty}^{\infty} f(x) H^{\prime}(x) \mathrm{d} x \ & =[f(x) H(x)]{-\infty}^{\infty}-\int{-\infty}^{\infty} f^{\prime}(x) H(x) \mathrm{d} x \ & =-\int_0^{\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=-[f(x)]_0^{\infty}=f(0) \end{aligned}

## 物理代写|光学工程代写Optical Engineering代考|CONVOLUTION INTEGRAL AND CORRELATION FUNCTION

Convolution and correlation are very important concepts in some scientific and engineering areas, such as linear response systems in Chapter 4. Consider two functions, $f_1(x)$ and $f_2(x)$, such that
$$f_1 * f_2(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1\left(x^{\prime}\right) f_2\left(x-x^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime} .$$ This is called convolution or convolution integral. The convolution is the overlapped area of functions $f_1\left(x^{\prime}\right)$ and $f_2\left(x-x^{\prime}\right)$ with a shifting parameter of $x$. It should be noted that the function $f_2\left(x-x^{\prime}\right)$ is a function turned over right to left and shift $x$. The convolution operation is illustrated in Fig. 3.9.

Consider the Fourier transform of a convolution of $f_1(x)$ and $f_2(x)$, whose Fourier transforms are $F_1(v)$ and $F_2(v)$, respectively.
\begin{aligned} \mathscr{F}\left[f_1 * f_2\right] & =\iint_{-\infty}^{\infty}\left[f_1\left(x^{\prime}\right) f_2\left(x-x^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime} \cdot \exp (-\mathrm{i} 2 \pi v x)\right] \mathrm{d} x \ & =\int_{-\infty}^{\infty} f_1\left(x^{\prime}\right)\left[\int_{-\infty}^{\infty} f_2\left(x-x^{\prime}\right) \exp (-\mathrm{i} 2 \pi v x) \mathrm{d} x\right] \mathrm{d} x^{\prime} \ & =\int_{-\infty}^{\infty} f_1\left(x^{\prime}\right) F_2(v) \exp \left(-\mathrm{i} 2 \pi v x^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime} \ & =F_1(v) F_2(v) . \end{aligned}
The Fourier transform of a convolution integral gives us the product of Fourier transforms of each function. Conversely, the Fourier transform of the product of two functions gives us the convolution integral of the two functions, as described by
$$f_1 * f_2(x) \Leftrightarrow F_1(v) \cdot F_2(v) .$$
This is called the convolution theorem.

# 光学工程代考

## 物理代写|光学工程代写Optical Engineering代考|DELTA FUNCTION

$$\delta(x)=\lim w \rightarrow 0 \frac{1}{w} \exp \left(-\pi \frac{x^2}{w^2}\right) .$$

$$1: x>00: x \leq 0$$
、正确的。
Thisfunctionisundifferentiableat $\$ x=0 \$$butit \mathrm{H}^{\wedge}{\operatorname{lprime}}(\mathrm{x})=\mid \operatorname{delta}(\mathrm{x}) Foramathematicallywell – behaved function \ f$$
\int-\infty^{\infty} f(x) \delta(x) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) H^{\prime}(x) \mathrm{d} x=
$$## 物理代写|光学工程代写Optical Engineering代考|CONVOLUTION INTEGRAL AND CORRELATION FUNCTION 卷积和相关是某些科学和工程领域中非常重要的概念， 例如第 4 章中的线性响应系统。考虑两个函数， f_1(x) 和 f_2(x), 这样$$
f_1 * f_2(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1\left(x^{\prime}\right) f_2\left(x-x^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime} .
$$这称为卷积或卷积积分。卷积是函数的重亘区域 f_1\left(x^{\prime}\right) 和 f_2\left(x-x^{\prime}\right) 移动参数为 x. 需要注意的是函数 f_2\left(x-x^{\prime}\right) 是一个从右向左翻转并移位的函数 x. 卷积 运算如图 3.9 所示。 考虑卷积的傅立叶变换 f_1(x) 和 f_2(x) ，其傅里叶变换 是 F_1(v) 和 F_2(v) ，分别。$$
\mathscr{F}\left[f_1 * f_2\right]=\iint_{-\infty}^{\infty}\left[f_1\left(x^{\prime}\right) f_2\left(x-x^{\prime}\right) \mathrm{d} x^{\prime} .\right.
$$卷积积分的傅里叶变换为我们提供了每个函数的傅里叶 变换的乘积。相反，两个函数乘积的傅立叶变换给出了 两个函数的卷积积分，如下所示$$
f_1 * f_2(x) \Leftrightarrow F_1(v) \cdot F_2(v) .


## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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