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• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|The Uniformization Method

The Markov jump chain with state space $I$ introduced in Definition 8.1 leaves state $i$ after an exponentially distributed time with mean $1 / \nu_i$ and then jumps to another state $j(j \neq i)$ with probability $p_{i j}$. Letting $X_n$ denote the state of the process just after the $n$th state transition, the discrete-time stochastic process $\left{X_n\right}$ is called the embedded Markov chain with one-step transition probabilities $p_{i j}$. If $\nu_i=\nu$ for all $i$, the transition epochs are generated by a Poisson process with rate $\nu$, and an expression for $p_{i j}(t)$ is directly obtained by conditioning on the number of Poisson events up to time $t$ and using the $n$-step transition probabilities of the embedded Markov chain $\left{X_n\right}$. However, the leaving rates $\nu_i$ are in general not identical. Fortunately, there is a simple trick for reducing the case of nonidentical leaving rates to the case of identical leaving rates. The uniformization method transforms the original continuous-time Markov chain with non-identical leaving rates into an equivalent stochastic process in which the transition epochs are generated by a Poisson process at a uniform rate. However, to achieve this, the discrete-time Markov chain describing the state transitions in the transformed process has to allow for self-transitions leaving the state of the process unchanged. The uniformization method is a powerful computational tool to solve Kolmogorov’s equations for the time-dependent state probabilities and to calculate first passage time probabilities.
To formulate the uniformization method, choose a finite number $\nu$ with
$$
\nu \geq \nu_i, \quad i \in I
$$
Define now $\left{\bar{X}n\right}$ as the discrete-time Markov chain whose one-step transition probabilities $\bar{p}{i j}$ are given by
$$
\bar{p}{i j}= \begin{cases}\frac{\nu_i}{\nu} p{i j}, & j \neq i \ 1-\frac{\nu_i}{\nu}, & j=i\end{cases}
$$
for any $i \in I$. Let ${N(t), t \geq 0}$ be a Poisson process with rate $\nu$ such that the process is independent of the discrete-time Markov chain $\left{\bar{X}n\right}$. Define now the continuous-time stochastic process ${\bar{X}(t), t \geq 0}$ by $$ \bar{X}(t)=\bar{X}{N(t)}, \quad t \geq 0
$$

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Equilibrium Probabilities

While studying discrete-time Markov chains, we already saw that an accessibility condition is needed to guarantee that the Markov chain’s equilibrium distribution does not depend on the initial state. For the continuous-time Markov chain ${X(t), t \geq 0}$, we make a similar assumption.

Assumption 8.1. There is a state $r$ such that for any initial state $i$, the probability is 1 that there will ultimately be a transition to state $r$, and the expected time needed to return from state $r$ to itself is finite.

This assumption is satisfied in almost all practical applications in operations research. Under this assumption, for every $j \in I$, the limiting probability
$$
\pi_j=\lim {t \rightarrow \infty} p{i j}(t)
$$
exists and is independent of the initial state $i$. The reason the ordinary limit always exists is that periodicity problems do not occur in continuous-time Markov chains because the times between state transitions have a continuous distribution. An irreducible continuous-time Markov chain satisfying Assumption 8.1 is called ergodic. The limiting probabilities for an ergodic Markov chain can be calculated by solving a system of linear equations.

Theorem 8.3. Let the Markov chain be ergodic, then the limiting probabilities $\pi_j$ for $j \in I$ are the unique solution to the linear equations
$$
\begin{aligned}
& \nu_j \pi_j=\sum_{k \neq j} \pi_k q_{k j} \quad \text { for } j \in I \
& \sum_{j \in I} \pi_j=1
\end{aligned}
$$

The equations (8.8) are called the balance equations or global balance equations, while (8.9) is called the normalizing equation. 3 These equations characterize the stationary distribution that for an ergodic Markov chain coincides with the limiting distribution. Later, we will give a physical interpretation of the balance equations that makes them simple to remember. We will then also see why the limiting probabilities $\pi_j$ for $j \in I$ are also often called the equilibrium probabilities. We do not prove Theorem 8.3 in its full generality. For the case that $I$ is finite, we only show that it is plausible that the $\pi_j$ satisfy the equations. For this, we take $t \rightarrow \infty$ in the differential equations for the transient probabilities $p_{i j}(t)$ in Theorem 8.1. If we use that $p_{i j}(t) \rightarrow \pi_j$ and $p_{i j}^{\prime}(t) \rightarrow 0$ as $t \rightarrow \infty$, it follows that $0=\sum_{k \neq j} \pi_k q_{k j}-\pi_j \nu_j$ for all $j \in I$. The normalizing equation follows by taking $t \rightarrow \infty$ in $\sum_{j \in I} p_{i j}(t)=1$.

运筹学代考

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|The Uniformization Method

带状态空间的马尔可夫跳链 $I$ 定义 8.1 中引入的离开状态 $i$ 在具有均值的指数分布时间之后 $1 / \nu_i$ 然后跳转到另一个 状态 $j(j \neq i)$ 有概率 $p_{i j}$. 出租 $X_n$ 表示紧随其后的进程状 态 $n$th state transition，离散时间随机过程 $\backslash$ 左{X_n|右 $}$ 称为具有一步转移概率的嵌入式马尔可夫链 $p_{i j}$. 如果 $\nu_i=\nu$ 对全部 $i$ ，过渡时期由泊松过程生成，速率为 $\nu$ ， 以及一个表达式 $p_{i j}(t)$ 是通过以时间为条件的泊松事件 数直接获得的 $t$ 并使用 $n$ – 嵌入式马尔可夫链的步转移概率 左 ${$ X_n右 $}$. 然而，离职率 $\nu_i$ 通常不相同。幸运的是，有 一个简单的技巧可以将不同离职率的情况减少到相同离 职率的情况。均匀化方法将原始的具有不同离开率的连 续时间马尔可夫链转化为等价的随机过程，其中过渡时 期由泊松过程以均匀率产生。然而，要实现这一点，描 述转换过程中状态转换的离散时间马尔可夫链必须允许 自转换保持过程状态不变。均匀化方法是一种强大的计 算工具，可用于求解随时间变化的状态概率的 Kolmogorov 方程并计算首次通过时间概率。 要制定均匀化方法，请选择一个有限数 $\nu$ 和
$$
\nu \geq \nu_i, \quad i \in I
$$
其一步转移概率 $\bar{p} i j$ 由
$$
\bar{p} i j=\left{\frac{\nu_i}{\nu} p i j, \quad j \neq i 1-\frac{\nu_i}{\nu}, \quad j=i\right.
$$
现在定义 Veft{\bar ${X} n \backslash r i g h t}$ 作为离散时间马尔可夫链， 其一步转移概率 $\bar{p} i j$ 由
$$
\bar{p} i j=\left{\frac{\nu_i}{\nu} p i j, \quad j \neq i 1-\frac{\nu_i}{\nu}, \quad j=i\right.
$$
对于任何 $i \in I$. 让 $N(t), t \geq 0$ 是有速率的泊松过程 $\nu$ 使 得该过程独立于离散时间马尔可夫链 $\backslash$ left{ ${\operatorname{bar}{X}$ n right $}$ . 现在定义连续时间随机过程 $\bar{X}(t), t \geq 0$ 经过
$$
\bar{X}(t)=\bar{X} N(t), \quad t \geq 0
$$

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Equilibrium Probabilities

在研究离散时间马尔可夫链时，我们已经看到需要一个 可达性条件来保证马尔可夫链的均衡分布不依赖于初始 状态。对于连续时间马尔可夫链 $X(t), t \geq 0$ ，我们做了 类似的假设。
假设 8.1。有一个状态 $r$ 这样对于任何初始状态 $i$ ，最终过 渡到状态的概率为 $1 r$ ，以及从状态返回所需的预期时间 $r$ 对自身是有限的。
这个假设在运筹学的几乎所有实际应用中都得到满足。 在这个假设下，对于每个 $j \in I$ ，极限概率
$$
\pi_j=\lim t \rightarrow \infty p i j(t)
$$
存在并且独立于初始状态 $i$. 普通极限始终存在的原因是 连续时间马尔可夫链不会出现周期性问题，因为状态转 移之间的时间具有连续分布。满足假设 8.1 的不可约连 续时间马尔可夫链称为遍历。遍历马尔可夫链的极限概 率可以通过求解线性方程组来计算。
定理 8.3。让马尔可夫链是遍历的，那么极限概率 $\pi_j$ 为 $了 j \in I$ 是线性方程组的唯一解
$$
\nu_j \pi_j=\sum_{k \neq j} \pi_k q_{k j} \quad \text { for } j \in I \quad \sum_{j \in I} \pi_j=1
$$方程 (8.8) 称为平衡方程或全局平衡方程，而 (8.9) 称为归一化方程。 3 这些方程苗述了与极限分布一致的 遍历马尔可夫链的平稳分布。稍后，我们将对平衡方程 进行物理解释，使它们易于记忆。然后我们还将看到为 什么极限概率 $\pi_j$ 为了 $j \in I$ 通常也称为均衡概率。我们 不完全普遍地证明定理 8.3。对于这种情况 $I$ 是有限的， 我们只证明它是合理的 $\pi_j$ 满足方程。为此，我们取 $t \rightarrow \infty$ 在瞬态概率的微分方程中 $p_{i j}(t)$ 在定理 8.1 中。 如果我们用那个 $p_{i j}(t) \rightarrow \pi_j$ 和 $p_{i j}^{\prime}(t) \rightarrow 0$ 作为 $t \rightarrow \infty$ ， 它遵犑 $0=\sum_{k \neq j} \pi_k q_{k j}-\pi_j \nu_j$ 对全部 $j \in I$. 归一化方程如下 $t \rightarrow \infty$ 在 $\sum_{j \in I} p_{i j}(t)=1$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。