# 数学代写|运筹学作业代写operational research代考|THE ASSIGNMENT PROBLEM

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|运筹学作业代写operational research代考|THE ASSIGNMENT PROBLEM

The assignment problem is a special type of linear programming problem where assignees are being assigned to perform tasks. For example, the assignees might be employees who need to be given work assignments. Assigning people to jobs is a common application of the assignment problem. However, the assignees need not be people. They also could be machines, or vehicles, or plants, or even time slots to be assigned tasks. The first example below involves machines being assigned to locations, so the tasks in this case simply involve holding a machine. A subsequent example involves plants being assigned products to be produced.

To fit the definition of an assignment problem, these kinds of applications need to be formulated in a way that satisfies the following assumptions.

1. The number of assignees and the number of tasks are the same. (This number is denoted by $n$. )
2. Each assignee is to be assigned to exactly one task.
3. Each task is to be performed by exactly one assignee.
4. There is a cost $c_{i j}$ associated with assignee $i(i=1,2, \ldots, n)$ performing task $j$ $(j=1,2, \ldots, n)$.
5. The objective is to determine how all $n$ assignments should be made to minimize the total cost.

Any problem satisfying all these assumptions can be solved extremely efficiently by algorithms designed specifically for assignment problems.

The first three assumptions are fairly restrictive. Many potential applications do not quite satisfy these assumptions. However, it often is possible to reformulate the problem to make it fit. For example, dummy assignees or dummy tasks frequently can be used for this purpose. We illustrate these formulation techniques in the examples.

## 数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Prototype Example

The JOB SHOP COMPANY has purchased three new machines of different types. There are four available locations in the shop where a machine could be installed. Some of these locations are more desirable than others for particular machines because of their proximity to work centers that will have a heavy work flow to and from these machines. (There will be no work flow between the new machines.) Therefore, the objective is to assign the new machines to the available locations to minimize the total cost of materials handling. The estimated cost in dollars per hour of materials handling involving each of the machines is given in Table 8.24 for the respective locations. Location 2 is not considered suitable for machine 2 , so no cost is given for this case.

To formulate this problem as an assignment problem, we must introduce a dummy machine for the extra location. Also, an extremely large cost $M$ should be attached to the assignment of machine 2 to location 2 to prevent this assignment in the optimal solution. The resulting assignment problem cost table is shown in Table 8.25. This cost table contains all the necessary data for solving the problem. The optimal solution is to assign machine 1 to location 4 , machine 2 to location 3 , and machine 3 to location 1 , for a total cost of $\$ 29$per hour. The dummy machine is assigned to location 2 , so this location is available for some future real machine. We shall discuss how this solution is obtained after we formulate the mathematical model for the general assignment problem. The Assignment Problem Model and Solution Procedures The mathematical model for the assignment problem uses the following decision variables: $$x_{i j}= \begin{cases}1 & \text { if assignee } i \text { performs task } j \ 0 & \text { if not, }\end{cases}$$ for$i=1,2, \ldots, n$and$j=1,2, \ldots, n$. Thus, each$x_{i j}$is a binary variable (it has value 0 or 1). As discussed at length in the chapter on integer programming (Chap. 12), binary variables are important in OR for representing yes/no decisions. In this case, the yes/no decision is: Should assignee$i$perform task$j$? By letting$Z$denote the total cost, the assignment problem model is Minimize$\quad Z=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n c_{i j} x_{i j}, subject to $$\begin{array}{ll} \sum_{j=1}^n x_{i j}=1 & \text { for } i=1,2, \ldots, n, \ \sum_{i=1}^n x_{i j}=1 & \text { for } j=1,2, \ldots, n, \end{array}$$ and \begin{aligned} & x_{i j} \geq 0, \quad \text { for all } i \text { and } j \ & \left(x_{i j} \text { binary, } \quad \text { for all } i \text { and } j\right) . \end{aligned} # 运筹学代考 ## 数学代写|运筹学作业代写operational research代考|THE ASSIGNMENT PROBLEM 分配问题是一种特殊类型的线性规划问题，其中分配给被分配者执行任务。例如，被分配者可能是需要分配工作任务的员工。给人分配工作是分配问题的一个常见应用。然而，受让人不一定是人。它们也可以是机器、交通工具、工厂，甚至是分配任务的时间段。下面的第一个示例涉及到将机器分配到不同的位置，因此在这种情况下的任务只是保持机器。接下来的一个例子涉及到工厂被分配要生产的产品。 为了符合分配问题的定义，这些类型的应用程序需要以满足以下假设的方式进行公式化。 被分配人员的数量和任务的数量是相同的。(这个数字用n$表示。) 每个受让人只被分配一项任务。 每项任务只能由一名指定人员执行。 受让人$i(i=1,2, \ldots, n)$执行任务$j$$(j=1,2, \ldots, n)有一个成本c_{i j}。 目标是确定如何进行所有n分配以最小化总成本。 任何满足所有这些假设的问题都可以通过专门为分配问题设计的算法非常有效地解决。 前三个假设是相当严格的。许多潜在的应用程序并不完全满足这些假设。然而，通常可以重新制定问题以使其适合。例如，可以经常为此目的使用虚拟任务或虚拟任务。我们在示例中说明这些配方技术。 ## 数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Prototype Example JOB SHOP公司购买了三台不同类型的新机器。车间里有四个可用的位置可以安装机器。其中一些位置比其他位置更适合特定的机器，因为它们靠近工作中心，这些工作中心将有大量的工作流往返于这些机器。(新机器之间将没有工作流程。)因此，目标是将新机器分配到可用的位置，以最大限度地减少材料处理的总成本。表8.24列出了各地点每台机器处理物料的每小时估计费用(以美元计算)。位置2被认为不适合机器2，因此在这种情况下不给出成本。 为了将这个问题表述为一个分配问题，我们必须为额外的位置引入一个虚拟机。此外，机器2到位置2的分配应该附加一个极大的成本M，以防止在最优解决方案中进行这种分配。最终的分配问题成本表如表8.25所示。这个成本表包含了解决这个问题所需的所有数据。最优解决方案是将机器1分配到位置4，机器2分配到位置3，机器3分配到位置1，总成本为每小时\ 29。虚拟机器被分配到位置2，因此这个位置可供将来的真实机器使用。 在建立一般赋值问题的数学模型后，我们将讨论如何得到这个解。 分配问题模型和解决程序 分配问题的数学模型使用以下决策变量:$$
x_{i j}= \begin{cases}1 & \text { if assignee } i \text { performs task } j \ 0 & \text { if not, }\end{cases}
$$浏览i=1,2, \ldots, n和j=1,2, \ldots, n。因此，每个x_{i j}都是一个二进制变量(它的值为0或1)。正如在整数规划章节(第12章)中详细讨论的那样，二进制变量在or中对于表示是/否决策很重要。在这种情况下，是/否的决定是:被指派人员i是否应该执行任务j ? 通过让Z表示总成本，分配问题模型为 最小化Z=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n c_{i j} x_{i j}，$$
\begin{array}{ll}
\sum_{j=1}^n x_{i j}=1 & \text { for } i=1,2, \ldots, n, \
\sum_{i=1}^n x_{i j}=1 & \text { for } j=1,2, \ldots, n,
\end{array}

\begin{aligned}
& x_{i j} \geq 0, \quad \text { for all } i \text { and } j \
& \left(x_{i j} \text { binary, } \quad \text { for all } i \text { and } j\right) .
\end{aligned}


## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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