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数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Birth and Death Process

An important special case of a continuous-time Markov chain is the birth and death process. Suppose we have a system whose state at any time is the number of people present at that time. When there are $i$ people present, births (new arrivals) occur at an exponential rate $\lambda_i$, while deaths (departures) occur at an exponential rate $\mu_i$. That is, in state $i$, the time $B_i$ until the next birth is exponentially distributed with mean $1 / \lambda_i$, and the time $D_i$ until the next death is exponentially distributed with mean $1 / \mu_i$, and these times are independent of each other. Such a process is called a birth and death process, in which $\lambda_i, i=0,1, \ldots$, are called the birth rates and $\mu_i, i=1,2, \ldots$, the death rates.

A birth and death process is a continuous-time Markov chain with state space $I={0,1, \ldots}$ in which the only transitions possible from state $i$ are to states $i-1$ and $i+1$ for $i>0$ and to state 1 for $i=0$. The Markov jump chain description of the birth and death process is:
$$
\begin{aligned}
\nu_0 & =\lambda_0 \
\nu_i & =\lambda_i+\mu_i \quad \text { for } i>0 \
p_{0,1} & =1 \
p_{i, i+1} & =\mathbb{P}\left(B_i0, \
p_{i, i-1} & =\mathbb{P}\left(B_i>D_i\right)=\frac{\mu_i}{\lambda_i+\mu_i} \quad \text { for } i>0 .
\end{aligned}
$$
The time until either a birth or a death occurs, which is the time until state $i$ is left, is $\min \left(B_i, D_i\right)$ and is exponentially distributed with rate $\nu_i=\lambda_i+\mu_i$ for $i>0$. Naturally, nobody can depart if there are no people present, so $\nu_0=\lambda_0$ and correspondingly $p_{0,1}=1$. Further, the transition from state $i$ is to state $i+1$ if a birth occurs before a death, and the probability that an exponential random variable with rate $\lambda_i$ occurs earlier than an (independent) exponential random variable with rate $\mu_i$ is $\lambda_i /\left(\lambda_i+\mu_i\right)$. The last transition probability is explained analogously.
A birth and death process for which $\mu_i=0$ for all $i$ is called a pure birth process. A special case is the Poisson process: the pure birth process with constant birth rates $\lambda_i=\lambda$, see Appendix $\mathrm{C}$.

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Equilibrium Distribution

The infinitesimal transition rates of the birth and death process are
$$
q_{i j}= \begin{cases}\lambda_i & \text { if } j=i+1, i \geq 0 \text { (birth rates) } \ \mu_i & \text { if } j=i+1, i \geq 1 \quad \text { (death rates) } \ -\nu_i & \text { if } j=i, i \geq 0\end{cases}
$$
The balance equations are
$$
\begin{aligned}
& \lambda_0 \pi_0=\mu_1 \pi_1 \
& \lambda_i \pi_i+\mu_i \pi_i=\lambda_{i-1} \pi_{i-1}+\mu_{i+1} \pi_{i+1} \quad \text { for } i=1,2, \ldots
\end{aligned}
$$
Combining the equation $\lambda_0 \pi_0=\mu_1 \pi_1$ for $i=0$ with the equation for $i=1$, we observe that it must be that $\lambda_1 \pi_1=\mu_2 \pi_2$. We can use induction to find that
$$
\lambda_i \pi_i=\mu_{i+1} \pi_{i+1} \quad \text { for } i=0,1, \ldots
$$
These equations are called detailed balance equations as they relate the average number of transitions between neighboring states.

We may now solve the detailed balance equations. To this end, note that (8.11) implies that
$$
\pi_{i+1}=\frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}} \pi_i \quad \text { for } i=0,1, \ldots
$$
Iterating this equation gives that
$$
\pi_i=\pi_0 \prod_{j=0}^{i-1} \frac{\lambda_j}{\mu_{j+1}} \quad \text { for } i=1,2, \ldots
$$
The birth and death process is ergodic if
$$
G:=1+\sum_{i=1}^{\infty} \prod_{j=0}^{i-1} \frac{\lambda_j}{\mu_{j+1}}<\infty .
$$
In that case, $\pi_0=G^{-1}$ and $\pi_i$ in (8.12) is the equilibrium distribution.

运筹学代考

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Birth and Death Process

连续时间马尔可夫链的一个重要特例是出生和死亡过 程。假设我们有一个系统，它在任何时候的状态都是当 时在场的人数。当有 $i$ 在场的人，出生 (新来者) 以指数 速度发生 $\lambda_i$ ，而死亡 (离开) 以指数速率发生 $\mu_i$. 也就 是说，在状态 $i$ ，时间 $B_i$ 直到下一次出生呈指数分布， 均值为 $1 / \lambda_i$, 和时间 $D_i$ 直到下一次死亡服从均值指数分 布 $1 / \mu_i$ ，并且这些时间是相互独立的。这样的过程称为 生灭过程，其中 $\lambda_i, i=0,1, \ldots$, 称为出生率和 $\mu_i, i=1,2, \ldots$, 死亡率。
一个生死过程是一个具有状态空间的连续时间马尔可夫 链 $I=0,1, \ldots$ 其中唯一可能的状态转换 $i$ 对各州 $i-1$ 和 $i+1$ 为了 $i>0$ 并说明 $1 i=0$. 生灭过程的马尔可夫 跳链描述为:
$\backslash$ begin ${$ aligned $} \backslash$ nu_0 \& $=\backslash$ lambda_0 $\backslash \backslash n u_{-} i$ \& $=\backslash$ lambda
出生或死亡发生之前的时间，即状态之前的时间 $i$ 剩下的 是min $\left(B_i, D_i\right)$ 并且随速率呈指数分布 $\nu_i=\lambda_i+\mu_i$ 为了 $i>0$. 自然是没有人在场谁也走不了，所以 $\nu_0=\lambda_0$ 相应地 $p_{0,1}=1$. 此外，从状态转换 $i$ 是陈述 $i+1$ 如果出生发生在死亡之前，并且指数随机变量的概 率 $\lambda_i$ 早于具有速率的 (独立) 指数随机变量 $\mu_i$ 是 $\lambda_i /\left(\lambda_i+\mu_i\right)$. 类似地解释了最后的转移概率。
一个生与死的过程 $\mu_i=0$ 对全部 称为纯出生过程。 个特例是泊松过程: 出生率恒定的纯出生过程 $\lambda_i=\lambda$ ， 参见附录C.

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Equilibrium Distribution

出生和死亡过程的无穷小转换率是
$$
q_{i j}=\left{\lambda_i \quad \text { if } j=i+1, i \geq 0 \text { (birth rates) } \mu_i\right.
$$
平衡方程是
$$
\lambda_0 \pi_0=\mu_1 \pi_1 \quad \lambda_i \pi_i+\mu_i \pi_i=\lambda_{i-1} \pi_{i-1}+\mu_{i+1}
$$
结合等式 $\lambda_0 \pi_0=\mu_1 \pi_1$ 为了 $i=0$ 方程为 $i=1$, 我们观 察到它一定是 $\lambda_1 \pi_1=\mu_2 \pi_2$. 我们可以使用归纳法来发 现
$$
\lambda_i \pi_i=\mu_{i+1} \pi_{i+1} \quad \text { for } i=0,1, \ldots
$$
这些方程称为详细平衡方程，因为它们与相邻状态之间 的平均转换次数有关。
我们现在可以求解详细的平衡方程。为此，请注意 (8.11) 意味着
$$
\pi_{i+1}=\frac{\lambda_i}{\mu_{i+1}} \pi_i \quad \text { for } i=0,1, \ldots
$$
迭代这个等式给出
$$
\pi_i=\pi_0 \prod_{j=0}^{i-1} \frac{\lambda_j}{\mu_{j+1}} \quad \text { for } i=1,2, \ldots
$$
生死过程是遍历的如果
$$
G:=1+\sum_{i=1}^{\infty} \prod_{j=0}^{i-1} \frac{\lambda_j}{\mu_{j+1}}<\infty .
$$
在这种情况下， $\pi_0=G^{-1}$ 和 $\pi_i(8.12)$ 中的是均衡分布。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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