## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Simulating Markov Chains

2023年4月10日

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## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Simulating Markov Chains

Computing the probability distributions $\pi_t$ gives a great deal of information about the Markov chain, but this is often impractical if the state space is large. For example, if $S$ is a discrete state space, then for a discrete time Markov chain with transition matrix $P$ we can simulate the Markov chain as follows: given $X_t=j$, we sample $X_{t+1}$ from the distribution where $X_{t+1}=i$ with probability $p_{i j}$. For $S={1,2, \ldots, N}$, we can implement this method in Algorithm 70 , where $U$ is a generator that uniformly samples from $[0,1]$.

Continuous time but discrete state Markov chains with transition rate matrix $A$ can be simulated in different ways. One is to pick a step size $h>0$ and then set $P_h=(I-h A)^{-1}$. The matrix $P_h$ is a stochastic matrix as \begin{aligned} \boldsymbol{e}^T & =\boldsymbol{e}^T I=\boldsymbol{e}^T(I-h A) P_h=\left(\boldsymbol{e}^T-h \boldsymbol{e}^T A\right) P_h \ & =\left(\boldsymbol{e}^T-h \mathbf{0}^T\right) P_h=\boldsymbol{e}^T P_h . \end{aligned}
We can then apply Algorithm 70 using $P=P_h$ to generate $X_{k h}, k=1,2,3, \ldots$. This approach is closely related to the implicit Euler method for differential equations (see 6.1.8). An alternative is inspired by the explicit Euler method and set $P=I+h A$. In order for $P$ to be a stochastic matrix, we need $1+h a_{i i} \geq 0$ for all $i$. Since $a_{i i} \leq 0$, this puts an upper limit on the value of $h$.

Another approach is to identify the transition times: given $X_t=j$, the transition time $\tau$ is the smallest $\tau>0$ where $X_{t+s}=j$ for all $0 \leq s<\tau$, but there are arbitrarily small $\epsilon>0$ where $X_{t+\tau+\epsilon} \neq j$. The transition time $\tau$ is a random variable and is distributed according to the exponential distribution with parameter $\lambda=-a_{j j}: \tau \sim \operatorname{Exponential}\left(-a_{j j}\right)$. Note that $a_{j j} \leq 0$ so $\lambda \geq 0$. Then if $0 \leq \alpha<\beta$, $\operatorname{Pr}[r \leq \tau \leq s]=\exp (-\lambda r)-\exp (-\lambda s)$. We can sample from this distribution by setting $\tau \leftarrow-\ln (U) / \lambda$ where $U$ is a random variable uniformly distributed over $[0,1]$. The state $X_{t+\tau+}$ is then sampled from $S$ with $\operatorname{Pr}\left[X_{t+\tau+}=i\right]=a_{i j} / \sum_{k \neq j} a_{k j}$ for $i \neq j$. All of these samples can be made independently. If $a_{i i}=0$ then $\tau=+\infty$ and the simulation stops. In this case, the state $i$ is an absorbing state and no transition out of this state is possible.

## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Metropolis–Hastings Algorithm

The Metropolis-Hastings algorithm gives iterates $x_k$ of a Markov chain over a discrete state space $X$. The inputs to the Metropolis algorithm are a function $q: X \rightarrow \mathbb{R}$ with positive values, and a probability distribution function $g(y \mid x)$. This Markov chain has the property that $\operatorname{Pr}\left(x_k=x\right) \rightarrow q(x) / \sum_{x \in X} q(x)$ as $k \rightarrow \infty$, provided the Markov chain is ergodic. A discrete Markov chain is ergodic if the probability of any simulation $X_t$ of the Markov chain has $\lim _{t \rightarrow \infty} \operatorname{Pr}\left[X_t=x\right]>0$ and this probability is independent of the simulation. This algorithm is shown in Algorithm 71. The original Metropolis algorithm assumed that $g$ is symmetric:
$$g(x \mid y)=g(y \mid x) \quad \text { for all } x, y \in X .$$
Note that $q$ defines the limiting probability distribution for the iterates. However, the iterates $x_j$ and $x_k$ for $j \neq k$ are not independent. They are, in a sense, asymptotically independent in that $\mathbb{E}\left[\varphi\left(x_j\right) \psi\left(x_k\right)\right]-\mathbb{E}\left[\varphi\left(x_j\right)\right] \mathbb{E}\left[\psi\left(x_k\right)\right] \rightarrow 0$ as $|j-k| \rightarrow \infty$ for any $\varphi$ and $\psi: X \rightarrow \mathbb{R}$.

By suitably re-interpeting $q$ and $g$ and the formulas involving them, the algorithm can be extended to continuous as well as discrete probability distributions.

# 数值分析代考

## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Simulating Markov Chains

$$\boldsymbol{e}^T=\boldsymbol{e}^T I=\boldsymbol{e}^T(I-h A) P_h=\left(\boldsymbol{e}^T-h \boldsymbol{e}^T A\right) P_h$$

$\lambda=-a_{j j}: \tau \sim \operatorname{Exponential}\left(-a_{j j}\right)$. 注意 $a_{j j} \leq 0$ 所以 $\lambda \geq 0$. 那么如果 $0 \leq \alpha<\beta$ ， $\operatorname{Pr}[r \leq \tau \leq s]=\exp (-\lambda r)-\exp (-\lambda s)$. 我们可 以通过设置从这个分布中采样 $\tau \leftarrow-\ln (U) / \lambda$ 在哪里 $U$ 是均匀分布的随机变量 $[0,1]$. 国家 $X_{t+\tau+}$ 然后从中采 样 $S$ 和 $\operatorname{Pr}\left[X_{t+\tau+}=i\right]=a_{i j} / \sum_{k \neq j} a_{k j}$ 为了 $i \neq j$. 所有这些样品都可以独立制作。如果 $a_{i i}=0$ 然后 $\tau=+\infty$ 并且模拟停止。在这种情况下，状态 $i$ 是一种 吸收状态，不可能从这种状态过渡。

## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Metropolis–Hastings Algorithm

Metropolis-Hastings 算法给出迭代 $x_k$ 离散状态空间上 的马尔可夫链 $X$. Metropolis 算法的输入是一个函数 $q: X \rightarrow \mathbb{R}$ 具有正值和概率分布函数 $g(y \mid x)$. 该马尔 可夫链具有以下性质
$\operatorname{Pr}\left(x_k=x\right) \rightarrow q(x) / \sum_{x \in X} q(x)$ 作为 $k \rightarrow \infty$ ，前 提是马尔可夫链是遍历的。离散马尔可夫链是谝历的， 如果任何模拟的概率 $X_t$ 的马尔可夫链有
$\lim _{t \rightarrow \infty} \operatorname{Pr}\left[X_t=x\right]>0$ 并且这个概率独立于模拟。 该算法如算法 71 所示。最初的 Metropolis 算法假设 $g$ 是对称的:
$$g(x \mid y)=g(y \mid x) \quad \text { for all } x, y \in X .$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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