数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|GENG3405
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数值分析是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。
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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|QR factorization and the Gram–Schmidt process
Solving a LSQ problem, as done above, is called solving with the normal equations, since the matrix $\mathbf{A}^T \mathbf{A}$ is a “normal” matrix. For smaller problems, this is generally effective. For problems where $m$ is large (greater than a few thousand or so), the linear solve can be difficult because $\mathbf{A}^T \mathbf{A}$ is often fairly dense, even if $\mathbf{A}$ is sparse. Further, this linear solve is highly prone to conditioning problems. To see this, consider for simplicity a square, symmetric, nonsingular matrix $\mathbf{M}$. Here, one can calculate under properties of normal matrices that
$$
\operatorname{cond}_2\left(\mathbf{M}^T \mathbf{M}\right)=\left|\mathbf{M}^T \mathbf{M}\right|_2\left|\left(\mathbf{M}^T \mathbf{M}\right)^{-1}\right|_2=|\mathbf{M}|_2^2\left|\mathbf{M}^{-1}\right|_2^2=\left(\operatorname{cond}_2(\mathbf{M})\right)^2 .
$$
Although this is the simplest case, it is a similar situation for rectangular matrices (we would have to build up notation and theory for conditioning of rectangular matrices), but the takeaway is this: if a matrix $\mathbf{M}$ is even mildly ill-conditioned, then $\mathbf{M}^T \mathbf{M}$ is very ill-conditioned. We next show a way to solve the LSQ problems without performing a linear solve with a potentially ill-conditioned matrix.
The Gram-Schmidt process is a method to transform a set of $m$ linearly independent vectors into an orthonormal set of $m$ vectors that have the same span. Recalling from Calculus III the notion of a vector projection of $\mathbf{v}$ onto $\mathbf{u}$ (the part of $\mathbf{v}$ that is in the direction of $\mathbf{u})$
$$
\operatorname{proj}{\mathbf{u}}(\mathbf{v})=\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}|^2} \mathbf{u} $$ a linearly independent set of vectors $\left{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \ldots\right}$ can be transformed into an orthogonal set by the process $$ \begin{aligned} & \mathbf{a}_1=\mathbf{a}_1 \ & \mathbf{a}_2=\mathbf{a}_2-\operatorname{proj}{\mathbf{a}1}\left(\mathbf{a}_2\right) \ & \mathbf{a}_3=\mathbf{a}_3-\operatorname{proj}{\mathbf{a}1}\left(\mathbf{a}_3\right)-\operatorname{proj}{\mathbf{a}_2}\left(\mathbf{a}_3\right)
\end{aligned}
$$
and so on. After each step, each $\mathbf{q}_i$ is normalized via
$$
\mathbf{q}_i=\frac{\mathbf{a}_i}{\left|\mathbf{a}_i\right|}
$$
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Curve of best fi
Since many data relations are not linear, it is important to also consider “curves of best fit.” The ideas in the previous sections can be extended to this setting without much difficulty. There are three types of two-parameter curves to consider:
- exponential: $y=b e^{m x}$
- inverse: $y=\frac{1}{m x+b}$
- power: $y=b x^m$
Each of these functions depend on two parameters, which we call $m$ and $b$. It is our goal to find the $m$ and $b$ that provide a curve of best fit for given data points $\left(x_i, y_i\right)$, $i=1,2, \ldots, n$. The ideas below can easily be extended to other types of two-parameter curves. The procedure is to find a transformation that creates a linear relationship in transformed data, fit a line to the transformed data, and finally untransform the line to get a curve of best fit.
Step 1 of this procedure is the hardest, as it requires us to look at data and determine what kind of function that data might represent. If the data is exponential, then we would expect the points $\left(x_i, \log \left(y_i\right)\right)$ to look linear. Similarly, if the data comes from an inverse function, then we would expect $\left(x, \frac{1}{y}\right)$ to appear linear. Hence, Step 1 requires some educated guess, and checking that the transformed data is indeed linear.
Step 2 of the procedure is clear. Once we have linearized data, we already know how to find the line of best fit for it.
Step 3 is to take the line of best fit for the transformed data and turn it into a curve for the original data. How to do this depends on the transformation, but for example, for the exponential case, we fit a line $\log (y)=a_0+a_1 x$, then to untransform, we raise $e$ to both sides and get $y=e^{a_0+a_1 x}=e^{a_0} e^{a_1 x}$. If we set $b=e^{a_0}$ and $m=a_1$, we now have our parameters for a curve of best fit.
The transformation process for each of these data types is as follows:
- If the data comes from $y=b e^{m x}$, then taking the $\log$ of both sides gives $\log (y)=$ $\log (b)+m x$. Thus, a plot of $x_i$ versus $\log \left(y_i\right)$ will look linear.
- If the data comes from $y=\frac{1}{m x+b}$, then taking reciprocals of both sides gives $y^{-1}=$ $m x+b$. So a plot of $x_i$ versus $y_i^{-1}$ will look linear.
数值分析代考
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|QR factorization and the Gram–Schmidt process
如上所述，解决 LSQ 问题称为使用正规方程求解，因为矩阵 $\mathbf{A}^T \mathbf{A}$ 是一个”正规”矩阵。对于较小的问题，这通常 是有效的。对于问题所在 $m$ 很大（大于几千左右），线 性求解可能很困难，因为 $\mathbf{A}^T \mathbf{A}$ 通常是相当密集的，即 使 $\mathbf{A}$ 稀疏。此外，这种线性求解很容易出现调节问题。 要看到这一点，为简单起见，考虑一个正方形、对称、 非奇异矩阵 $\mathbf{M}$. 在这里，可以根据正规矩阵的性质计算 出
$$
\operatorname{cond}_2\left(\mathbf{M}^T \mathbf{M}\right)=\left|\mathbf{M}^T \mathbf{M}\right|_2\left|\left(\mathbf{M}^T \mathbf{M}\right)^{-1}\right|_2=|\mathbf{M}|_2^2
$$
虽然这是最简单的情况，但对于矩形矩阵来说也是类似 的情况 (我们必须为矩形矩阵的条件建立符号和理
论），但要点是: 如果一个矩阵 $\mathbf{M}$ 甚至是轻度病态，那
么 $\mathbf{M}^T \mathbf{M}$ 条件很差。接下来，我们将展示一种解决 LSQ 问题的方法，而无需使用潜在病态矩阵执行线性求解。
Gram-Schmidt 过程是一种将一组 $m$ 线性无关向量到正 交集 $m$ 具有相同跨度的向量。回顾微积分 III 中矢量投影 的概念 $\mathbf{v}$ 到 $\mathbf{u}$ （的一部分 $\mathbf{v}$ 那是在的方向 $\mathbf{u}$ ）
$$
\operatorname{proj} \mathbf{u}(\mathbf{v})=\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}|^2} \mathbf{u}
$$
一组线性无关的向量
可以通过过程转化为正交集
$$
\mathbf{a}_1=\mathbf{a}_1 \quad \mathbf{a}_2=\mathbf{a}_2-\operatorname{proj} \mathbf{a} 1\left(\mathbf{a}_2\right) \mathbf{a}_3=\mathbf{a}_3-\operatorname{proj}
$$
等等。每一步之后，每一个 $\mathbf{q}_i$ 通过标准化
$$
\mathbf{q}_i=\frac{\mathbf{a}_i}{\left|\mathbf{a}_i\right|}
$$
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Curve of best fi
由于许多数据关系不是线性的，因此考虑“最佳拟合曲 线”也很重要。前面几节中的想法可以毫不费力地扩展到 此设置。需要考虑三种类型的双参数曲线:
- 指数: $y=b e^{m x}$
- 逆: $y=\frac{1}{m x+b}$
- 力量: $y=b x^m$
这些函数中的每一个都依赖于两个参数，我们称 之为 $m$ 和 $b$. 我们的目标是找到 $m$ 和 $b$ 为给定数据点 提供最佳拟合曲线 $\left(x_i, y_i\right), i=1,2, \ldots, n$. 下 面的想法可以很容易地扩展到其他类型的双参数 曲线。该过程是找到一个在转换后的数据中创建 线性关系的转换，将一条线拟合到转换后的数 据，最后取消转换该线以获得最佳拟合曲线。
此过程的第 1 步是最困难的，因为它需要我们查看数据 并确定该数据可能代表哪种功能。如果数据是指数的， 那么我们期望点 $\left(x_i, \log \left(y_i\right)\right)$ 看起来线性。类似地，如 果数据来自反函数，那么我们期望 $\left(x, \frac{1}{y}\right)$ 出现线性。因 此，第 1 步需要一些有根据的猜测，并检查转换后的数 据是否确实是线性的。
程序的第 2 步很清楚。一旦我们有了线性化的数倨，我 们就已经知道如何找到最适合它的线。
第 3 步是采用最适合转换后数据的直线，并将其转换为 原始数据的曲线。如何做到这一点取决于转换，但是例 如，对于指数情况，我们拟合一条线
$\log (y)=a_0+a_1 x$ ，然后为了取消变换，我们提出 $e$ 两边得到 $y=e^{a_0+a_1 x}=e^{a_0} e^{a_1 x}$. 如果我们设置
$b=e^{a_0}$ 和 $m=a_1$ ，我们现在有了最佳拟合曲线的参 数。
每种数据类型的转换过程如下: - 如果数据来自 $y=b e^{m x}$ ，然后取log双方给出 $\log (y)=\log (b)+m x$. 因此，一个情节 $x_i$ 相 对 $\log \left(y_i\right)$ 看起来是线性的。
- 如果数据来自 $y=\frac{1}{m x+b}$, 然后取双方的倒数给出 $y^{-1}=m x+b$. 所以一个情节 $x_i$ 相对 $y_i^{-1}$ 看起 来是线性的。
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
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