## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|GENG3405

2023年1月4日

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## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|QR factorization and the Gram–Schmidt process

Solving a LSQ problem, as done above, is called solving with the normal equations, since the matrix $\mathbf{A}^T \mathbf{A}$ is a “normal” matrix. For smaller problems, this is generally effective. For problems where $m$ is large (greater than a few thousand or so), the linear solve can be difficult because $\mathbf{A}^T \mathbf{A}$ is often fairly dense, even if $\mathbf{A}$ is sparse. Further, this linear solve is highly prone to conditioning problems. To see this, consider for simplicity a square, symmetric, nonsingular matrix $\mathbf{M}$. Here, one can calculate under properties of normal matrices that
$$\operatorname{cond}_2\left(\mathbf{M}^T \mathbf{M}\right)=\left|\mathbf{M}^T \mathbf{M}\right|_2\left|\left(\mathbf{M}^T \mathbf{M}\right)^{-1}\right|_2=|\mathbf{M}|_2^2\left|\mathbf{M}^{-1}\right|_2^2=\left(\operatorname{cond}_2(\mathbf{M})\right)^2 .$$
Although this is the simplest case, it is a similar situation for rectangular matrices (we would have to build up notation and theory for conditioning of rectangular matrices), but the takeaway is this: if a matrix $\mathbf{M}$ is even mildly ill-conditioned, then $\mathbf{M}^T \mathbf{M}$ is very ill-conditioned. We next show a way to solve the LSQ problems without performing a linear solve with a potentially ill-conditioned matrix.

The Gram-Schmidt process is a method to transform a set of $m$ linearly independent vectors into an orthonormal set of $m$ vectors that have the same span. Recalling from Calculus III the notion of a vector projection of $\mathbf{v}$ onto $\mathbf{u}$ (the part of $\mathbf{v}$ that is in the direction of $\mathbf{u})$
$$\operatorname{proj}{\mathbf{u}}(\mathbf{v})=\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}|^2} \mathbf{u}$$ a linearly independent set of vectors $\left{\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \mathbf{a}_3, \ldots\right}$ can be transformed into an orthogonal set by the process \begin{aligned} & \mathbf{a}_1=\mathbf{a}_1 \ & \mathbf{a}_2=\mathbf{a}_2-\operatorname{proj}{\mathbf{a}1}\left(\mathbf{a}_2\right) \ & \mathbf{a}_3=\mathbf{a}_3-\operatorname{proj}{\mathbf{a}1}\left(\mathbf{a}_3\right)-\operatorname{proj}{\mathbf{a}_2}\left(\mathbf{a}_3\right) \end{aligned}
and so on. After each step, each $\mathbf{q}_i$ is normalized via
$$\mathbf{q}_i=\frac{\mathbf{a}_i}{\left|\mathbf{a}_i\right|}$$

## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Curve of best fi

Since many data relations are not linear, it is important to also consider “curves of best fit.” The ideas in the previous sections can be extended to this setting without much difficulty. There are three types of two-parameter curves to consider:

1. exponential: $y=b e^{m x}$
2. inverse: $y=\frac{1}{m x+b}$
3. power: $y=b x^m$
Each of these functions depend on two parameters, which we call $m$ and $b$. It is our goal to find the $m$ and $b$ that provide a curve of best fit for given data points $\left(x_i, y_i\right)$, $i=1,2, \ldots, n$. The ideas below can easily be extended to other types of two-parameter curves. The procedure is to find a transformation that creates a linear relationship in transformed data, fit a line to the transformed data, and finally untransform the line to get a curve of best fit.

Step 1 of this procedure is the hardest, as it requires us to look at data and determine what kind of function that data might represent. If the data is exponential, then we would expect the points $\left(x_i, \log \left(y_i\right)\right)$ to look linear. Similarly, if the data comes from an inverse function, then we would expect $\left(x, \frac{1}{y}\right)$ to appear linear. Hence, Step 1 requires some educated guess, and checking that the transformed data is indeed linear.
Step 2 of the procedure is clear. Once we have linearized data, we already know how to find the line of best fit for it.

Step 3 is to take the line of best fit for the transformed data and turn it into a curve for the original data. How to do this depends on the transformation, but for example, for the exponential case, we fit a line $\log (y)=a_0+a_1 x$, then to untransform, we raise $e$ to both sides and get $y=e^{a_0+a_1 x}=e^{a_0} e^{a_1 x}$. If we set $b=e^{a_0}$ and $m=a_1$, we now have our parameters for a curve of best fit.
The transformation process for each of these data types is as follows:

1. If the data comes from $y=b e^{m x}$, then taking the $\log$ of both sides gives $\log (y)=$ $\log (b)+m x$. Thus, a plot of $x_i$ versus $\log \left(y_i\right)$ will look linear.
2. If the data comes from $y=\frac{1}{m x+b}$, then taking reciprocals of both sides gives $y^{-1}=$ $m x+b$. So a plot of $x_i$ versus $y_i^{-1}$ will look linear.

# 数值分析代考

## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|QR factorization and the Gram–Schmidt process

$$\operatorname{cond}_2\left(\mathbf{M}^T \mathbf{M}\right)=\left|\mathbf{M}^T \mathbf{M}\right|_2\left|\left(\mathbf{M}^T \mathbf{M}\right)^{-1}\right|_2=|\mathbf{M}|_2^2$$

Gram-Schmidt 过程是一种将一组 $m$ 线性无关向量到正 交集 $m$ 具有相同跨度的向量。回顾微积分 III 中矢量投影 的概念 $\mathbf{v}$ 到 $\mathbf{u}$ （的一部分 $\mathbf{v}$ 那是在的方向 $\mathbf{u}$ ）
$$\operatorname{proj} \mathbf{u}(\mathbf{v})=\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{|\mathbf{u}|^2} \mathbf{u}$$

$$\mathbf{a}_1=\mathbf{a}_1 \quad \mathbf{a}_2=\mathbf{a}_2-\operatorname{proj} \mathbf{a} 1\left(\mathbf{a}_2\right) \mathbf{a}_3=\mathbf{a}_3-\operatorname{proj}$$

$$\mathbf{q}_i=\frac{\mathbf{a}_i}{\left|\mathbf{a}_i\right|}$$

## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Curve of best fi

1. 指数: $y=b e^{m x}$
2. 逆: $y=\frac{1}{m x+b}$
3. 力量: $y=b x^m$
这些函数中的每一个都依赖于两个参数，我们称 之为 $m$ 和 $b$. 我们的目标是找到 $m$ 和 $b$ 为给定数据点 提供最佳拟合曲线 $\left(x_i, y_i\right), i=1,2, \ldots, n$. 下 面的想法可以很容易地扩展到其他类型的双参数 曲线。该过程是找到一个在转换后的数据中创建 线性关系的转换，将一条线拟合到转换后的数 据，最后取消转换该线以获得最佳拟合曲线。
此过程的第 1 步是最困难的，因为它需要我们查看数据 并确定该数据可能代表哪种功能。如果数据是指数的， 那么我们期望点 $\left(x_i, \log \left(y_i\right)\right)$ 看起来线性。类似地，如 果数据来自反函数，那么我们期望 $\left(x, \frac{1}{y}\right)$ 出现线性。因 此，第 1 步需要一些有根据的猜测，并检查转换后的数 据是否确实是线性的。
程序的第 2 步很清楚。一旦我们有了线性化的数倨，我 们就已经知道如何找到最适合它的线。
第 3 步是采用最适合转换后数据的直线，并将其转换为 原始数据的曲线。如何做到这一点取决于转换，但是例 如，对于指数情况，我们拟合一条线
$\log (y)=a_0+a_1 x$ ，然后为了取消变换，我们提出 $e$ 两边得到 $y=e^{a_0+a_1 x}=e^{a_0} e^{a_1 x}$. 如果我们设置
$b=e^{a_0}$ 和 $m=a_1$ ，我们现在有了最佳拟合曲线的参 数。
每种数据类型的转换过程如下:
4. 如果数据来自 $y=b e^{m x}$ ，然后取log双方给出 $\log (y)=\log (b)+m x$. 因此，一个情节 $x_i$ 相 对 $\log \left(y_i\right)$ 看起来是线性的。
5. 如果数据来自 $y=\frac{1}{m x+b}$, 然后取双方的倒数给出 $y^{-1}=m x+b$. 所以一个情节 $x_i$ 相对 $y_i^{-1}$ 看起 来是线性的。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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