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数值分析是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Accuracy in solving linear systems

An important question which we now consider is whether numerical solutions to linear systems are accurate. Some systems are very sensitive to small changes in data or roundoff error, and thus their answers are potentially inaccurate. Other systems are not sensitive, and their solutions are likely good. We will quantify the sensitivity and accuracy of systems with the notion of matrix conditioning.

There are two major sources of error that arise when solving linear systems of equations. The first comes from poor representation of the equations in the computer. This arises in the 16th digit from rounding error, but also if the equations are created from experiments. then likely there is measurement error in the fourth (or so) digit in each entry of $\mathbf{A}$ and $\mathbf{b}$. Hence although one wants to solve $\mathbf{A x}=\mathbf{b}$, one is really solving $\hat{\mathbf{A}} \hat{\mathbf{x}}=\hat{\mathbf{b}}$. The question then arises, how close is $\hat{\mathbf{x}}$ to $\mathbf{x}$ ? Note that this type of error is not from numerical calculations, but from error in the representation of the linear system.
The second source of error comes from the calculations that produce a numerical solution to $\mathbf{A x}-\mathbf{b}$. When GE (or some variant of it) is used as the linear solver, the numerical error produced may be in the last few digits of the solution components (i. e., relative error is small). With other types of solvers such as CG, we may accept an approximate solution when the relative residual drops to $10^{-6}$. We will aim to quantify this phenomenon in this chapter, too.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Error and residual in linear system solving

Assume now that we can represent $\mathbf{A}$ and $\mathbf{b}$ exactly, and let us consider a different type of error. All numerical methods for solving $\mathbf{A x}-\mathbf{b}$ introduce error; that is, they almost surely find $\hat{\mathbf{x}} \neq \mathbf{x}$. Unfortunately, we usually never know $\mathbf{x}$, but we still want to have an idea of the size of the error $\mathbf{e}=\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}$. What we do know, if given an approximation $\hat{\mathbf{x}}$, is the residual $\mathbf{r}=\mathbf{b}-\mathbf{A} \hat{\mathbf{x}}$. Residual and error are different, but related:
$$
\mathbf{A e}=\mathbf{A}(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x})=\mathbf{A} \hat{\mathbf{x}}-\mathbf{A x}=\mathbf{A} \hat{\mathbf{x}}-\mathbf{b}=\mathbf{r} .
$$
Multiplying both sides of $\mathbf{A e}=\mathbf{r}$ by $\mathbf{A}^{-1}$ gives $\mathbf{e}=\mathbf{A}^{-1} \mathbf{r}$, and then taking norms of both sides yield
$$
|\mathbf{e}|=\left|\mathbf{A}^{-1}\right||\mathbf{r}| \leq\left|\mathbf{A}^{-1}\right||\mathbf{r}|,
$$
where the last inequality came from a property of matrix norms. Dividing both sides by $|\hat{\boldsymbol{x}}|$, and multiplying the right-hand side by $\frac{|\mathbf{A}|}{|\mathbf{A}|}$ yield
$$
\frac{|\mathbf{e}|}{|\hat{\mathbf{x}}|} \leq \operatorname{cond}(A) \frac{|\mathbf{r}|}{|\mathbf{A}| \hat{\mathbf{x}} |} .
$$
The left-hand side is the relative error of the solution, and the right-hand side is the condition number of $\mathbf{A}$ times the relative residual $\frac{|\vec{r}|}{|\mathbf{A}| \hat{\mathbf{x} \mid} \mid}$. With $\hat{\mathbf{x}}$ computed by numerically stable algorithms such as GE with partial pivoting, the relative residual $\frac{|\mathbf{r}|}{|\mathbf{A}| \mathbf{x} |}$ is on the order of machine epsilon. ${ }^6$ Overall, direct solvers for sparse matrices typically produce approximations that have very small relative residuals, for example, smaller than $10^{-12}$. Iterative solvers, such as CG or GMRES, often use relative residual size as a stopping criteria, and usually on the order of $10^{-6}$ or $10^{-8}$. Hence, if there is a large condition number compared to the relative residual, then the error $\frac{|\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}|}{|\hat{\mathbf{x}}|}$ may be large.

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Accuracy in solving linear systems

我们现在考虑的一个重要问题是线性系统的数值解是否 准确。有些系统对数据的微小变化或舍入误差非常敏 感，因此它们的答案可能不准确。其他系统不敏感，他 们的解决方案可能很好。我们将使用矩阵调节的概念来 量化系统的灵敏度和准确性。
求解线性方程组时会出现两个主要误差源。第一个原因 是方程式在计算机中的表现不佳。这是由舍入误差引起 的第 16 位数字，但如果方程式是根据实验创建的，也会 出现这种情况。那么在每个条目的第四个 (左右) 数字 中可能存在测量错娱 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{b}$. 因此，尽管有人想解决 $\mathbf{A x}=\mathbf{b}$ ，一个真的在解决 $\hat{\mathbf{A}} \hat{\mathbf{x}}=\hat{\mathbf{b}}$. 那么问题来了，距 离有多近 $\hat{\mathbf{X}}$ 到 $\mathbf{x}$ ? 请注意，此类错误不是来自数值计算， 而是来自线性系统表示中的错误。
错误的第二个来源来自产生数值解的计算 $\mathbf{A} \mathbf{x}-\mathbf{b}$. 当 GE (或其某些变体) 用作线性求解器时，产生的数值误 差可能在解分量的最后几位 (即相对误差很小)。对于 其他类型的求解器，例如 CG，当相对残差下降到时，我 们可能会接受近似解 $10^{-6}$. 我们的目标也是在本章中量 化这种现象。

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Error and residual in linear system solving

现在假设我们可以表示 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{b}$ 确切地说，让我们考虑一 种不同类型的错误。所有求解的数值方法 $\mathbf{A} \mathbf{x}-\mathbf{b}$ 引入 铓娱；也就是说，他们几乎肯定会找到 $\hat{\mathbf{x}} \neq \mathbf{x}$. 不幸的 是，我们通常永远不知道 $\mathbf{x}$, 但我们仍然想知道错误的大 小 $=\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}$. 如果给出一个近似值，我们所知道的 $\hat{\mathbf{x}}$, 是残差 $\mathbf{r}=\mathbf{b}-\mathbf{A} \hat{\mathbf{x}}$. 残差和误差不同，但相关:
$$
\mathbf{A e}=\mathbf{A}(\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x})=\mathbf{A} \hat{\mathbf{x}}-\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{A} \hat{\mathbf{x}}-\mathbf{b}=\mathbf{r}
$$
两边相乘 $\mathbf{A e}=\mathbf{r}$ 经过 $\mathbf{A}^{-1}$ 给 $\mathbf{e}=\mathbf{A}^{-1} \mathbf{r}$, 然后取双方 的范数 yield
$$
|\mathbf{e}|=\left|\mathbf{A}^{-1}\right||\mathbf{r}| \leq\left|\mathbf{A}^{-1}\right||\mathbf{r}|,
$$
其中最后一个不等式来自矩阵规范的属性。两边除以 $|\hat{\boldsymbol{x}}|$ ，并将右边乘以 $\frac{|\mathbf{A}|}{|\mathbf{A}|}$ 屈服
$$
\frac{|\mathbf{e}|}{|\hat{\mathbf{x}}|} \leq \operatorname{cond}(A) \frac{|\mathbf{r}|}{|\mathbf{A}| \hat{\mathbf{x}} \mid}
$$
左边是解的相对误差，右边是条件数 $\mathbf{A}$ 乘以相对残差 $\frac{|\vec{r}|}{|\mathbf{A}| \hat{\mathbf{x}} \mid}$. 和 $\hat{\mathbf{x}}$ 通过数值稳定的算法计算，例如具有部分主 元的 $G E$ ，相对残差 $\frac{|\mathbf{r}|}{|\mathbf{A}| \mathbf{x} \mid}$ 是机器epsilon的顺序。 ${ }^6$ 总体 而言，稀疏矩阵的直接求解器通常会生成具有非常小的 相对残差的近似值，例如，小于 $10^{-12}$. 迭代求解器，例 如 CG 或 GMRES，通常使用相对残差大小作为停止标 准，通常为 $10^{-6}$ 要么 $10^{-8}$. 因此，如果与相对残差相比 条件数较大，则误差 $\frac{|\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{x}|}{|\hat{\mathbf{x}}|}$ 可能很大。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。