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数值分析是数学的一个分支，使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法，这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Jacobi and Gauss-Seidel Iteration

In the previous chapter we discussed direct methods for the solution of linear systems. These are the methods of choice for moderate size problems. Computing the LU decomposition of an $n \times n$ matrix, for example, requires about $\frac{2}{3} n^3$ floating point operations. If $n=100$ this is about $6.7 \times 10^5$ floating point operations which takes well under a second on a standard desktop computer; if $n=1000$ however this is about $6.7 \times 10^8$ flops which takes considerably longer to finish (due to memory management issues in addition to the thousand-fold extra flops required). Since matrices as large as tens of thousands by tens of thousands are commonly encountered in practice (in problems involving the numerical solution of partial differential equations, such as in fluid dynamics) and matrices as large as hundreds of thousands by hundreds of thousands are not uncommon (for example, applications in data science, or the analysis of genetic data), more efficient methods are clearly needed.

We will have little to say about large, dense matrices. If approximating such a matrix with a simpler matrix is not acceptable, the computation will take a long time. Moving entries of the matrix from memory to the processor(s) will likely be more time-consuming than the actual computations. These are extremely challenging problems-consult an expert.

Fortunately, it is common for large matrices occurring in practice to be sparse. For large, sparse matrices there are a number of iterative methods that-in combination with a smart storage system for the sparse matrix-can lead to considerably shorter computation times. As a rule, direct methods are $O\left(n^3\right)$ and iterative methods are, in the cases in which they are appropriate, $O\left(n^2\right)$. The goal for sparse matrices is always to get a method that is $O(N)$ where $N$ is the number of nonzero entries in a typical row of the matrix.

In this section we will discuss two classical methods for the solution of linear systems by iterative methods. Remember, the implicit assumption of sparsity is standard when we consider these methods for solving $A x=b$-they may not be very efficient otherwise.

Consider a square linear system $A x=b$. We seek an iteration of the form $x^{k+1}=F\left(x^k\right)$ where an initial guess $x^0 \in \mathbb{R}^{\times}$is given and $F$ is simple to compute.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Iterative Refinement

The Jacobi, Gauss-Seidel, and SOR methods of Sec. $3.1$ were previously widely employed for the solution of large sparse systems. The modern approach is different: We use such a method to prime another iterative technique. This priming can take one of two forms, and we explore them in this section and the next.

The technique we will discuss here is based on the observation that if $x_0$ is an estimate of the true solution $x$ of $A x=b$ then the residual $r$ satisfies
$$
\begin{aligned}
r &=b-A x_0 \
&=A x-A x_0 \
&=A\left(x-x_0\right)
\end{aligned}
$$
(since $A x=b$ ). But $e=x-x_0$ is precisely the error in estimating $x$ using $x_0$; we have found a linear system satisfied by the error vector,
and in principle we can solve Eq. (3.1) for $e$ and set $x=x_0+e$ to determine $x$. In practice of course we will have error in $e$ as well but even still $x_1=x_0+e$ may be an improved estimate of $x$. This technique is called iterative refinement (or iterative improvement). It uses the current $x_0$ to predict a correction $e$ to be applied to it.

We could use iterative refinement simply to recover some of the accuracy that is lost in solving $A x=b$ by some other method. For example, it is reasonable to take the approximate solution of $A x=b$ as found by LU decomposition and perform one or two iterations of iterative improvement on it in order to clean it up. As the LU decomposition of $A$ is already known from solving $A x=b$ to get the approximate solution, this can be done efficiently by simply using it in Eq. (3.1). Since iterative improvement requires only $O\left(n^2\right)$ operations if we save the LU factors of $A$ and reuse them, whereas solving $A x=b$ in the first place requires $O\left(n^3\right)$ operations, this is an inexpensive measure to employ to improve a solution. For well-conditioned matrices one iteration will likely suffice. On the other hand, if we have spent $O\left(n^3\right)$ operations and gained an inaccurate solution due to illconditioning, then spending a mere $O\left(n^2\right)$ additional operations to improve it may be wise (we are “saving” the computation, hopefully).

However, as indicated at the start of this section, we can also use it as our solution method. We generate an initial guess $x_0$ that is suitably close to the true solution say, by performing several iterations of Gauss-Seidel iteration to generate this $x_0$-and perform iterative improvement on it until the error ceases to be reduced.

数值分析代考

数学代写|数值分析代写数值分析代考|Jacobi和Gauss-Seidel迭代

在前一章中，我们讨论了求解线性系统的直接方法。这些都是中等规模问题的选择方法。例如，计算$n \times n$矩阵的LU分解需要$\frac{2}{3} n^3$左右的浮点运算。如果$n=100$是关于$6.7 \times 10^5$的浮点运算，在标准桌面计算机上这需要不到1秒的时间;如果$n=1000$，这是关于$6.7 \times 10^8$的失败，这需要相当长的时间来完成(由于内存管理问题，除了需要一千倍额外的失败)。由于在实践中经常遇到数以万乘数以万的大矩阵(在涉及偏微分方程数值解的问题中，如流体动力学中)，而数以十万乘数以万的大矩阵也并不罕见(例如，在数据科学或遗传数据分析中的应用)，显然需要更有效的方法

对于大而密的矩阵，我们没有什么可说的。如果用一个更简单的矩阵逼近这样一个矩阵是不可接受的，计算将花费很长时间。将矩阵的条目从内存移动到处理器可能比实际的计算更耗时。这些都是极具挑战性的问题——向专家咨询吧

幸运的是，在实践中出现的大型矩阵通常是稀疏的。对于大型的稀疏矩阵，有许多迭代方法——与稀疏矩阵的智能存储系统相结合——可以大大缩短计算时间。一般来说，直接方法是$O\left(n^3\right)$，迭代方法是$O\left(n^2\right)$(在合适的情况下)。稀疏矩阵的目标总是得到一个方法$O(N)$，其中$N$是矩阵的典型行中非零项的数量

在本节中，我们将讨论用迭代法求解线性系统的两种经典方法。记住，当我们考虑这些求解$A x=b$的方法时，隐式的稀疏性假设是标准的——否则它们可能不是很有效

考虑一个平方线性系统$A x=b$。我们寻求形式$x^{k+1}=F\left(x^k\right)$的迭代，其中给出了初始猜测$x^0 \in \mathbb{R}^{\times}$，并且$F$很容易计算。

数学代写|数值分析代写数值分析代考|迭代细化

Sec. $3.1$的Jacobi, Gauss-Seidel和SOR方法以前被广泛用于求解大型稀疏系统。现代的方法是不同的:我们使用这样的方法来启动另一种迭代技术。这种启动可以采取两种形式之一，我们将在本节和下节探讨它们

我们将在这里讨论的技巧是基于这样的观察:如果$x_0$是$A x=b$的真解$x$的估计值，那么残差$r$满足
$$
\begin{aligned}
r &=b-A x_0 \
&=A x-A x_0 \
&=A\left(x-x_0\right)
\end{aligned}
$$
(从$A x=b$开始)。但$e=x-x_0$正是用$x_0$估计$x$的误差;我们找到了一个误差向量
满足的线性系统，原则上我们可以求解式(3.1)$e$，并设置$x=x_0+e$来确定$x$。在实践中，我们当然也会在$e$上有误差，但即使是$x_1=x_0+e$也可能是对$x$的改进估计。这种技术称为迭代细化(或迭代改进)。它使用当前的$x_0$来预测将应用于它的修正$e$

我们可以简单地使用迭代精化来恢复用其他方法求解$A x=b$时丢失的一些准确性。例如，取LU分解找到的$A x=b$的近似解，对其进行一到两次迭代改进，以便清理，这是合理的。由于$A$的LU分解已经通过求解$A x=b$得到了近似解，这可以通过在式(3.1)中简单地使用它来有效地完成。因为迭代改进只需要$O\left(n^2\right)$操作，如果我们保存$A$的LU因子并重用它们，而解决$A x=b$首先需要$O\left(n^3\right)$操作，这是一种用于改进解决方案的廉价措施。对于条件良好的矩阵，一次迭代可能就足够了。另一方面，如果我们花费了$O\left(n^3\right)$次操作，并且由于条件不良而得到了一个不准确的解，那么仅仅花费$O\left(n^2\right)$次额外的操作来改进它可能是明智的(我们希望是在“节省”计算)

然而，正如本节开头所指出的，我们也可以使用它作为我们的求解方法。我们通过执行几次高斯-赛德尔迭代来生成$x_0$，并对其进行迭代改进，直到错误停止减少，从而生成一个适当接近于真实解的初始猜测$x_0$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。