## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|CIVL2060

2022年12月23日

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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
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## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Appendix A. Computation of the Linear System

For low values of the argument, the kernel of the integral of Equation (16) exhibits a logarithmic singularity, namely
$$K_0(z) \cong-\log (z / 2)-\gamma_0,$$
with $\gamma_0$ being the Eulero-Mascheroni constant. For its efficient numerical computation, it is worth adopting the variational form
$$A_{n m}=A_{n m}^{\log }+A_{n m}^0,$$
where
\begin{aligned} A_{n m}^0=\int_0^\pi \int_0^\pi\left[K_0(\right. & \left.2 a w\left|\sin \left(\frac{\varphi_a}{2}\left(\cos \psi_0-\cos \psi^{\prime}\right)\right)\right|\right)+ \ & \left.+\log \left(a w\left|\sin \left(\frac{\varphi_a}{2}\left(\cos \psi_0-\cos \psi^{\prime}\right)\right)\right|\right)+\gamma_0\right] \cos \left(m \psi_0\right) \cos \left(n \psi^{\prime}\right) d \psi_0 d \psi^{\prime} \end{aligned}
The new integral in Equation (A3) has no singularities and can be numerically computed with minimal effort. Regarding the logarithmic, by means of the relevant expansion
$$\log |\sin (x / 2)|=-\sum_{p=1}^{\infty} \frac{\cos p x}{p}-\log 2 ，$$
with some manipulations it can be easily found that
\begin{aligned} & A_{n m}^{\log }=-\int_0^\pi \int_0^\pi\left[\log \left(a w\left|\sin \left(\frac{\varphi_a}{2}\left(\cos \psi_0-\cos \psi^{\prime}\right)\right)\right|\right)+\gamma_0\right] \cos \left(m \psi_0\right) \cos \left(n \psi^{\prime}\right) d \psi_0 d \psi^{\prime}= \ &= \begin{cases}-\pi^2\left[\log (a w / 2)+\gamma_0\right], & m=n=0 \ \pi^2 \sum_{p=1}^{\infty} \frac{J_m\left(p / \varphi_a\right) J_n\left(p / \varphi_a\right)}{p}, & m+n \text { odd } \ 0, & m+n \text { even. }\end{cases} \end{aligned}

## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Main Results

In this section, we state some oscillation criteria for (1). For convenience, we denote
\begin{aligned} \pi_i(y) & =\int_{y_1}^y \frac{1}{m_i(s)} d s, \quad i=1,2,3, \quad I_2(y)=\int_{y_1}^y \frac{1}{m_1(s)} \pi_2(s) d s . \ A_2(y) & =\int_{y_1}^y \frac{1}{m_2(s)} \pi_3(s) d s, A_3(y)=\int_{y_1}^y \frac{1}{m_1(s)} A_2(s) d s . \ \bar{E}0 z(y) & =z(y), \bar{E}_i z(y)=m_i\left(\bar{E}{i-1} z(y)\right)^{\prime}, i=1,2,3, \bar{E}_4 z(y)=\left(\bar{E}_3 z(y)\right)^{\prime} . \end{aligned}
where $y_1$ is sufficiently large.
The main step to study Equation (1) is to determine the derivatives $\operatorname{sign} E_i z(y)$ according to Kiguradze’s lemma [23]
$$\bar{E}_4 z(y)+q(y) f(z(\sigma(y)))=0,$$
the set $\Phi$ of nonoscillatory solutions can be divided into two parts
$$\Phi=\Phi_1 \cup \Phi_3,$$
say positive solution $z(y)$ satisfies
$$z(y) \in \Phi_1 \Longleftrightarrow \bar{E}_1 z(y)>0, \quad E_2 z(y)<0, \quad \bar{E}_3 z(y)>0, \quad \bar{E}_4 z(y)<0,$$ or $$z(y) \in \Phi_3 \Longleftrightarrow E_1 z(y)>0, \quad E_2 z(y)>0, \quad E_3 z(y)>0, \quad \bar{E}_4 z(y)<0 .$$
Theorem 1. Let (2) hold. Assume that $z(y)$ be a positive solution of Equation (1). If
(i) $z(y) \in \Phi_1$, then $\frac{z(y)}{\pi_1(y)}$ is decreasing.
(ii) $z(y) \in \Phi_3$, then $\frac{z(y)}{A_3(y)}$ is decreasing and $\bar{E}_1 z(y) \geq A_2(y) \bar{E}_3 z(y)$.

# 数值分析代考

## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Appendix A. Computation of the Linear System

，日志⁡|罪⁡(X/2)|=−∑p=1∞余弦⁡pXp−日志⁡2，

## 数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Main Results

$$\pi_i(y)=\int_{y_1}^y \frac{1}{m_i(s)} d s, \quad i=1,2,3, \quad I_2(y)=\int_{y_1}^y \frac{1}{m_1(s)} \pi_2$$

$$\bar{E}_4 z(y)+q(y) f(z(\sigma(y)))=0,$$

$$\Phi=\Phi_1 \cup \Phi_3,$$

$$z(y) \in \Phi_1 \Longleftrightarrow \bar{E}_1 z(y)>0, \quad E_2 z(y)<0, \quad \bar{E}_3 z(y)>0,$$

$$z(y) \in \Phi_3 \Longleftrightarrow E_1 z(y)>0, \quad E_2 z(y)>0, \quad E_3 z(y)>0,$$

$$\left(\text { (二) } z(y) \in \Phi_3 \text { ，然后 } \frac{z(y)}{A_3(y)} \text { 正在减少并且 } \bar{E}_1 z(y) \geq A_2(y) \bar{E}_3 z(y)\right.$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。