## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Math676

2022年12月23日

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## 数学代写|数论作业代写number theory代考|CONTINUED FRACTIONS OF IRRATIONAL NUMBERS

Consider again our (presumed) continued fraction for $\sqrt{2}$. Using the tabular method, or otherwise, we find that the first few convergents to $\sqrt{2}$ are
$$\frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \frac{239}{169}, \frac{577}{408}, \ldots .$$
Evaluating these convergents (and, if necessary, a few more) as decimals, it is not hard to convince ourselves that the convergents $p_{2 k} / q_{2 k}$ with even indices form an increasing sequence converging to the limit $\sqrt{2}$, while the convergents $p_{2 k+1} / q_{2 k+1}$ with odd indices form a decreasing sequence which converges to the same limit. In fact, this observation is the key to proving that an infinite simple continued fraction always converges; having done so, we shall find it easy to confirm that the continued fraction for $\sqrt{2}$ is as we have conjectured.
Lemma 4.4. Oscillation of convergents. Let $p_k / q_k$ be the $k$ th convergent to the infinite simple continued fraction $\alpha=\left[a_0, a_1, a_2, \ldots\right]$. Then
$$\frac{p_0}{q_0}<\frac{p_2}{q_2}<\frac{p_4}{q_4}<\cdots<\frac{p_5}{q_5}<\frac{p_3}{q_3}<\frac{p_1}{q_1} .$$ Moreover, $q_k$ increases without limit as $k \rightarrow \infty$. Proof. It is obvious that $p_0 / q_0n$.

Theorem 4.5. Any infinite simple continued fraction converges to a limit; moreover, this limit is irrational.

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|APPROXIMATION PROPERTIES OF CONVERGENTS

Having proved all that we need about representation of numbers by continued fractions, we proceed to investigate what continued fractions can tell us about the approximation of irrationals by rationals. This will link the present topic with that of the previous chapter. First, some equalities and inequalities concerning the difference between a number and its convergents.
Lemma 4.10. Let $\alpha=\left[a_0, a_1, a_2, \ldots\right]$ be an infinite simple continued fraction with convergents $p_k / q_k$ and completc quoticnts $\alpha_k$. Then for $k \geq 0$ wc havc
$$\left|\alpha-\frac{p_k}{q_k}\right|=\frac{1}{\left(\alpha_{k+1} q_k+q_{k-1}\right) q_k}<\frac{1}{q_{k+1} q_k} \leq \frac{1}{a_{k+1} q_k^2} .$$

If $\alpha=\left[a_0, a_1, \ldots, a_n\right]$ is a finite continued fraction, then the same relations hold for $0 \leq ka_{k+1} q_k+q_{k-1}=q_{k+1} \geq a_{k+1} q_k . $$Comments. • Using this we can give an alternative proof of Theorem 3.21, that any irrational is approximable to order 2. For an irrational number \alpha has infinitely many convergents p / q, and, from (4.5), every one of these satisfies$$ 0<\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^2} . $$• Observe also from (4.5) that p_k / q_k will approximate \alpha to within c / q_k^2, and that the constant c will be exceptionally small if the next partial quotient a_{k+1} is large. Now consider the continued fraction for \pi. By tâking a sufficiently accurate decimal approximation to \pi, or possibly by other methods, we obtain$$ \pi=3+\frac{1}{7+} \frac{1}{15+} \frac{1}{1+} \frac{1}{292+} \frac{1}{1+} \frac{1}{1+} \frac{1}{1+} \frac{1}{2+} \ldots . $$# 数论作业代写 ## 数学代写|数论作业代写number theory代考|CONTINUED FRACTIONS OF IRRATIONAL NUMBERS 再次考虑我们的 (假定的) 连分数 \sqrt{2}. 使用表格方法或其他方法，我 们发现前几个收敛到 \sqrt{2} 是$$ \frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \frac{239}{169}, \frac{577}{408}, \ldots $$将这些收敛值（如果有必要，还有一些) 评估为小数，不难说服自己 收敛 p_{2 k} / q_{2 k} 偶数索引形成一个收敛于极限的递赠序列 \sqrt{2}, 而收玫 p_{2 k+1} / q_{2 k+1} 奇数索引形成一个收敛到相同极限的递减序列。事实 上，这个观察结果是证明无限简单连分数总是收玫的关键；这样做之 后，我们会发现很容易确认连分数为 \sqrt{2} 正如我们推测的那样。 引理 4.4。收玫的振芴。让 p_k / q_k 成为 k th 收敘于无限简单连分数 \alpha=\left[a_0, a_1, a_2, \ldots\right]. 然后$$ \frac{p_0}{q_0}<\frac{p_2}{q_2}<\frac{p_4}{q_4}<\cdots<\frac{p_5}{q_5}<\frac{p_3}{q_3}<\frac{p_1}{q_1} . $$而且， q_k 无限制地增加为 k \rightarrow \infty. 证明。很明显 p_0 / q_0 n. 定理 4.5。任何无穷大的简单连分数都收敛于一个极限；而且，这个限 制是不合理的。 ## 数学代写|数论作业代写number theory代考|APPROXIMATION PROPERTIES OF CONVERGENTS 在证明了用连分数表示数字所需的一切之后，我们继续研究连分数可 以告诉我们关于有理数对无理数的逼近。这会将当前主题与上一章的 主题联系起来。首先，关于一个数和它的收敛数之差的一些等式和不 等式。 引理 4.10。让 \alpha=\left[a_0, a_1, a_2, \ldots\right] 是收玫的无限简单连分数 p_k / q_k 和完整的报价 \alpha_k. 然后为 k \geq 0 卫生间$$ \left|\alpha-\frac{p_k}{q_k}\right|=\frac{1}{\left(\alpha_{k+1} q_k+q_{k-1}\right) q_k}<\frac{1}{q_{k+1} q_k} \leq \frac{1}{a_{k+1} q_k^2} . $$如果 \alpha=\left[a_0, a_1, \ldots, a_n\right] 是有限连分数，则相同的关系适用于 0 \leq k a_{k+1} q_k+q_{k-1}=q_{k+1} \geq a_{k+1} q_k . \$$ 评论。 • 使用这个我们可以给出定理的替代证明$3.21$，任何无理数都可 近似为 2 阶。对于无理数$\alpha$有无限多个收敛$p / q$, 并且，从 (4.5)， 这些中的每一个都满足 $$0<\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^2} .$$ • 还从 (4.5) 中观察到$p_k / q_k$将近似$\alpha$到里面$c / q_k^2$，并且常数 将 非常小，如果下一个部分商$a_{k+1}$很大。现在考虑连分数$\pi$. 通过 采用足够精确的十进制近似值$\pi\$ ，或者可能通过其他方法，我 们得到
$$\pi=3+\frac{1}{7+} \frac{1}{15+} \frac{1}{1+} \frac{1}{292+} \frac{1}{1+} \frac{1}{1+} \frac{1}{1+} \frac{1}{2+} \cdots$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。