# 数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH453

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Ideal Class Group

We have already seen that the nonzero integral and fractional ideals of the ring $O_K$ of integers of an algebraic number field $K$ form a group $I(K)$ under multiplication (Theorem 8.3.4). The principal ideals in $I(K)$ are of the form $\langle\alpha\rangle=\left{r \alpha \mid r \in O_K\right}$ for some $\alpha \in K^*$ and they form a subgroup $P(K)$ of $I(K)$ as
$$\langle\alpha\rangle\langle\beta\rangle^{-1}=\left\langle\alpha \beta^{-1}\right\rangle \in P(K) .$$
The group $I(K)$ is an Abelian group so $P(K)$ is a normal subgroup of $I(K)$ and the factor group $I(K) / P(K)$ is well defined and Abelian.

Definition 12.1.1 (Ideal class group) Let $K$ be an algebraic number field. Let $I(K)$ be the group of nonzero fractional and integral ideals of $O_K$. Let $P(K)$ be the subgroup of principal ideals of $I(K)$. Then the factor group $I(K) / P(K)$ is called the ideal class group of $K$ and is denoted by $H(K)$.

It is an important result that $H(K)$ is always a finite group. This is proved in Section 12.5 as a consequence of some theorems of Hermann Minkowski (18641909) in the geometry of numbers.

Definition 12.1.2 (Class number) Let $K$ be an algebraic number field. The order of the ideal class group $H(K)$ is called the class number of $K$ and is denoted by $h(K)$.

If two nonzero ideals $A$ and $B$ of $O_K$ are in the same class of $H(K)=$ $I(K) / P(K)$, we say that they are equivalent and write $A \sim B$. Clearly
\begin{aligned} A \sim B & \Longleftrightarrow A P(K)=B P(K) \ & \Longleftrightarrow A^{-1} B \in P(K) \ & \Longleftrightarrow A^{-1} B=\langle\alpha\rangle \text { for some } \alpha \in K^* \ & \Longleftrightarrow B=A\langle\alpha\rangle \text { for some } \alpha \in K^* \ & \Longleftrightarrow\langle a\rangle A=\langle b\rangle B \text { for some } a, b \in O_K \backslash{0} . \end{aligned}

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Minkowski’s Translate Theorem

Let $\mathbb{R}^n$ denote the vector space of all $n$-tuples $\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ with $x_1, x_2, \ldots, x_n \in$ $\mathbb{R}$. We let $\mathbb{Z}^n$ be the subset of $\mathbb{R}^n$ given by
$$\mathbb{Z}^n=\left{\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n \mid x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{Z}\right} .$$
The elements of $\mathbb{Z}^n$ are called lattice points and $\mathbb{Z}^n$ is called a lattice. Clearly $\mathbb{Z}^n$ is a group under addition. For $\alpha=\left(a_1, \ldots, a_n\right) \in \mathbb{R}^n$ we set
$$|\alpha|=\max _{1 \leq i \leq n}\left|a_i\right|(\in \mathbb{R}) .$$

Definition 12.2.1 (Translate) If $S$ is a subset of $\mathbb{R}^n$ and $\alpha \in \mathbb{R}^n$ we let
$$S_\alpha={\alpha+\beta \mid \beta \in S} .$$
The set $S_\alpha\left(\subseteq \mathbb{R}^n\right)$ is called a translate of $S$ in $\mathbb{R}^n$.
Clearly $S_0=S$, where $0=(0, \ldots, 0)$.
Definition 12.2.2 (Magnification) If $S$ is a subset of $\mathbb{R}^n$ and $a \in \mathbb{R}^{+}$we let
$$a S={a \beta \mid \beta \in S} .$$
The set a $S\left(\subseteq \mathbb{R}^n\right)$ is called a magnification of $S$ in $\mathbb{R}^n$.
Definition 12.2.3 (Bounded set) A subset $S$ of $\mathbb{R}^n$ is said to be bounded if there exists $B \in \mathbb{R}^{+}$such that
$$|\alpha| \leq B \text { for all } \alpha \in S$$

# 数论作业代写

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Ideal Class Group

$$\langle\alpha\rangle\langle\beta\rangle^{-1}=\left\langle\alpha \beta^{-1}\right\rangle \in P(K) .$$

$$\mathbb{Z}^n=\left{\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n \mid x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{Z}\right} .$$
$\mathbb{Z}^n$的元素称为点阵点，$\mathbb{Z}^n$称为点阵。显然$\mathbb{Z}^n$是一个加法基团。对于$\alpha=\left(a_1, \ldots, a_n\right) \in \mathbb{R}^n$，我们设置
$$|\alpha|=\max _{1 \leq i \leq n}\left|a_i\right|(\in \mathbb{R}) .$$

$$S_\alpha={\alpha+\beta \mid \beta \in S} .$$

$$a S={a \beta \mid \beta \in S} .$$

$$|\alpha| \leq B \text { for all } \alpha \in S$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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