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数论Number theory是一门有着极其悠久和丰富历史的学科。研究数论，并适当关注它的历史提醒我们，这门学科一直是一个激烈的竞争人类活动。许多其他的数学学科，例如微积分，毫无疑问会像今天这样发展，完全独立于参与实际发展的个人，但数论的发展却奇妙而离奇，这在很大程度上取决于多年来发展这门学科的人的特殊兴趣。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|The Units of $\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{2}$

In Theorem 5.4.3 we determined the unit group $U\left(O_K\right)$ for an imaginary quadratic field $K$. The objective of this chapter is to determine the structure of the unit group $U\left(O_K\right)$ for an arbitrary real quadratic field $K$. We show that
$$
U\left(O_K\right) \simeq \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}
$$
(see Theorems 11.5.1 and 11.5.2). This is accomplished by showing that there exists a unit $\epsilon$ in $O_K$ such that every unit is of the form $\pm \epsilon^n(n \in \mathbb{Z}$ ). We show further that there exists a unique unit $\epsilon>1$ of $O_K$ with this property. This unit is called the fundamental unit of $O_K$ (or of $K$ ). In Section 11.6 we show how continued fractions can be used to determine the fundamental unit. In Chapter 13 we prove Dirichlet’s unit theorem, which gives the structure of $U\left(O_K\right)$ for an arbitrary algebraic number field $K$.

To illustrate some of the ideas that will be involved, we begin by determining
$$
U\left(O_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})}\right)=U(\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{2}) .
$$
Theorem 11.1.1 All the units of $\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{2}$ are given by $\pm(1+\sqrt{2})^n(n \in \mathbb{Z})$, so that
$$
U(\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{2}) \simeq \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Equation $x^2-m y^2=1$

In this section we show that there exist integers $x$ and $y$ with $(x, y) \neq( \pm 1,0)$ such that $x^2-m y^2=1$, where $m$ is a positive integer that is not a perfect square. This result tells us that
$$
x+y \sqrt{m}(\neq \pm 1) \in U\left(O_K\right),
$$
where $K=\mathbb{Q}(\sqrt{m})$.
Euler (1707-1783) attributed to the English mathematician John Pell (16111685) a method of solving the equation $x^2-m y^2=1$ in integers $x$ and $y$. Thus the equation has become known as the Pell equation. However, this method had been found by another English mathematician, William Brouncker (1620-1684), in a series of letters (1657-1658) to Pierre Fermat (1601-1665). Lagrange (17361813) was the first mathematician to prove that the equation $x^2-m y^2=1$ has infinitely many solutions in integers $x$ and $y$.
Theorem 11.2.1 Let $m$ be a positive integer that is not a perfect square. Then there exist integers $x$ and $y$ with $(x, y) \neq( \pm 1,0)$ such that
$$
x^2-m y^2=1 .
$$
Proof: Let $N$ be a positive integer. We show first that there exist integers $x$ and $y$ such that
$$
0<|x-y \sqrt{m}|<\frac{1}{N}, 0<y \leq N .
$$
We divide the interval $0<x \leq 1$ into $N$ subintervals $r / N<x \leq(r+1) / N, r=$ $0,1, \ldots, N-1$, each of the same length $1 / N$. For $i=0,1, \ldots, N$ we define the integers $x_i$ and $y_i$ by
$$
x_i=[i \sqrt{m}]+1, y_i=i .
$$
Now
$$
[i \sqrt{m}] \leq i \sqrt{m}<[i \sqrt{m}]+1
$$
so that
$$
x_i-1 \leq y_i \sqrt{m}<x_i ;
$$
that is,
$$
0<x_i-y_i \sqrt{m} \leq 1, i=0,1, \ldots, N
$$

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Units of $\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{2}$

在定理5.4.3中，我们确定了虚二次域$K$的单位群$U\left(O_K\right)$。本章的目的是确定任意实数二次域$K$的单位群$U\left(O_K\right)$的结构。我们证明了
$$
U\left(O_K\right) \simeq \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}
$$
(参见定理11.5.1和11.5.2)。这是通过显示$O_K$中存在一个单位$\epsilon$来实现的，其中每个单位的形式都是$\pm \epsilon^n(n \in \mathbb{Z}$)。我们进一步证明了存在一个具有此性质的唯一单位$\epsilon>1$$O_K$。这个单位被称为$O_K$(或$K$)的基本单位。在第11.6节中，我们将展示如何使用连分式来确定基本单位。第13章证明了Dirichlet单位定理，给出了任意代数数域$K$的$U\left(O_K\right)$的结构。

为了说明将涉及到的一些概念，我们从确定开始
$$
U\left(O_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})}\right)=U(\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{2}) .
$$
定理11.1.1 $\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{2}$的所有单位都由$\pm(1+\sqrt{2})^n(n \in \mathbb{Z})$给出，则
$$
U(\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{2}) \simeq \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}
$$

数学代写|数论作业代写number theory代考|The Equation $x^2-m y^2=1$

在本节中，我们将展示存在整数$x$和$y$，其中$(x, y) \neq( \pm 1,0)$包含$x^2-m y^2=1$，其中$m$是一个非完全平方的正整数。这个结果告诉我们
$$
x+y \sqrt{m}(\neq \pm 1) \in U\left(O_K\right),
$$
在哪里$K=\mathbb{Q}(\sqrt{m})$。
欧拉(1707-1783)认为英国数学家约翰·佩尔(16111685)发明了一种以整数形式求解方程$x^2-m y^2=1$$x$和$y$的方法。因此，这个方程被称为佩尔方程。然而，这个方法是由另一位英国数学家威廉·布朗克(William Brouncker, 1620-1684)在给皮埃尔·费马(Pierre Fermat, 1601-1665)的一系列信件(1657-1658)中发现的。拉格朗日(17361813)是第一个证明方程$x^2-m y^2=1$有无穷多个整数$x$和$y$的解的数学家。
定理11.2.1设$m$为非完全平方数的正整数。那么存在整数$x$和$y$，其中$(x, y) \neq( \pm 1,0)$使得
$$
x^2-m y^2=1 .
$$
证明:设$N$为正整数。我们首先证明存在整数$x$和$y$，使得
$$
0<|x-y \sqrt{m}|<\frac{1}{N}, 0<y \leq N .
$$
我们将区间$0<x \leq 1$划分为$N$子区间$r / N<x \leq(r+1) / N, r=$$0,1, \ldots, N-1$，每个子区间长度相同$1 / N$。对于$i=0,1, \ldots, N$我们定义了整数$x_i$和$y_i$ by
$$
x_i=[i \sqrt{m}]+1, y_i=i .
$$
现在
$$
[i \sqrt{m}] \leq i \sqrt{m}<[i \sqrt{m}]+1
$$
如此……以至于……
$$
x_i-1 \leq y_i \sqrt{m}<x_i ;
$$
也就是说，
$$
0<x_i-y_i \sqrt{m} \leq 1, i=0,1, \ldots, N
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。