# 数学代写|数论作业代写number theory代考|MATH393

#### Doug I. Jones

Lorem ipsum dolor sit amet, cons the all tetur adiscing elit

couryes™为您提供可以保分的包课服务

couryes-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写数论number theory方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写数论number theory代写方面经验极为丰富，各种代写数论number theory相关的作业也就用不着说。

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|The Units of $\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{2}$

In Theorem 5.4.3 we determined the unit group $U\left(O_K\right)$ for an imaginary quadratic field $K$. The objective of this chapter is to determine the structure of the unit group $U\left(O_K\right)$ for an arbitrary real quadratic field $K$. We show that
$$U\left(O_K\right) \simeq \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}$$
(see Theorems 11.5.1 and 11.5.2). This is accomplished by showing that there exists a unit $\epsilon$ in $O_K$ such that every unit is of the form $\pm \epsilon^n(n \in \mathbb{Z}$ ). We show further that there exists a unique unit $\epsilon>1$ of $O_K$ with this property. This unit is called the fundamental unit of $O_K$ (or of $K$ ). In Section 11.6 we show how continued fractions can be used to determine the fundamental unit. In Chapter 13 we prove Dirichlet’s unit theorem, which gives the structure of $U\left(O_K\right)$ for an arbitrary algebraic number field $K$.

To illustrate some of the ideas that will be involved, we begin by determining
$$U\left(O_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})}\right)=U(\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{2}) .$$
Theorem 11.1.1 All the units of $\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{2}$ are given by $\pm(1+\sqrt{2})^n(n \in \mathbb{Z})$, so that
$$U(\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{2}) \simeq \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}$$

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|The Equation $x^2-m y^2=1$

In this section we show that there exist integers $x$ and $y$ with $(x, y) \neq( \pm 1,0)$ such that $x^2-m y^2=1$, where $m$ is a positive integer that is not a perfect square. This result tells us that
$$x+y \sqrt{m}(\neq \pm 1) \in U\left(O_K\right),$$
where $K=\mathbb{Q}(\sqrt{m})$.
Euler (1707-1783) attributed to the English mathematician John Pell (16111685) a method of solving the equation $x^2-m y^2=1$ in integers $x$ and $y$. Thus the equation has become known as the Pell equation. However, this method had been found by another English mathematician, William Brouncker (1620-1684), in a series of letters (1657-1658) to Pierre Fermat (1601-1665). Lagrange (17361813) was the first mathematician to prove that the equation $x^2-m y^2=1$ has infinitely many solutions in integers $x$ and $y$.
Theorem 11.2.1 Let $m$ be a positive integer that is not a perfect square. Then there exist integers $x$ and $y$ with $(x, y) \neq( \pm 1,0)$ such that
$$x^2-m y^2=1 .$$
Proof: Let $N$ be a positive integer. We show first that there exist integers $x$ and $y$ such that
$$0<|x-y \sqrt{m}|<\frac{1}{N}, 0<y \leq N .$$
We divide the interval $0<x \leq 1$ into $N$ subintervals $r / N<x \leq(r+1) / N, r=$ $0,1, \ldots, N-1$, each of the same length $1 / N$. For $i=0,1, \ldots, N$ we define the integers $x_i$ and $y_i$ by
$$x_i=[i \sqrt{m}]+1, y_i=i .$$
Now
$$[i \sqrt{m}] \leq i \sqrt{m}<[i \sqrt{m}]+1$$
so that
$$x_i-1 \leq y_i \sqrt{m}<x_i ;$$
that is,
$$0<x_i-y_i \sqrt{m} \leq 1, i=0,1, \ldots, N$$

# 数论作业代写

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|The Units of $\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{2}$

$$U\left(O_K\right) \simeq \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}$$
(参见定理11.5.1和11.5.2)。这是通过显示$O_K$中存在一个单位$\epsilon$来实现的，其中每个单位的形式都是$\pm \epsilon^n(n \in \mathbb{Z}$)。我们进一步证明了存在一个具有此性质的唯一单位$\epsilon>1$$O_K。这个单位被称为O_K(或K)的基本单位。在第11.6节中，我们将展示如何使用连分式来确定基本单位。第13章证明了Dirichlet单位定理，给出了任意代数数域K的U\left(O_K\right)的结构。 为了说明将涉及到的一些概念，我们从确定开始$$ U\left(O_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})}\right)=U(\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{2}) . $$定理11.1.1 \mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{2}的所有单位都由\pm(1+\sqrt{2})^n(n \in \mathbb{Z})给出，则$$ U(\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{2}) \simeq \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z} $$## 数学代写|数论作业代写number theory代考|The Equation x^2-m y^2=1 在本节中，我们将展示存在整数x和y，其中(x, y) \neq( \pm 1,0)包含x^2-m y^2=1，其中m是一个非完全平方的正整数。这个结果告诉我们$$ x+y \sqrt{m}(\neq \pm 1) \in U\left(O_K\right), $$在哪里K=\mathbb{Q}(\sqrt{m})。 欧拉(1707-1783)认为英国数学家约翰·佩尔(16111685)发明了一种以整数形式求解方程x^2-m y^2=1$$x$和$y$的方法。因此，这个方程被称为佩尔方程。然而，这个方法是由另一位英国数学家威廉·布朗克(William Brouncker, 1620-1684)在给皮埃尔·费马(Pierre Fermat, 1601-1665)的一系列信件(1657-1658)中发现的。拉格朗日(17361813)是第一个证明方程$x^2-m y^2=1$有无穷多个整数$x$和$y$的解的数学家。

$$x^2-m y^2=1 .$$

$$0<|x-y \sqrt{m}|<\frac{1}{N}, 0<y \leq N .$$

## 有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

Days
Hours
Minutes
Seconds

# 15% OFF

## On All Tickets

Don’t hesitate and buy tickets today – All tickets are at a special price until 15.08.2021. Hope to see you there :)