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数论是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值函数。数论是对正整数集合的研究。

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数学代写|数论作业代写number theory代考|EXISTENCE OF TRANSCENDENTAL NUMBERS

The first question we need to address about transcendental numbers is whether or not there are any! It is clear that algebraic numbers exist: for a start, all rational numbers are algebraic, and we have also given a few examples of irrational algebraic numbers. However, it is conceivable that every complex number could be a root of a rational polynomial, in which case transcendental numbers would not exist.

Notice, by the way, that we have so far only seen algebraic numbers of degree up to 4 . It is not at all clear that algebraic numbers of arbitrarily high degree exist. If, for example, we were to consider polynomials with real (rather than rational) coefficients, then there would be no irreducible polynomials of degree greater than 2 . The situation in this case would therefore be very simple: all real numbers would be algebraic (over $\mathbb{R}$ ) of degree 1 , and all nonreal complex numbers would be algebraic (over $\mathbb{R}$ ) of degree 2 . Among the complex numbers there would be no algebraic numbers of higher degree, and no transcendental numbers.

The existence of transcendental numbers was first proved by Joseph Liouville, who attempted to show that $e$ is not an algebraic number. He failed in this aim but achieved enough to allow him in 1844 (and again, using different techniques, in 1851) to give specific examples of transcendental numbers. A completely different proof was given three decades later by Georg Cantor: a proof which is perhaps simpler, though, as it does not provide any specific examples of transcendentals, possibly somehow beside the point as far as number theory is concerned. We shall begin with Cantor’s proof.

Cantor proved the existence of transcendental numbers simply by showing that there are, in a sense, more complex numbers than algebraic numbers. Specifically, the set of complex numbers is uncountable – this follows immediately from the uncountability of the reals, proved by Cantor in 1874 – while, as we shall now show, the set of (complex) algebraic numbers is countable.
First, a slightly informal proof. Recall that an algebraic number is, (almost) by definition, a root of a non-zero polynomial with integral coefficients. Define the height of any such polynomial to be the maximum of the absolute values of its coefficients: that is, if $f(z)=a_n z^n+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_1 z+a_0$ with all $a_k$ integers and $a_n \neq 0$, then
$$
H(f)=\max \left(\left|a_n\right|,\left|a_{n-1}\right|, \ldots,\left|a_1\right|,\left|a_0\right|\right) .
$$
The height of any polynomial $f \neq 0$ is a positive integer. Let $m$ be a positive integer and consider all polynomials $f$ with $\operatorname{deg} f+H(f)=m$. Any such polynomial has degree less than $m$ and therefore at most $m$ non-zero coefficients; each of these coefficients is an integer from $-m$ to $m$. Therefore, the number of $f$ satisfying $\operatorname{deg} f+H(f)=m$ is at most $(2 m+1)^m$ and is hence finite. So we can construct a list of all non-zero polynomials over $\mathbb{Z}$ by writing down those with degree plus height equal to 1 , followed by those with degree plus height equal to 2 , and so on. We can now write down all the roots of the first polynomial in our list, followed by all the roots of the second, and so forth; deleting any repetitions in this list, we have listed all (real and complex) algebraic numbers once each. Since the set of algebraic numbers can be arranged in a list it is countable, and therefore cannot include all complex numbers. Thus transcendental numbers exist.

数学代写|数论作业代写number theory代考|APPROXIMATION OF REAL NUMBERS BY RATIONALS

Instead of relying on Cantor’s countability argument we can go back to Liouville’s earlier proofs. These make it possible to explicitly construct transcendental numbers and are therefore, from the number-theoretic point of view, more interesting than Cantor’s proof. They also avoid the intuitionist objections mentioned above – though perhaps not completely so, as they do make use of the Mean Value Theorem from elementary calculus.

Liouville’s methods derive from an investigation of
Joseph Liouville
$(1809-1882)$
the problem of approximating real numbers by rationals. Let $\alpha \in \mathbb{R}$; we wish to ask how closely $\alpha$ can be approximated by rational numbers $p / q$. That is, we want to know how small
$$
\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|
$$
can be made by a suitable choice of the rational $p / q$. Unfortunately, this problem is too easy to be of any interest: as the rationals are dense in $\mathbb{R}$, the difference (3.4), for any $\alpha$, can be made as small as desired by chonsing a large value of $q$ and an appropriate $p$. Specifically, if we want the difference to be smaller than a positive number $\varepsilon$, we choose $q>1 / 2 \varepsilon$ and let $p$ be the closest integer to $q \alpha$. Then
$$
|q \alpha-p| \leq \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| \leq \frac{1}{2 q}<\varepsilon .
$$
This observation, though not very interesting in itself, may suggest a more significant approach, namely, to insist that the closeness of approximation should depend on the denominator of the approximating fraction. In other words, we shall be interested in a fairly weak approximation if it is given by a fraction with very small denominator, whereas if the denominator is large we shall expect the approximation to be exceptionally close. One way to achieve this is to try to solve an inequality such as
$$
\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^2},
$$
where $\alpha$ is a given real number and we seek rational $p / q$. In this case, if we are forced to choose a large value of $q$, we do at least know that the approximation is much closer than we had previously with
$$
\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| \leq \frac{1}{2 q} .
$$

数论作业代写

数学代写|数论作业代写number theory代考|EXISTENCE OF TRANSCENDENTAL NUMBERS

关于超越数，我们需要解决的第一个问题是是否存在超越数！显然代数数是存在的：首先，所有有理数都是代数数，我们也给出了一些无理代数数的例子。然而，可以想象每个复数都可以是有理多项式的根，在这种情况下超越数将不存在。

请注意，到目前为止，我们只看到了 4 次以内的代数数。是否存在任意高次的代数数这一点尚不清楚。例如，如果我们要考虑具有实数（而不是有理数）系数的多项式，那么就不会有次数大于 2 的不可约多项式。因此，这种情况下的情况非常简单：所有实数都是代数的（超过R) 的次数为 1 ，并且所有非实复数都是代数的（超过R) 度 2 。复数中不会有更高次的代数数，也不会有超越数。

超越数的存在首先由 Joseph Liouville 证明，他试图证明和不是代数数。他未能实现这一目标，但取得的成就足以让他在 1844 年（并在 1851 年再次使用不同的技术）给出超越数的具体例子。三十年后，Georg Cantor 给出了一个完全不同的证明：一个可能更简单的证明，因为它没有提供任何超越数的具体例子，就数论而言可能不知何故与重点无关。我们将从 Cantor 的证明开始。

康托尔简单地通过证明在某种意义上存在比代数数更复杂的数来证明超越数的存在。具体来说，复数集是不可数的——这直接由康托尔在 1874 年证明的实数的不可数性得出——而正如我们现在将要证明的那样，（复数）代数数集是可数的。
首先，一个稍微非正式的证明。回想一下，根据定义，代数数（几乎）是具有整数系数的非零多项式的根。将任何此类多项式的高度定义为其系数的绝对值的最大值：也就是说，如果F(和)=一种n和n+一种n−1和n−1+⋯+一种1和+一种0所有一种k整数和一种n≠0， 然后

H(F)=最大限度(|一种n|,|一种n−1|,…,|一种1|,|一种0|).
任何多项式的高度F≠0是一个正整数。让米是一个正整数并考虑所有多项式F和你⁡F+H(F)=米. 任何此类多项式的次数都小于米因此至多米非零系数；这些系数中的每一个都是来自−米到米. 因此，数量F令人满意你⁡F+H(F)=米最多是(2米+1)米因此是有限的。所以我们可以构造一个所有非零多项式的列表从写下度加高度等于 1 的那些，然后是度加高度等于 2 的那些，依此类推。我们现在可以写下列表中第一个多项式的所有根，然后是第二个多项式的所有根，依此类推；删除此列表中的任何重复项，我们列出了所有（实数和复数）代数数各一次。由于代数数集可以排列在列表中，因此它是可数的，因此不能包括所有复数。因此超越数存在。

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我们可以回到 Liouville 的早期证明，而不是依赖 Cantor 的可数性论 证。这些使得显式构造超越数成为可能，因此，从数论的角度来看， 比康托尔的证明更有趣。他们还避免了上面提到的直觉主义者的反对 意见一一㞔管可能不完全如此，因为他们确实利用了初等微积分中的 中值定理。
Liouville 的方法源自对 Joseph Liouville的调查 $(1809-1882)$
用有理数逼近实数的问题。让 $\alpha \in \mathbb{R}$; 我们想问问有多近 $\alpha$ 可以用有理 数来近似 $p / q$. 也就是说，我们想知道有多小
$$
\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|
$$
可以通过合理的理性选择来做出 $p / q$. 不幸的是，这个问题太简单了， 没有人感兴趣: 因为有理数密集 $\mathbb{R}$, 差值 (3.4)，对于任何 $\alpha$ ，可以通过选 择较大的值来尼可能小 $q$ 和一个适当的 $p$. 具体来说，如果我们㳍望差值 小于正数 $\varepsilon$ ，我们选择 $q>1 / 2 \varepsilon$ 然后让 $p$ 是最接近的整数 $q \alpha$. 然后
$$
|q \alpha-p| \leq \frac{1}{2} \Rightarrow\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| \leq \frac{1}{2 q}<\varepsilon .
$$
这个观察本身虽然不是很有趣，但可能暗示了一种更重要的方法，即 坚持近似的接近程度应取决于近似分数的分母。换句话说，如果分母 非常小的分数给出了一个相当弱的近似值，我们将对其感兴趣，而如 果分母很大，我们将期望近似值非常接近。实现这一目标的一种方法 是尝试解决不等式，例如
$$
\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^2},
$$
在哪里 $\alpha$ 是一个给定的实数，我们寻求理性 $p / q$. 在这种情况下，如果 我们被迫选择较大的值 $q$ ，我们至少知道近似值比我们之前用的更接近
$$
\left|\alpha-\frac{p}{q}\right| \leq \frac{1}{2 q}
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。