# 数学代写|数论作业代写number theory代考|Examples of Domains That are Not Euclidean

#### Doug I. Jones

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• Foundations of Data Science 数据科学基础

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Examples of Domains That are Not Euclidean

We begin by giving a class of values of $m$ for which $\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{m}$ is not Euclidean with respect to $\phi_m$.

Theorem 2.3.1 Let $m$ be a positive squarefree integer. If there exist distinct odd primes $p$ and $q$ such that
$$\left(\frac{m}{p}\right)=\left(\frac{m}{q}\right)=-1,$$
and positive integers $t$ and $u$ such that
$$p t+q u=m, p \nmid t, q \nmid u,$$
and an integer $r$ such that
$$r^2 \equiv p t(\bmod m)$$
then $\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{m}$ is not Euclidean with respect to $\phi_m$.
Proof: Suppose that $\mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{m}$ is Euclidean with respect to $\phi_m$. Then there exist $\gamma, \delta \in \mathbb{Z}+\mathbb{Z} \sqrt{m}$ such that
$$r \sqrt{m}=m \gamma+\delta, \phi_m(\delta)<\phi_m(m)$$
Setting $\gamma=x+y \sqrt{m}(x, y \in \mathbb{Z})$ we obtain
$$\phi_m(r \sqrt{m}-m(x+y \sqrt{m}))<\phi_m(m)$$
that is
$$\left|m^2 x^2-m(r-m y)^2\right|<m^2$$
so that
$$\left|m x^2-(m y-r)^2\right|<m$$

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Almost Euclidean Domains

In this section we introduce the concept of an “almost Euclidean domain” and show that such a domain must be a principal ideal domain. In Chapter 3 we show that a principal ideal domain is an almost Euclidean domain (see Theorem 3.3.3). Thus principal ideal domains are domains that are almost Euclidean in a certain sense. We first define an “almost Euclidean function” analogously to that of a Euclidean function (Definition 2.1.1).

Definition 2.4.1 (Almost Euclidean function) Let $D$ be an integral domain. A mapping $\phi: D \rightarrow \mathbb{N} \cup{0}$ is called an almost Euclidean function on $D$ if it has the following properties:
\begin{aligned} & \phi(0)=0, \ & \phi(a)>0 \text {, for all } a \in D \text { with } a \neq 0, \ & \phi(a b) \geq \phi(a) \text {, for all } a, b \in D \text { with } b \neq 0, \ & \text { if } a, b \in D \text { with } b \neq 0 \text { then either } \ & \text { (i) } a=b q \text { for some } q \in D \text { or } \ & \text { (ii) } 0<\phi(a x+b y)<\phi(b) \text { for some } x, y \in D . \end{aligned}
It is clear from Definition 2.1.1 and Theorem 2.1.1(d) that if $\phi$ is a Euclidean function satisfying $\phi(0)=0$ then $\phi$ is an almost Euclidean function.

# 数论作业代写

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Examples of Domains That are Not Euclidean

$$\left(\frac{m}{p}\right)=\left(\frac{m}{q}\right)=-1,$$

$$p t+q u=m, p \nmid t, q \nmid u,$$

$$r^2 \equiv p t(\bmod m)$$

$$r \sqrt{m}=m \gamma+\delta, \phi_m(\delta)<\phi_m(m)$$

$$\phi_m(r \sqrt{m}-m(x+y \sqrt{m}))<\phi_m(m)$$

$$\left|m^2 x^2-m(r-m y)^2\right|<m^2$$

$$\left|m x^2-(m y-r)^2\right|<m$$

## 数学代写|数论作业代写number theory代考|Almost Euclidean Domains

\begin{aligned} & \phi(0)=0, \ & \phi(a)>0 \text {, for all } a \in D \text { with } a \neq 0, \ & \phi(a b) \geq \phi(a) \text {, for all } a, b \in D \text { with } b \neq 0, \ & \text { if } a, b \in D \text { with } b \neq 0 \text { then either } \ & \text { (i) } a=b q \text { for some } q \in D \text { or } \ & \text { (ii) } 0<\phi(a x+b y)<\phi(b) \text { for some } x, y \in D . \end{aligned}

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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