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金融代写|金融模型代写Modelling in finance代考|Curve calibration

The curve calibration is the subject of Chapter 5. In this section we describe a very simple curve calibration to emphasise the difference between pseudo-discount factor curve description and the direct rate curve description of the next section.
A relatively standard way to calibrate the curves $P_X^D$ and $P_X^{C D F, j}$ is to select a set of market instruments for which the market quotes are known and an equal number of node points. An interpolation scheme is selected and the discount factors (or the associated rates) on the node points are calibrated to reproduce the market quotes. The market forward rates $F_X^{\mathrm{CPN}, j}(0, u, u+j)$ can be computed from the forward pseudo-discount factors curve using Formula (3.1). The pseudo-discount factors are calibrated using the formula and the instruments are priced from the pseudo-discount factors using the same formula. Everything is coherent and we could stop here. The big difference with a direct approach is the interpolation. Do you interpolate the pseudo-discount factors or the forward rates?

A typical forward rate curve using the pseudo-discount factors approach is displayed in black in Figure 3.1. The swap data used to calibrate the curve are those proposed in (Andersen and Piterbarg, 2010, Section 6.2) in a one-curve setting. The interpolation scheme is linear on (continuously compounded) rates. For our calibration, the swaps are fixed versus three months Ibor. We use a discounting curve with flat OIS market rates at $4 \%$. The discounting curve is mostly irrelevant for the discussion in this section.

The familiar sawtooth pattern can be seen. There are two angles in the curve for each node point. One when the fixing period end date is on a node and one when the fixing period start date is on the node. One of the reasons for this unpleasant shape is probably that we have an intuition on a market quantity – the forward rate – but model it indirectly through a ratio of discount factors where our intuition is diluted. The graph represents the forward rate, which is of interest to the trader and risk manager, but the data is stored and calibrated using a different mechanism.

金融代写|金融模型代写Modelling in finance代考|Direct forward curves

In this approach we do not need an intermediary function. We work directly with the curve $F_X^{C P N, j}(0, u, v)$, with $u>\operatorname{Spot}(0)$ the variable of this one-dimensional function. This approach, which seems the natural approach in the multi-curve framework, has not been documented until recently and software implementations seems to mostly ignore it.

Note that in this framework, the Ibor discounting is impossible as there is no discount factor associated to the Ibor curves. There is no longer an arbitrary part to the curve. The curve is defined unambiguously (as long as the corresponding market instruments exist) for all $u \geq \operatorname{Spot}(0)$.

Modeling the forward rate by constructing the discount or spot rates is similar to fixing a pair of eyeglasses while wearing gloves. […] Instead, if one models the forward curve directly and embeds all of the desired properties into it, then by construction the spot and discount rates will have the characteristics that the modeler requires.

The advantage of this approach is that the market rates on which we have some intuition are modelled directly. In some senses, and borrowing a well known name, it could be called the Libor Market Model of forward curve description – not of curve dynamic as its namesake.

There is no longer a requirement for an arbitrary part like in Definition $3.1$ of the pseudo-discount factor approach. The interpolation and constraints can be imposed directly on the market quantities. In Figure 3.1, the forward rate using the same data as the previous approach and the same linear interpolation scheme, but with the interpolation directly on the forward rate, is presented in dotted line.
It is to each market maker or risk manager to decide which one he prefers. With the reported data, the forward rates display less sawtooth effect with the direct forward rate approach. With some other market rates, the picture may be different. In Table $3.1$ we give the figures of the maximum variation of the three months rates three months apart. It is expected that the view of three months rates at some distant time in the future will not change too widely for relatively small differences in dates. Larger variations may indicate a problem with the way we estimate forward curves.

The three month period was chosen as this is the problematic period artificially introduced by the specific form of Definition 3.1. As can be seen from the numbers,the interpolation on pseudo-discount factors introduces a significantly larger variation. The figures using the linear interpolation on the direct forward rate are not very different from the cubic spline interpolation on the pseudo-discount factors.
In Figure 3.2, we did the same comparison as in the previous figure, this time using a smoother interpolation mechanism. The interpolation scheme is natural cubic spline.

金融模型代写

金融代写|金融模型代写在金融建模代考|曲线校准

曲线校准是第五章的主题。在本节中，我们将描述一个非常简单的曲线校准，以强调伪折现因子曲线描述与下一节的直接利率曲线描述之间的区别。校准曲线$P_X^D$和$P_X^{C D F, j}$的一个相对标准的方法是选择一组已知市场报价的市场工具和等量的节点。选择插值方案，并对节点上的贴现因子(或相关的利率)进行校准，以再现市场报价。市场远期利率$F_X^{\mathrm{CPN}, j}(0, u, u+j)$可由远期伪贴现因子曲线由式(3.1)计算得到。使用该公式校准伪贴现因子，并使用相同的公式根据伪贴现因子对仪器进行定价。一切都是连贯的，我们可以到此为止。与直接方法的最大区别是插值。你是插值伪折现因子还是远期利率?

使用伪折现因子方法的典型远期利率曲线如图3.1中黑色部分所示。用于校准曲线的互换数据是在单曲线设置(Andersen和Piterbarg, 2010，第6.2节)中提出的。插值方案是线性的(连续复合)速率。在我们的校准中，互换是固定的，相对于三个月的Ibor。我们使用的折现曲线上的OIS市场利率为$4 \%$。折现曲线与本节的讨论基本无关

我们可以看到熟悉的锯齿状图案。曲线上每个节点都有两个角。一个是固定周期结束日期在节点上，一个是固定周期开始日期在节点上。造成这种令人不快的形状的原因之一，可能是我们对一个市场数量——远期汇率——有一种直觉，但通过折现因子比率间接建模，我们的直觉被稀释了。该图表表示远期利率，这是交易者和风险经理感兴趣的，但数据是使用不同的机制存储和校准的

金融代写|金融模型代写在金融建模代考|直接正向曲线

在这种方法中，我们不需要中间函数。我们直接处理曲线$F_X^{C P N, j}(0, u, v)$, $u>\operatorname{Spot}(0)$是这个一维函数的变量。这种方法在多曲线框架中似乎是很自然的方法，但直到最近才被记录下来，软件实现似乎大部分都忽略了它

注意，在这个框架中，Ibor折现是不可能的，因为没有与Ibor曲线相关的折现因子。曲线上不再有任意的部分。对于所有$u \geq \operatorname{Spot}(0)$，曲线的定义是明确的(只要存在相应的市场工具)。

通过构建贴现率或即期汇率来建模远期汇率类似于戴着手套戴着眼镜。相反，如果一个人直接对远期曲线建模，并将所有所需的属性嵌入其中，那么通过构建现货和贴现率将具有建模者所需的特征

这种方法的优点是，我们有一些直觉的市场利率是直接建模的。从某种意义上说，借用一个众所周知的名字，它可以被称为远期曲线描述的Libor市场模型——而不是像它的名字那样称为曲线动态模型

不再需要伪贴现因子方法的定义$3.1$中那样的任意部分。插值和约束可以直接施加到市场数量上。在图3.1中，使用与前面方法相同的数据和相同的线性插值方案，但直接插补在转发速率上的转发速率用虚线表示。每个做市商或风险经理都可以决定自己喜欢哪一个。在报告的数据中，转发速率与直接转发速率方法相比显示出较少的锯齿效应。如果是其他一些市场利率，情况可能会有所不同。在表$3.1$中，我们给出了三个月费率的最大变动数字。由于日期的差别相对较小，预计在将来某个遥远的时候对三个月利率的看法不会有太大的改变。较大的变化可能表明我们估计正向曲线的方法有问题

之所以选择三个月的时间段，是因为这是定义3.1的具体形式人为引入的问题期。从数字中可以看出，伪折现因子的插值引入了明显更大的变化。直接正向速率的线性插值图与伪折现因子的三次样条插值图差别不大。在图3.2中，我们进行了与上一图相同的比较，这次使用了更平滑的插值机制。插值方案为自然三次样条。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。