数学代写|数理逻辑代写Mathematical logic代考|MHF5306

2023年1月6日

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数学代写|数理逻辑代写Mathematical logic代考|Satisfiability of Consistent Sets of Formulas

In this section we no longer assume that $S$ is countable. In Section 2 the set $\Phi$ we started with was consistent and free $(\Phi)$ was finite. We extended $\Phi$ to a consistent set containing witnesses by adding a formula $\left(\exists x \varphi \rightarrow \varphi \frac{y}{x}\right)$ with a “new” variable $y$ for each formula of the form $\exists x \varphi$. If $\Phi$ is uncountable, we run out of variables. We solve this problem by adding constants to the symbol set which will take over the role of the variables. The claims corresponding to Lemma $2.1$ and Lemma $2.2$ are:
3.1 Lemma. Assume $\Phi \subseteq L^S$ with $\operatorname{Con}S \Phi$. Then there is an $S^{\prime} \supseteq S$ and a set $\Psi$ such that $\Phi \subseteq \Psi \subseteq L^{S^{\prime}}$ and $\operatorname{Con}{S^{\prime}} \Psi$, and $\Psi$ contains witnesses with respect to $S^{\prime}$

(that is, for every formula of the form $\exists x \varphi \in L^{S^{\prime}}$ there is a term $t \in T^{S^{\prime}}$ such that $\left.\Psi \vdash\left(\exists x \varphi \rightarrow \varphi \frac{t}{x}\right)\right)$.
3.2 Lemma. Assume $\Psi \subseteq L^S$ with $\operatorname{Con}_S \Psi$. Then there is a set $\Theta$ such that $\Psi \subseteq$ $\Theta \subseteq L^S$ and $\Theta$ is consistent and negation complete with respect to $S$.

As we obtained Corollary $2.3$ from Lemma $2.1$ and Lemma 2.2, we likewise have from Lemma $3.1$ and Lemma 3.2:
3.3 Corollary. If $\Phi \subseteq L^S$ and $\Phi$ is consistent, then $\Phi$ is satisfiable. $\dashv$ The following argument will lead to a proof of Lemma 3.1.
Let $S$ be an arbitrary symbol set. Associate with every $\varphi \in L^S$ a constant $c_{\varphi}$ which is not in $S$. For $\varphi \neq \psi$ let $c_{\varphi} \neq c_\psi$. We set
$$S^*:=S \cup\left{c_{\exists x \varphi} \mid \exists x \varphi \in L^S\right}$$
and
$$W(S):=\left{\left(\exists x \varphi \rightarrow \varphi \frac{c^{\exists} x \varphi}{x}\right) \mid \exists x \varphi \in L^S\right} .$$

数学代写|数理逻辑代写Mathematical logic代考|The Completeness Theorem

As already mentioned in the introduction of this chapter, we can obtain the completeness of the sequent calculus from Theorem $2.4$ (for at most countable $S$ ) and from Corollary $3.3$ (for arbitrary $S$ ):
4.1 Completeness Theorem. For $\Phi \subseteq L^S$ and $\varphi \in L^S$ :
$$\text { If } \Phi \models \varphi \text { then } \Phi \vdash_S \varphi \text {. }$$
From it, together with the Theorem on Correctness IV.6.2, we have:
For $\Phi \subseteq L^S$ and $\varphi \in L^S, \quad \Phi \models \varphi \quad$ iff $\quad \Phi \vdash_S \varphi$,
and from Corollary $3.3$ and Lemma IV.7.5 we obtain:
For $\Phi \subseteq L^S$, Sat $\Phi$ iff $\operatorname{Con}_S \Phi$.
In Section III. 4 we saw that the concepts of consequence and satisfiability are actually independent of the particular choice of $S$. It follows from the results above that the concepts of derivability and consistency are also independent of $S$ (cf. the footnote on page 69). Thus we can simply write “৮” and “Con”, omitting the subscript.
4.2 Theorem on the Adequacy of the Sequent Calculus.
(a) $\Phi \models \varphi \quad$ iff $\quad \Phi \vdash \varphi$
(b) Sat $\Phi$ iff Con $\Phi$.
Historical Note. The program of setting up a calculus of reasoning was first formulated and pursued by Leibniz, although traces of it may be found in the works of earlier philosophers (e.g., Aristotle and Llull ${ }^2$ ). At the beginning of last century, Russell and Whitehead developed a calculus, and within it, gave formal proofs for a large number of mathematical theorems. In 1928, Gödel [13] proved the Completeness Theorem. The method of proof used in this section is due to Henkin [15].

数理逻辑代写

数学代写|数理逻辑代写Mathematical logic代考|Satisfiability of Consistent Sets of Formulas

3.1引理。认为 $\Phi \subseteq L^S$ 和 $\operatorname{Con} S \Phi$. 然后有一个
$S^{\prime} \supseteq S$ 和一套 $\Psi$ 这样 $\Phi \subseteq \Psi \subseteq L^{S^{\prime}}$ 和Con $S^{\prime} \Psi$ ， 和 $\Psi$ 包含关于以下方面的证人 $S^{\prime}$
(也就是说，对于形式的每个公式 $\exists x \varphi \in L^{S^{\prime}}$ 有一个术 语 $t \in T^{S^{\prime}}$ 这样 $\left.\Psi \vdash\left(\exists x \varphi \rightarrow \varphi \frac{t}{x}\right)\right)$.
$3.2$ 引理。认为 $\Psi \subseteq L^S$ 和 $\operatorname{Con}S \Psi$. 然后有一套 $\Theta$ 这样 $\Psi \subseteq \Theta \subseteq L^S$ 和 $\Theta$ 是一致的并且否定完全关于 $S$. 当我们得到推论 $2.3$ 来自引理 $2.1$ 和引理 $2.2$ ，我们同样 从引理3.1引理 3.2: $3.3$ 推论。如果 $\Phi \subseteq L^S$ 和 $\Phi$ 是一致的，那么 $\Phi$ 是可满足 的。 让 $S$ 是一个任意的符号集。与每一个相关联 $\varphi \in L^S$ 常数 $c{\varphi}$ 哪个不在 $S$. 为了 $\varphi \neq \psi$ 让 $c_{\varphi} \neq c_\psi$. 我们设置

数学代写|数理逻辑代写Mathematical logic代考|The Completeness Theorem

$4.1$ 完备性定理。为了 $\Phi \subseteq L^S$ 和 $\varphi \in L^S$ :
If $\Phi \models \varphi$ then $\Phi \vdash_S \varphi$.

$4.2$ 相继演算的充分性定理。
(一种) $\Phi \models \varphi$ 当且仅当 $\Phi \vdash \varphi$
(b) 星期六 $\Phi$ 当即论证 $\Phi$.

有限元方法代写

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MATLAB代写

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