## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|MATH307

2023年2月2日

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## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Vector Spaces: Linear Maps

In this and the subsequent section we shall recall some results from Linear Algebra which we assume are well known to the reader. For this reason statements will not be proved.

Let $V$ denote a vector space, i.e. a set equipped with an operation, called sum and denoted by $+$, and an operation called scalar multiplication, sometimes denoted by $\cdot$, so that the following axioms holds (with $x, y \in V, \lambda, \mu \in \mathbb{R}$ ):
the sum is associative and commutative;
there exists a unique element in $V$, called neutral element 0 , such that $x+0=x$, for any $x \in V$;
for any $x \in V$ there exists a unique element, called opposite to $x$ and written $-x$, such that $x+(-x)=0$;
$$\begin{array}{ll} (\lambda+\mu) x=\lambda x+\mu x, & (\lambda \mu) x=\lambda(\mu x) ; \ \lambda(x+y)=\lambda x+\lambda y ; & \ 0 \cdot x=0, & 1 \cdot x=x . \end{array}$$

A linear combination of elements $x_1, x_2, \ldots, x_k$ in a vector space $V$ is a vector of the form
$$\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2+\ldots+\lambda_k x_k,$$
where $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k$ are real numbers called the linear combination’s coefficients. The vectors $x_1, x_2, \ldots, x_k$ are said to be linearly dependent when there exists a linear combination with coefficients $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k$, not all zero, that equals the zero vector, i.e.
$$\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2+\ldots+\lambda_k x_k=0 .$$

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|The Vector Space Rn and Its Dual

The definition of the vector space $\mathbb{R}^n$, well known to readers, was recalled in the previous section’s Example 1. Apart from the sum of elements of $\mathbb{R}^n$ and the product of a real number and an element of $\mathbb{R}^n$, it is important to introduce here the standard scalar (or inner) product of elements $x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ and $y=\left(y_1, y_2, \ldots, y_n\right)$ in $\mathbb{R}^n$. It is denoted by $(x, y)$ and defined by
$$(x, y)=\sum_{i=1}^n x_i y_i .$$
The scalar product satisfies the following properties (for $x, y, z \in \mathbb{R}^n$ and $\lambda \in \mathbb{R}$ ):
\begin{aligned} & (x, y)=(y, x) ; \ & (x+y, z)=(x, z)+(y, z) ; \ & \lambda(x, y)=(\lambda x, y) ; \ & (x, x) \geq 0 ; \ & (x, x)=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=0 . \end{aligned}
We call modulus, or (Euclidean) norm, of a vector $x \in \mathbb{R}^n$ the quantity
$$|x|=(x, x)^{1 / 2}=\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1 / 2} .$$
In this notation the Cauchy-Schwarz inequality in (2.13) reads
$$|(x, y)| \leq|x| \cdot|y|, \quad \forall x, y \in \mathbb{R}^n .$$

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Vector Spaces: Linear Maps

$$(\lambda+\mu) x=\lambda x+\mu x, \quad(\lambda \mu) x=\lambda(\mu x) ; \lambda(x+y)$$

$$\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2+\ldots+\lambda_k x_k,$$

$$\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2+\ldots+\lambda_k x_k=0$$

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|The Vector Space Rn and Its Dual

$$(x, y)=\sum_{i=1}^n x_i y_i$$

$$(x, y)=(y, x) ; \quad(x+y, z)=(x, z)+(y, z)$$

$$|x|=(x, x)^{1 / 2}=\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1 / 2}$$

$$|(x, y)| \leq|x| \cdot|y|, \quad \forall x, y \in \mathbb{R}^n$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。