# 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|MATH2060

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Normed Vector Spaces

A norm on a vector space $V$ is a function that assigns to every vector $x \in V$ a real number $|x| \geq 0$ and satisfies the following conditions
$$\begin{array}{ll} |x|=0 \quad \text { if and only if } x=0, & \forall x \in V ; \ |\lambda x|=|\lambda| \cdot|x|, & \forall \lambda \in \mathbb{R}, \quad \forall x \in V ; \ |x+y| \leq|x|+|y|, & \forall x, y \in V . \end{array}$$
Relationship (2.38) is called triangle inequality. When $|\cdot|$ is a norm on $V$, one says $V$ is a normed (vector) space. Sometimes, to remind us of the vector space on which we are operating, the notation $|\cdot|_V$ is used for the norm of $V$.

The simplest instance of a normed vector space is the set of real numbers equipped with the norm given by the absolute value.
Any norm on a vector space $V$ defines a special metric on $V$. Precisely, if $\left|_{\cdot}\right|_V$ is a norm on the vector space $V$, setting
$$d(x, y)=|x-y|, \quad \forall x, y \in V,$$
defines a distance on $V$.
Furthermore, the distance $d$ of (2.39) enjoys the following properties:
$$d(x+z, y+z)=d(x, y), \quad \forall x, y, z \in V,$$
( $d$ is translation-invariant), and
$$d(\lambda x, \lambda y)=|\lambda| \cdot d(x, y), \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall x, y \in V .$$

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|The Normed Vector Space Rn

The Euclidean norm of an element $x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right)$ of $\mathbb{R}^n$, also called just norm or modulus of $x$, is defined by
$$|x|=\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1 / 2} .$$
We recall that, using the symbols for distances on metric spaces, in Sect. $2.2$ the Euclidean norm $|x|$ of $x$ was written $d_n(x, 0)$, which is the Euclidean distance of the point $x$ to 0 in $\mathbb{R}^n$.

More generally, for any $p \in[1,+\infty)$ we define the function $|\cdot|_p: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ (which we shall prove is a norm on $\mathbb{R}^n$ )
$$|x|_p=\left(\sum_{i=1}^n\left|x_i\right|^p\right)^{1 / p} .$$
So we have, in particular, $|x|_p=|x|$ when $p=2$. Now let us define, for $p=+\infty$,
$$|x|_{\infty}=\max \left{\left|x_i\right| ; i=1,2, \ldots, n\right} .$$
Figure $2.2$ shows the open balls in the plane centred at the origin with respect to some of the norms introduced.

One reason for the symbol $|\cdot|_{\infty}$ in (2.43) is given by the property stated in Proposition 1.

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|Normed Vector Spaces

$|x|=0 \quad$ if and only if $x=0, \quad \forall x \in V ;|\lambda x|=|\lambda|$

$$d(x, y)=|x-y|, \quad \forall x, y \in V,$$

$$d(x+z, y+z)=d(x, y), \quad \forall x, y, z \in V,$$
( $d$ 是平移不变的），并且
$$d(\lambda x, \lambda y)=|\lambda| \cdot d(x, y), \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}, \forall x, y \in V$$

## 数学代写|数学分析代写Mathematical Analysis代考|The Normed Vector Space Rn

$$|x|=\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{1 / 2} .$$

## 有限元方法代写

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