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金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|Abel theorem and series summation

We present here an important theorem, due to $\mathrm{Abel}^8$, which explains the behaviour of a given power series, with positive radius of convergence, at the boundary of the interval of convergence. In the previous Examples $2.39$ and $2.40$, we observed different behaviours at the boundary of the convergence interval: they can be explained by Abel Theorem 2.57, for the proof of which we refer to [9].

Theorem 2.57 (Abel). Denote by $f(x)$ the sum of the power series (2.16), in which we assume that the radius of convergence is $r>0$. Assume further that the numerical series $\sum_{n=0}^{\infty} r^n a_n$ converges. Then:
$$
\lim {x \rightarrow r^{-}} f(x)=\sum{n=0}^{\infty} a_n r^n
$$ Proof. The generality of the proof is not affected by the choice $r=1$, as different radii can be achieved with a straightforward change of variable. Let:
$$
s_n=\sum_{m=0}^{n-1} a_m
$$
then:
$$
s=\lim {n \rightarrow \infty} s_n=\sum{n-0}^{\infty} a_n .
$$
Now, observe that $a_0=s_1$ and $a_n=s_{n+1}-s_n$ for any $n \in \mathbb{N}$. If $|x|<1$, then 1 is the radius of convergence of the power series:
$$
\sum_{n=0}^{\infty} s_{n+1} x^n .
$$
To show it, notice that:
$$
\lim {n \rightarrow \infty}\left|\frac{s{n+2}}{s_{n+1}}\right|=\lim {n \rightarrow \infty}\left|\frac{a{n+1}+s_{n+1}}{s_{n+1}}\right|=1 .
$$
When $|x|<1$, series (2.57) can be multiplied by $1-x$, yielding:
$$
\begin{aligned}
(1-x) \sum_{n=0}^{\infty} s_{n+1} x^n &=\sum_{n=0}^{\infty} s_{n+1} x^n-\sum_{n=0}^{\infty} s_{n+1} x^{n+1} \
&=\sum_{n=0}^{\infty} s_{n+1} x^n-\sum_{n=1}^{\infty} s_n x^n \
&=s_1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(s_{n+1}-s_n\right) x^n \
&=a_0+\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n=f(x)
\end{aligned}
$$

金融代写|金融数值计算代写Market Risk, Numerical Analysis for Finance代考|Basel problem

One of the most celebrated problems in Classical Analysis is the Basel Problem, which consists in determining the exact value of the infinite series:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} .
$$
Mengoli $^{10}$ originally posed, in 1644 , this problem that takes its name from Basel, birthplace of Euler ${ }^{11}$ who first provided the correct solution $\frac{\pi^2}{6}$ in [19]. There exist several solutions of the Basel problem; here we present the solution of Choe [11], based on the power series expansion of $f(x)=\arcsin x$, shown in Formula (2.48), as well as on the Abel Theorem $2.57$ and on the following integral Formula (2.67), which can be proved by induction on $m \in \mathbb{N}$ :
$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2 m+1} t \mathrm{~d} t=\frac{(2 m) ! !}{(2 m+1) ! !} .
$$
The first step towards solving the Basel problem is to observe that, in the sum (2.66), the attention can be confined to odd indexes only. Namely, if $E$ denotes the sum of the series (2.66), then $E$ can be computed by considering, separately, the sums on even and odd indexes:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n)^2}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^2}=E .
$$
On the other hand:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n)^2}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4 n^2}=\frac{E}{4},
$$
yielding:
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^2}=\frac{3}{4} E .
$$
Now, observe that $E=\frac{\pi^2}{6} \Longleftrightarrow \frac{3}{4} E=\frac{\pi^2}{8}$. In other words, the Basel problem is equivalent to show that:
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^2}=\frac{\pi^2}{8},
$$
whose proof can be found in [11].

金融数值计算代写

金融代写|金融数值计算代写市场风险，金融数值分析代考|阿贝尔定理和级数求和

我们在这里提出一个重要的定理，由于$\mathrm{Abel}^8$，它解释了一个给定的幂级数的行为，具有正收敛半径，在收敛区间的边界。在前面的例子$2.39$和$2.40$中，我们观察到在收敛区间边界处的不同行为:它们可以用阿贝尔定理2.57来解释，为了证明该定理，我们参考[9]. . . . . . . . . . .

定理2.57 (Abel)。用$f(x)$表示幂级数(2.16)的和，其中我们假设收敛半径为$r>0$。进一步假设数值级数$\sum_{n=0}^{\infty} r^n a_n$收敛。则:
$$
\lim {x \rightarrow r^{-}} f(x)=\sum{n=0}^{\infty} a_n r^n
$$证明。证明的通用性不受选择$r=1$的影响，因为可以通过直接改变变量来获得不同的半径。让:
$$
s_n=\sum_{m=0}^{n-1} a_m
$$
那么:
$$
s=\lim {n \rightarrow \infty} s_n=\sum{n-0}^{\infty} a_n .
$$
现在，观察$a_0=s_1$和$a_n=s_{n+1}-s_n$对于任何$n \in \mathbb{N}$。如果$|x|<1$，那么1是幂级数的收敛半径:
$$
\sum_{n=0}^{\infty} s_{n+1} x^n .
$$
要表示它，请注意:
$$
\lim {n \rightarrow \infty}\left|\frac{s{n+2}}{s_{n+1}}\right|=\lim {n \rightarrow \infty}\left|\frac{a{n+1}+s_{n+1}}{s_{n+1}}\right|=1 .
$$
当$|x|<1$，级数(2.57)可以乘以$1-x$，得到:
$$
\begin{aligned}
(1-x) \sum_{n=0}^{\infty} s_{n+1} x^n &=\sum_{n=0}^{\infty} s_{n+1} x^n-\sum_{n=0}^{\infty} s_{n+1} x^{n+1} \
&=\sum_{n=0}^{\infty} s_{n+1} x^n-\sum_{n=1}^{\infty} s_n x^n \
&=s_1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(s_{n+1}-s_n\right) x^n \
&=a_0+\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n=f(x)
\end{aligned}
$$

金融代写|金融数值计算代写市场风险，金融数值分析代考|巴塞尔问题

经典分析中最著名的问题之一是巴塞尔问题，它包括确定无限级数的确切值:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} .
$$
梦丽 $^{10}$ 这个问题最初是在1644年提出的，得名于巴塞尔，欧拉的出生地 ${ }^{11}$ 谁首先提供了正确的解决方案 $\frac{\pi^2}{6}$ 在[19]中。巴塞尔问题有几种解决方案;的幂级数展开给出了Choe[11]的解 $f(x)=\arcsin x$，如式(2.48)所示，以及阿贝尔定理 $2.57$ 下式(2.67)，可由归纳法证明 $m \in \mathbb{N}$ :
$$
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2 m+1} t \mathrm{~d} t=\frac{(2 m) ! !}{(2 m+1) ! !} .
$$解决巴塞尔问题的第一步是注意到，在和(2.66)中，注意力只能局限于奇数指标。即，如果 $E$ 表示级数(2.66)的和，则 $E$ 可以分别考虑偶数和奇数索引上的和来计算:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n)^2}+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^2}=E .
$$
:
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n)^2}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4 n^2}=\frac{E}{4},
$$
屈服:
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^2}=\frac{3}{4} E .
$$现在，注意看 $E=\frac{\pi^2}{6} \Longleftrightarrow \frac{3}{4} E=\frac{\pi^2}{8}$。换句话说，巴塞尔问题相当于表明:
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^2}=\frac{\pi^2}{8},
$$
，其证明可在[11]中找到。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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