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• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

管理科学代写|决策论代写Management Science Models for Decision Making代考|Convex and Concave Functions

A real-valued function $g(y)$ defined over some convex subset $\Gamma \subset R^n$ ( $\Gamma$ may be $R^n$ itself) is said to be a convex function if
$$
g\left(\alpha y^1+(1-\alpha) y^2\right) \leq \alpha g\left(y^1\right)+(1-\alpha) g\left(y^2\right)
$$
for all $y^1, y^2 \in \Gamma$, and $0 \leq \alpha \leq 1$. This inequality defining a convex function is called Jensen’s inequality after the Danish mathematician who introduced it.

To interpret Jensen’s inequality geometrically, introduce an $(n+1)$ th axis for plotting the function value. So points in this space $R^{n+1}$ are $\left(y, y_{n+1}\right)^T$, where on the $y_{n+1}$ th axis we plot the function value $g(y)$ to get a geometric representation of the function.

The set of all points $\left{(y, g(y))^T: y \in \Gamma\right}$ in this space $R^{n+1}$ is a surface, which is the surface or graph of the function $g(y)$.

The line segment $\left{\left(\alpha y^1+(1-\alpha) y^2, \alpha g\left(y^1\right)+(1-\alpha) g\left(y^2\right)\right)^T: 0 \leq \alpha \leq 1\right}$ joining the two points $\left(y^1, g\left(y^1\right)\right)^T,\left(y^2, g\left(y^2\right)\right)^T$ on the graph of the function is called the chord of the function between the points $y^1, y^2$ or on the one-dimensional line interval joining $y^1$ and $y^2$. If we plot the function curve and the chord on the line segment $\left{\alpha y^1+(1-\alpha) y^2: 0 \leq \alpha \leq 1\right}$, then Jensen’s inequality requires that the function curve lie beneath the chord. See Fig. $2.1$ where the function curve and a chord are shown for a function $\theta(\lambda)$ of one variable $\lambda$.

The real-valued function $h(y)$ defined on a convex subset $\Gamma \subset R^n$ is said to be a concave function if $-h(y)$ is a convex function, that is, if
$$
h\left(\alpha y^1+(1-\alpha) y^2\right) \geq \alpha h\left(y^1\right)+(1-\alpha) h\left(y^2\right)
$$
for all $y^1, y^2 \in \Gamma$ and $0 \leq \alpha \leq 1$; see Fig. 2.2. For a concave function $h(y)$, the function curve always lies above every chord.

管理科学代写|决策论代写Management Science Models for Decision Making代考|Piecewise Linear (PL) Functions

Definition: Piecewise Linear (PL) Functions: Considering real-valued continuous functions $f(x)$ defined over $R^n$, these are nonlinear functions that may not satisfy the linearity assumptions over the whole space $R^n$, but there is a partition of $R^n$ into convex polyhedral regions, say $R^n=K_1 \cup K_2 \cup \ldots \cup K_r$ such that $f(x)$ is an affine function within each of these regions individually, that is, for each $1 \leq t \leq r$
there exist constants $c_0^t, c^t=\left(c_1^t, \ldots, c_n^t\right)$ such that $f(x)=f_t(x)=c_0^t+c^t x$ for all $x \in K_t$, and for every $S \subset{1, \ldots, r}$, and at every point $x \in \cap_{t \in S} K_t$, the different functions $f_t(x)$ for all $t \in S$ have the same value.

Now we give some examples of continuous PL functions defined over $R^1$. Denote the variable by $\lambda$.

Each convex polyhedral subset of $R^1$ is an interval; so a partition of $R^1$ into convex polyhedral subsets expresses it as a union of intervals: $\left[-\infty, \lambda_1\right]={\lambda: \lambda \leq$ $\left.\lambda_1\right},\left[\lambda_1, \lambda_2\right]=\left{\lambda: \lambda_1 \leq \lambda \leq \lambda_2\right}, \ldots,\left[\lambda_{r-1}, \lambda_r\right],\left[\lambda_r, \infty\right]$, where $\lambda_1, \ldots, \lambda_r$ are the boundary points of the various intervals, usually called the breakpoints in this partition.

The function $\theta(\lambda)$ is a PL function if there exists a partition of $R^1$ like this such that inside each interval of this partition the slope of $\theta(\lambda)$ is a constant, and its value at each breakpoint agrees with the limits of $\theta(\lambda)$ as $\lambda$ approaches this breakpoint from the left, or right; that is, it should be of the form tabulated below:

Notice that the PI function $\theta(\lambda)$ defined in the table above is continuous, and at ēāch of thẻ breảkpooints $\bar{\lambda} \in\left{\lambda_1 \ldots . \lambda_r\right}$ wẻ vërify thả
$$
\lim {\epsilon \rightarrow 0^{-}} \theta(\bar{\lambda}+\epsilon)=\lim {\epsilon \rightarrow 0^{+}} \theta(\bar{\lambda}+\epsilon)=\theta(\bar{\lambda}) .
$$
Here are numerical examples of continuous PL functions:
Example 2.1.

决策论代写

管理科学代写|决策论代写管理科学决策模型代考|凸函数和凹函数

一个在凸子集$\Gamma \subset R^n$ ($\Gamma$可能是$R^n$本身)上定义的实值函数$g(y)$，如果对于所有$y^1, y^2 \in \Gamma$和$0 \leq \alpha \leq 1$
$$
g\left(\alpha y^1+(1-\alpha) y^2\right) \leq \alpha g\left(y^1\right)+(1-\alpha) g\left(y^2\right)
$$
，则称其为凸函数。这个定义凸函数的不等式被称为延森不等式，以引入它的丹麦数学家的名字命名

为了从几何上解释Jensen不等式，引入第$(n+1)$轴来绘制函数值。因此，空间$R^{n+1}$中的点是$\left(y, y_{n+1}\right)^T$，在$y_{n+1}$的第th轴上我们绘制函数值$g(y)$，以得到函数的几何表示。

空间$R^{n+1}$中所有点$\left{(y, g(y))^T: y \in \Gamma\right}$的集合是一个曲面，它是函数$g(y)$的曲面或图 函数图上连接两点$\left(y^1, g\left(y^1\right)\right)^T,\left(y^2, g\left(y^2\right)\right)^T$的线段$\left{\left(\alpha y^1+(1-\alpha) y^2, \alpha g\left(y^1\right)+(1-\alpha) g\left(y^2\right)\right)^T: 0 \leq \alpha \leq 1\right}$称为函数在两点$y^1, y^2$之间的弦，或在连接$y^1$和$y^2$的一维线区间上的弦。如果我们在线段$\left{\alpha y^1+(1-\alpha) y^2: 0 \leq \alpha \leq 1\right}$上画出函数曲线和弦，那么詹森不等式要求函数曲线位于弦的下方。参见图$2.1$，图中显示了单变量$\lambda$的函数$\theta(\lambda)$的函数曲线和弦

在凸子集$\Gamma \subset R^n$上定义的实值函数$h(y)$如果$-h(y)$是凸函数，即如果对于所有$y^1, y^2 \in \Gamma$和$0 \leq \alpha \leq 1$
$$
h\left(\alpha y^1+(1-\alpha) y^2\right) \geq \alpha h\left(y^1\right)+(1-\alpha) h\left(y^2\right)
$$
，则称其为凹函数;见图2.2。对于凹函数$h(y)$，函数曲线总是位于每个弦的上方

管理科学代写|决策论代写管理科学决策模型代考|分段线性(PL)函数

分段线性(PL)函数:考虑到在$R^n$上定义的实值连续函数$f(x)$，这些都是非线性函数，它们可能不满足整个空间$R^n$上的线性假设，但是$R^n$有一个划分为凸多面体区域的区域，比如$R^n=K_1 \cup K_2 \cup \ldots \cup K_r$，使得$f(x)$是每个区域内单独的一个仿射函数，也就是说，对于每个$1 \leq t \leq r$
存在常量$c_0^t, c^t=\left(c_1^t, \ldots, c_n^t\right)$，这样对于所有$x \in K_t$$f(x)=f_t(x)=c_0^t+c^t x$，对于每个$S \subset{1, \ldots, r}$和在每一点$x \in \cap_{t \in S} K_t$，对于所有$t \in S$的不同函数$f_t(x)$有相同的值 现在我们给出一些在$R^1$上定义的连续PL函数的例子。用$\lambda$表示变量。

$R^1$的每个凸多面体子集是一个区间;因此，将$R^1$划分为凸多面体子集表示为区间的并集:$\left[-\infty, \lambda_1\right]={\lambda: \lambda \leq$$\left.\lambda_1\right},\left[\lambda_1, \lambda_2\right]=\left{\lambda: \lambda_1 \leq \lambda \leq \lambda_2\right}, \ldots,\left[\lambda_{r-1}, \lambda_r\right],\left[\lambda_r, \infty\right]$，其中$\lambda_1, \ldots, \lambda_r$是各种区间的边界点，通常称为该分区中的断点

函数$\theta(\lambda)$是一个PL函数，如果$R^1$存在这样的分区，在这个分区的每个区间内，$\theta(\lambda)$的斜率是一个常数，并且当$\lambda$从左或右接近这个断点时，它在每个断点处的值与$\theta(\lambda)$的极限一致;也就是说，它应该是如下表所示的形式:

请注意，PI函数$\theta(\lambda)$在上表中定义是连续的，在thẻ brebrillikpoints $\bar{\lambda} \in\left{\lambda_1 \ldots . \lambda_r\right}$ wẻ vërify th6:00
$$
\lim {\epsilon \rightarrow 0^{-}} \theta(\bar{\lambda}+\epsilon)=\lim {\epsilon \rightarrow 0^{+}} \theta(\bar{\lambda}+\epsilon)=\theta(\bar{\lambda}) .
$$
以下是连续PL函数的数值示例

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。