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机器学习是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域，也就是说，利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据（称为训练数据）建立模型，以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用，如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉，在这些应用中，开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。

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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Practical Course Material

In this section, a practical lecture on the (perhaps most) popular random Fourier feature approach, initially proposed to approximate the Gaussian kernel [Rahimi and Recht, 2008 , is discussed, the large-dimensional characterization of which is almost identity to that performed in Section 5.1.1, except for the major difference of employing two types of nonlinear activations (“sin” and “cos”) for random Fourier features. Both the training and test performance can be assessed, which, despite taking slightly more involved forms, (i) significantly differ from those of Gaussian kernel and (ii) also establish a double-descent-type test curve, as expected.

Practical Lecture Material 4 (Performance of large-dimensional random Fourier features, Liao et al. [2020]). As discussed in Remark 5.1, instead of the single-type nonlinearity setting in Figure $5.1$ thoroughly investigated in Section 5.1.1, from a random feature map and kernel approximation perspective, a mixture of nonlinearities such as “cos $+\sin$ ” in the case of random Fourier features [Rahimi and Recht, 2008] turns out to be a more natural choice. Specifically, for $\mathbf{W} \in \mathbb{R}^{N \times p}$ with independent standard Gaussian entries, the random Fourier features refer to the cascade of the random features from both ” $\cos$ ” and “sin” activations as
$$
\boldsymbol{\Sigma}^{\boldsymbol{T}}=\left[\cos (\mathbf{W X})^{\top} \quad \sin (\mathbf{W X})^{\top}\right] \in \mathbb{R}^{n \times 2 N}
$$
Check first that
$$
\mathbb{E}{\mathbf{w}}\left[\cos \left(\mathbf{w}^{\top} \mathbf{x}_i\right) \cos \left(\mathbf{w}^{\top} \mathbf{x}_j\right)+\sin \left(\mathbf{w}^{\top} \mathbf{x}_i\right) \sin \left(\mathbf{w}^{\top} \mathbf{x}_j\right)\right]=\left[\mathbf{K}{\cos }\right]{i j}+\left[\mathbf{K}{\sin }\right]{i j} $$ so that by the strong law of large numbers, one has $$ \frac{1}{N}\left[\Sigma^{\top} \Sigma\right]{i j} \stackrel{\text { a.s. }}{\longrightarrow}\left[\mathbf{K}{\mathrm{cos}}+\mathbf{K}{\sin }\right]{i j}=\left[\mathbf{K}{\text {Gauss }}\right]{i j} $$ as $N \rightarrow \infty$, for $\mathbf{K}{\mathrm{cos}}$ and $\mathbf{K}{\text {sin }}$ the limiting kernels of “cos” and “sin” non-linearities enlisted in Table 5.1, and $\mathbf{K}{\text {Gauss }}=\left{\exp \left(-\left|\mathbf{x}i-\mathbf{x}_j\right|^2 / 2\right)\right}{i, j=1}^n$ the Gaussian kernel. This justifies the use of random Fourier features, however only in the $N \gg n$ regime.
We move on to a large $n, p, N$ characterization of random Fourier features. Using the fact that $\mathbb{E}_{\mathbf{w}}\left[\cos \left(\mathbf{w}^{\top} \mathbf{x}_i\right) \sin \left(\mathbf{w}^{\top} \mathbf{x}_j\right)\right]=0$ for $\mathbf{w} \sim \mathcal{N}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_p\right)$ and that both $\cos (\cdot)$ and $\sin (\cdot)$ are 1-Lipschitz, show, with the help of Lemma 5.1 and similar to Theorem 5.1, that the random Fourier resolvent $\left(\frac{1}{n} \Sigma^{\top} \Sigma+\gamma \mathbf{I}_n\right)^{-1}$ admits the deterministic equivalent $$
\mathbf{Q} \leftrightarrow \overline{\mathbf{Q}}, \quad \overline{\mathbf{Q}} \equiv\left(\frac{N}{n}\left(\frac{\mathbf{K}{\cos }}{1+\delta{\cos }}+\frac{\mathbf{K}{\sin }}{1+\delta{\sin }}\right)+\gamma \mathbf{I}n\right)^{-1} $$ for $\left(\delta{\cos }, \delta_{\sin }\right)$ the unique positive solution to
$$
\delta_{\cos }=\frac{1}{n} \operatorname{tr} \mathbf{K}{\cos } \overline{\mathbf{Q}}, \quad \delta{\sin }=\frac{1}{n} \operatorname{tr} \mathbf{K}_{\sin } \overline{\mathbf{Q}} .
$$

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Large-Dimensional Convex Optimization

Unlike the kernel methods discussed in Section 4 or the simple neural network models of Section 5, where the objects under study (kernel matrices and random feature ridge regressors) assume an explicit form, many other machine learning algorithms are the solutions of optimization problems having in general no closed-form formulation. A first example is the popular logistic regression method, where one aims to find (say in a binary classification setting) an optimal (generalized) linear classifier $\boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}^p$ by minimizing the logistic loss $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \log \left(1+e^{-y_i \boldsymbol{\beta}^{\top} \mathbf{x}i}\right)$ over a training set $\left{\left(\mathbf{x}_i, y_i\right)\right}{i=1}^n$ with labels $y_i \in{-1,+1}{ }^1$ More generally, by choosing other loss functions beyond the logistic loss, logistic regression can be viewed as a special case of the empirical risk minimization [Vapnik, 1992] problem
$$
\underset{\boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}^p}{\arg \min } \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n L\left(y_i \boldsymbol{\beta}^{\top} \mathbf{x}_i\right)+\frac{\gamma}{2}|\boldsymbol{\beta}|^2
$$
for some convex loss $L: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$and regularization factor $\gamma \geq 0$. With the logistic loss $L(t)=\log \left(1+e^{-t}\right)$ one gets the logistic regression, while the least-squares classifier (or ridge regressor) can be obtained with the squared loss $L(t)=(t-1)^2$. Other popular choices of $L(\cdot)$ include the exponential loss $L(t)=e^{-t}$ widely used in boosting algorithms [Schapire, 1999] and the hinge loss $L(t)=\max (0,1-t)$ in the case of support vector machines (SVMs) [Rosasco et al., 2004]. Figure $6.1$ illustrates these different losses.

Except for the least-squares solution where $L(t)=(t-1)^2$, the minimization of (ridge-regularized) a generic loss $L$ generally leads to a classifier $\boldsymbol{\beta}$ that only takes an implicit form. It is thus not clear how the resulting $\boldsymbol{\beta}$ depends on the data $\mathbf{X}$ and labels $\mathbf{y}$, making its (large-dimensional) statistical behavior more challenging to investigate. The technical challenge posed by implicit optimization problems appears not only in the analysis of logistic regression, but also in most machine learning algorithms of daily use, starting with the popular deep learning schemes. It is therefore of crucial chapters to assess the performance of nonexplicit optimization-based learning methods. In this chapter, we focus on the quite generic empirical risk minimization example of (6.1) and evaluate the large-dimensional behavior of the resulting classifier $\boldsymbol{\beta}$. Technically, a major emphasis will be cast on the “leave-one-out” approach, which aims to “decouple” the intricate statistical dependencies induced by the optimization scheme into the statistical learning algorithms. Other approaches to overcome this technical difficulty of “intrinsic dependence” will be discussed in Section $6.3$ at the end of this chapter.

机器学习代考

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在本节中，讨论了 (也许是最流行的) 随机傅里叶特征方法的实践讲 座，最初提出来近似高斯核 [Rahimi 和 Recht，2008 年]，其大维表 征几乎与在第 5.1.1 节，除了为随机傅立叶特征采用两种类型的非线性 激活 (“sin”和” $\left.\operatorname{cos”~}^{\prime \prime}\right)$ 的主要区别。可以评估训练和测试性能，尽管采 用了稍微复杂的形式，但 (i) 与高斯核的性能有显着差异，并且 (ii) 也 如预期的那样建立了双下降型测试曲线。
实用讲义材料4 (大维随机傅立叶特征的表现，Liao et al. [2020])。 正如备注 $5.1$ 中所讨论的，而不是图 1 中的单一类型非线性设置5.1在 第 5.1.1 节中进行了彻底研究，从随机特征图和内核近似的角度来看， 非线性的混合，例如“cos $+\sin ^{\text {“在随机傅里叶特征的情况下 }[R a h i m i}$ 和 Recht，2008 年] 被证明是一个更自然的选择。具体来说，对于 $\mathbf{W} \in \mathbb{R}^{N \times p}$ 具有独立的标准高斯条目，随机傅立叶特征指的是来自
$$
\mathbf{\Sigma}^{\boldsymbol{T}}=\left[\cos (\mathbf{W X})^{\top} \quad \sin (\mathbf{W} \mathbf{X})^{\top}\right] \in \mathbb{R}^{n \times 2 N}
$$
首先检查
$\mathbb{E} \mathbf{w}\left[\cos \left(\mathbf{w}^{\top} \mathbf{x}i\right) \cos \left(\mathbf{w}^{\top} \mathbf{x}_j\right)+\sin \left(\mathbf{w}^{\top} \mathbf{x}_i\right) \sin \left(\mathbf{w}^{\top} \mathbf{x}_j\right)\right]=[\mathbf{K} \cos ]$ 所以根据强大的大数定律，一个人有 $$ \frac{1}{N}\left[\Sigma^{\top} \Sigma\right] i j \stackrel{\text { a.s. }}{\longrightarrow}[\mathbf{K} \cos +\mathbf{K} \sin ] i j=[\mathbf{K G a u s s}] i j $$ 作为 $N \rightarrow \infty$ ，为了 $\mathbf{K} \cos$ 和 $\mathbf{K} \sin$ 表 $5.1$ 中列出的 “cos”和“ $\sin$ “非线 性的限制核，以及 高斯内核。这证明了使用随机傅里叶特征是合理的，但仅在 $N \gg n$ 政权。 我们转向一个大 $n, p, N$ 表征随机傅立叶特征。使用的事实是 $\mathbb{E}{\mathbf{w}}\left[\cos \left(\mathbf{w}^{\top} \mathbf{x}i\right) \sin \left(\mathbf{w}^{\top} \mathbf{x}_j\right)\right]=0$ 为了 $\mathbf{w} \sim \mathcal{N}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_p\right)$ 并且两者 $\cos (\cdot)$ 和 $\sin (\cdot)$ 是 1-Lipschitz，在引理 $5.1$ 的帮助下并类似于定理 5.1，表明随机傅里叶分解 $\left(\frac{1}{n} \Sigma^{\top} \Sigma+\gamma \mathbf{I}_n\right)^{-1}$ 冸认确定性等价物 $\mathbf{Q} \leftrightarrow \overline{\mathbf{Q}}, \quad \overline{\mathbf{Q}} \equiv\left(\frac{N}{n}\left(\frac{\mathbf{K} \cos }{1+\delta \cos }+\frac{\mathbf{K} \sin }{1+\delta \sin }\right)+\gamma \mathbf{I} n\right)^{-1}$ 为了 $\left(\delta \cos , \delta{\sin }\right)$ 的唯一正解
$$
\delta_{\cos }=\frac{1}{n} \operatorname{tr} \mathbf{K} \cos \overline{\mathbf{Q}}, \quad \delta \sin =\frac{1}{n} \operatorname{tr} \mathbf{K}_{\sin } \overline{\mathbf{Q}} .
$$

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与第 4 节中讨论的内核方法或第 5 节中的简单神经网络模型不同，在 这些模型中，研究对象 (内核矩阵和随机特征岭回归器) 采用显式形 式，许多其他机器学习算法是优化问题的解决方案一般没有封闭形式 的公式。第一个例子是流行的逻辑回归方法，其目的是找到（比如在 二元分类设置中) 最佳 (广义) 线性分类器 $\boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}^p$ 通过最小化逻辑 损失 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \log \left(1+e^{-y_i \beta^{\top} \mathbf{x} i}\right)$ 在训练集上 一般地说，通过选择逻辑损失之外的其他损失函数，逻辑回归可以被 视为经验风险最小化 [Vapnik，1992] 问题的特例
$$
\underset{\boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}^p}{\arg \min } \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n L\left(y_i \boldsymbol{\beta}^{\top} \mathbf{x}_i\right)+\frac{\gamma}{2}|\boldsymbol{\beta}|^2
$$
对于一些凸损失 $L: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$和正则化因子 $\gamma \geq 0$. 随着物流损失 $L(t)=\log \left(1+e^{-t}\right)$ 一个得到逻辑回归，而最小二乘分类器（或岭 回归器) 可以用平方损失获得 $L(t)=(t-1)^2$. 其他受欢迎的选择 $L(\cdot)$ 包括指数损失 $L(t)=e^{-t}$ 广泛用于提升算法 [Schapire，1999] 和铰链损失 $L(t)=\max (0,1-t)$ 在支持向量机 (SVM) 的情况下 [Rosasco et al., 2004]。数字6.1说明了这些不同的损失。
除了最小二乘解，其中 $L(t)=(t-1)^2$ ， (脊正则化) 一般损失的 最小化 $L$ 通常会导致分类器 $\beta$ 仅采用隐式形式。因此不清楚结果如何 $\beta$ 取决于数据 $\mathbf{X}$ 和标签 $\mathbf{y}$ ，使其 (大维) 统计行为更难以调查。隐式优 化问题带来的技术挑战不仅出现在逻辑回归的分析中，也出现在大多 数日常使用的机器学习算法中，从流行的深度学习方案开始。因此， 评估基于非显式优化的学习方法的性能是至关重要的章节。在本章 中，我们将重点放在 (6.1) 的非常通用的经验风险最小化示例上，并评 估所得分类器的大维行为 $\boldsymbol{\beta}$. 从技术上讲，重点将放在 “留一法”方法 上，该方法旨在将优化方案引起的复杂统计依赖性 “解耦”到统计学习算 法中。克服“内在依赖”这一技术难题的其他方法将在第 $6.3$ 在本章的结尾。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。