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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Limiting Spectrum of the Null Model

As previously mentioned, it is convenient to start by investigating the null model innerproduct kernel matrix $\mathbf{K}=\mathbf{K}N$ with $$ [\mathbf{K}]{i j}= \begin{cases}f\left(\mathbf{z}i^{\top} \mathbf{z}_j / \sqrt{p}\right) / \sqrt{p} & \text { for } i \neq j \ 0 & \text { for } i=j\end{cases} $$ for i.i.d. $\mathbf{z}_i \sim \mathcal{N}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_p\right){ }^{10}$ We are, as usual, interested in the associated resolvent $$ \mathbf{Q}(z) \equiv\left(\mathbf{K}-z \mathbf{I}_n\right)^{-1} \in \mathbb{R}^{n \times n} . $$ Following the Marčenko-Pastur and Bai-Silverstein approaches (in Theorems $2.4$ and 2.6, respectively), we first remove the $i$ th row and the $i$ th column of the symmetric matrix $\mathbf{K}$ to decompose it, up to permutation, as $$ \begin{aligned} \mathbf{K} & =\left[\begin{array}{cc} \mathbf{K}{-i} & f\left(\mathbf{Z}{-i}^{\top} \mathbf{z}_i / \sqrt{p}\right) / \sqrt{p} \ f\left(\mathbf{z}_i^{\top} \mathbf{Z}{-i} / \sqrt{p}\right) / \sqrt{p} & 0
\end{array}\right] \
\text { with } \mathbf{K}{-i} & \equiv f\left(\mathbf{Z}{-i}^{\top} \mathbf{Z}{-i} / \sqrt{p}\right) / \sqrt{p}-\operatorname{diag}(\cdot) \in \mathbb{R}^{(n-1) \times(n-1)}, \end{aligned} $$ (i.e., with zeros on the diagonal of $\left.\mathbf{K}{-i}\right)$, where $\mathbf{Z}{-i} \in \mathbb{R}^{p \times(n-1)}$ is the Gaussian matrix $\mathbf{Z}$ without the $i$ th column $\mathbf{z}_i$. As such, $\mathbf{K}{-i}$ is (i) independent of $\mathbf{z}i$, and is (ii) asymptotically close to $\mathbf{K}$ for $n$ large. We similarly define the resolvent of $\mathbf{K}{-i}$ as
$$
\mathbf{Q}{-i} \equiv\left(\mathbf{K}{-i}-z \mathbf{I}{n-1}\right)^{-1} \in \mathbb{R}^{(n-1) \times(n-1)} . $$ With Lemma 2.6, the $(i, i)$ th diagonal entry of $\mathbf{Q}$ is given by $$ [\mathbf{Q}]{i i}=\frac{1}{-z-\frac{1}{p} f\left(\mathbf{z}i^{\top} \mathbf{Z}{-i} / \sqrt{p}\right) \mathbf{Q}{-i} f\left(\mathbf{Z}{-1}^{\top} \mathbf{z}i / \sqrt{p}\right)} \equiv \frac{1}{-z-\delta_i}, $$ where we recall that the diagonals of both $\mathbf{K}$ and $\mathbf{K}{-i}$ are zero. To evaluate the Stieltjes transform $m_n(z)=\frac{1}{n} \operatorname{tr} \mathbf{Q}(z)=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf{Q}{i i}(z)$ of the spectral measure of $\mathbf{K}$, the key object is thus the (nonlinear) quadratic form $$ \delta_i \equiv \frac{1}{p} f\left(\mathbf{z}_i^{\top} \mathbf{Z}{-i} / \sqrt{p}\right) \mathbf{Q}{-i} f\left(\mathbf{Z}{-i}^{\top} \mathbf{z}_i / \sqrt{p}\right)
$$

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Properly Scaling Random Kernel Matrices

Having covered the analysis of the (pure-noise or null model) kernel matrix $\mathbf{K}N$, we present in this section the “information-plus-noise” random (asymptotic) equivalent for the kernel matrix $\mathbf{K}$, again under the nontrivial classification assumptions on the $k$-class mixture model defined in (4.20) (as for the $\alpha-\beta$ kernel studied in Section 4.2.4). The main idea for this “information-plus-noise” decomposition comes in two steps: (i) first, by an expansion of $\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j$ as a function of $\mathbf{z}_i, \mathbf{z}_j$ and the statistical mixture model parameters $\left{\boldsymbol{\mu}_a, \mathbf{E}_a\right}{a=1}^k$, the inner products $\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j$ are developed into successive orders of magnitudes with respect to $p$; this further allows for a Taylor expansion of $f\left(\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j / \sqrt{p}\right)$ for at least twice differentiable functions $f$ around its dominant term $f\left(\mathbf{z}_i^{\top} \mathbf{z}_j / \sqrt{p}\right)$. Then, (ii) relying on the orthogonal polynomial approach of the previous section, one may “linearize” the resulting matrix terms $\left{f\left(\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j / \sqrt{p}\right)\right},\left{f^{\prime}\left(\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j / \sqrt{p}\right)\right}$ and $\left{f^{\prime \prime}\left(\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j / \sqrt{p}\right)\right}$ (all terms corresponding to higher-order derivatives asymptotically vanish) and use Assumption 2 to extend the result to all square-summable $f$. The precise derivations may be found in Liao and Couillet [2019a].

The main conclusion is that the kernel matrix $\mathbf{K}$ asymptotically behaves like the sum $\tilde{\mathbf{K}}=\mathbf{K}_N+\tilde{\mathbf{K}}_I$ of the full-rank “noise” matrix $\mathbf{K}_N$ (characterized in Theorems $4.4$ and 4.5) and a low-rank “information” matrix $\tilde{\mathbf{K}}_I$. This is stated in the following theorem.

Theorem 4.6 (Random equivalent for properly scaling kernel, Liao and Couillet [2019a]). Let Assumption 2 hold and $\mathbf{K} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ be the properly scaling kernel defined in (4.19) with $\mathbf{x}i=\mu_a+\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}_a\right)^{\frac{1}{2}} \mathbf{z}_i$, for $\mathbf{z}_i$ having i.i.d. zero-mean, unit-variance and subexponential entries, $\mathbf{x}_i \in \mathcal{C}_a$ satisfying the following growth rate conditions $$ \mathbf{M}=O{|\cdot|}(1), \mathbf{t}=\frac{1}{\sqrt{p}}\left{\operatorname{tr} \mathbf{E}a\right}{a=1}^k=O_{|\cdot|}(1), \mathbf{S}^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{p}}\left{\operatorname{tr} \mathbf{E}a \mathbf{E}_b\right}{a, b=1}^k=O_{|\cdot|}(1) .
$$
Then, as $n, p \rightarrow \infty$ with $p / n \rightarrow c \in(0, \infty)$,
$$
|\mathbf{K}-\tilde{\mathbf{K}}| \stackrel{\text { a.s. }}{\longrightarrow} 0, \quad \tilde{\mathbf{K}}=\mathbf{K}_N+\mathbf{V A V}^{\top}
$$
with $\mathbf{K}_N$ defined in (4.21) and
$$
\begin{aligned}
& \mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}
a_1 \cdot \mathbf{M}^{\top} \mathbf{M}+\frac{a_2}{\sqrt{2}} \cdot\left(\mathbf{t 1}_k^{\top}+\mathbf{1}_k \mathbf{t}^{\top}+\mathbf{S}^{\circ}\right) & a_1 \mathbf{I}_k \
a_1 \mathbf{I}_k & \mathbf{0}
\end{array}\right] \
&
\end{aligned}
$$
where we recall that $a_1$ and $a_2$ are the first two Hermite coefficients $a_1=\mathbb{E}[\xi f(\xi)]$ and $a_2=\mathbb{E}\left[\left(\xi^2-1\right) f(\xi)\right] / \sqrt{2}$ for $\xi \sim \mathcal{N}(0,1)$, as defined in (4.23).

机器学习代考

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Limiting Spectrum of the Null Model

如前所述，从调查空模型内积核矩阵开始很方便 $\mathbf{K}=\mathbf{K} N$ 和
$[\mathbf{K}] i j=\left{f\left(\mathbf{z} i^{\top} \mathbf{z}j / \sqrt{p}\right) / \sqrt{p} \quad\right.$ for $i \neq j 0 \quad$ for $i=j$ 对于 $\mathrm{iid} \mathbf{z}_i \sim \mathcal{N}\left(0, \mathbf{I}_p\right)^{10}$ 像往常一样，我们对相关的解决方案感兴 趣 $$ \mathbf{Q}(z) \equiv\left(\mathbf{K}-z \mathbf{I}_n\right)^{-1} \in \mathbb{R}^{n \times n} $$ 遭循 Marčenko-Pastur 和 Bai-Silverstein 方法 (在定理中 $2.4$ 和 $2.6$ ，分别)，我们首先删除 $i$ 第行和 $i$ 对称矩阵的第列 $\mathbf{K}$ 分解它，直 到排列，如 (即，在对角线上有零 $\mathbf{K}-i$ )，在哪里 $\mathbf{Z}-i \in \mathbb{R}^{p \times(n-1)}$ 是高斯矩 阵 $\mathbf{Z}$ 没有 $i$ 第 列 $\mathbf{z}_i$. 像这样， $\mathbf{K}-i$ (i) 独立于 $\mathbf{z} i$, 并且 (ii) 渐近接近 $\mathbf{K}$ 为 了 $n$ 大。我们类似地定义的解决方案 $\mathbf{K}-i$ 作为 $$ \mathbf{Q}-i \equiv(\mathbf{K}-i-z \mathbf{I} n-1)^{-1} \in \mathbb{R}^{(n-1) \times(n-1)} \text {. } $$ 使用引理 2.6，(i,i)的第 对角线条目 $\mathbf{Q}$ 是（谁） 给的 $$ [\mathbf{Q}] i i=\frac{1}{-z-\frac{1}{p} f\left(\mathbf{z} i^{\top} \mathbf{Z}-i / \sqrt{p}\right) \mathbf{Q}-i f\left(\mathbf{Z}-1^{\top} \mathbf{z} i / \sqrt{p}\right)} \equiv $$ 我们记得两者的对角线 $\mathbf{K}$ 和 $\mathbf{K}-i$ 为雴。评估 Stieltjes 变换 $m_n(z)=\frac{1}{n} \operatorname{tr} \mathbf{Q}(z)=\frac{1}{n} \sum{i=1}^n \mathbf{Q} i i(z)$ 的光谱测量 $\mathbf{K}$ ，关键对象 因此是 (非线性) 二次形式
$$
\delta_i \equiv \frac{1}{p} f\left(\mathbf{z}_i^{\top} \mathbf{Z}-i / \sqrt{p}\right) \mathbf{Q}-i f\left(\mathbf{Z}-i^{\top} \mathbf{z}_i / \sqrt{p}\right)
$$

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Properly Scaling Random Kernel Matrices

涵盖了 (纯噪声或空模型) 核矩阵的分析 $\mathbf{K} N$ ，我们在本节中介绍核矩阵的”信息加噪声”随机 (渐近) 等价物 $\mathbf{K}$ ，同样在非平凡的分类假 设下 $k$-类混合模型在 (4.20) 中定义 (至于 $\alpha-\beta$ 内核在第 4.2.4 节 中研究过)。这种“信息加噪声”分解的主要思想分为两个步癹: 首先，通过扩展 $\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j$ 作为函数 $\mathbf{z}_i, \mathbf{z}_j$ 和统计混合模型参数 展成相对于连续的数量级 $p$; 这进一步允许泰勒展开 $f\left(\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j / \sqrt{p}\right)$ 对 于至少两次可微函数 $f$ 围绕其主要术语 $f\left(\mathbf{z}_i^{\top} \mathbf{z}_j / \sqrt{p}\right)$. 然后，(ii) 依靠 上一节的正交多项式方法，可以“线性化”得到的矩阵项 和 (对应于高阶导数的所有项渐近消失) 并使用假设 2 将结果扩展到所 有可平方和的 $f$. 精确的推导可以在 Liao 和 Couillet [2019a] 中找到。
主要结论是内核矩阵 $\mathbf{K}$ 渐进地表现得像总和 $\tilde{\mathbf{K}}=\mathbf{K}_N+\tilde{\mathbf{K}}_I$ 全秩”噪 声”矩阵 $\mathbf{K}_N$ (以定理为特征 $4.4$ 和 4.5) 和一个低阶”信息”矩阵 $\tilde{\mathbf{K}}_I$. 这 在下面的定理中说明。
定理 $4.6$ (适当缩放内核的随机等价物，Liao 和 Couillet [2019a])。 让假设 2 成立并且 $\mathbf{K} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是 (4.19) 中定义的适当缩放内核 $\mathbf{x} i=\mu_a+\left(\mathbf{I}_p+\mathbf{E}_a\right)^{\frac{1}{2}} \mathbf{z}_i$ ，为了 $\mathbf{z}_i$ 具有 $\mathrm{iid}$ 零均值、单位方差和 次指数条目， $\mathbf{x}_i \in \mathcal{C}_a$ 满足以下增长率条件
$\backslash$ mathbf ${\mathrm{M}}=O{|\backslash \mathrm{Idot}|}(1)$, \mathbf ${\mathrm{t}}=\backslash \mathrm{frac}{1}{\backslash \mathrm{sqrt}{\mathrm{p}}} \backslash$ eft ${$ \operatorn
然后，作为 $n, p \rightarrow \infty$ 和 $p / n \rightarrow c \in(0, \infty)$ ，
$$
|\mathbf{K}-\tilde{\mathbf{K}}| \stackrel{\text { a.s. }}{\longrightarrow} 0, \quad \tilde{\mathbf{K}}=\mathbf{K}_N+\mathbf{V A} \mathbf{V}^{\top}
$$
和 $\mathbf{K}_N$ 在 (4.21) 和
$$
\mathbf{A}=\left[a_1 \cdot \mathbf{M}^{\top} \mathbf{M}+\frac{a_2}{\sqrt{2}} \cdot\left(\mathbf{t} \mathbf{1}_k^{\top}+\mathbf{1}_k \mathbf{t}^{\top}+\mathbf{S}^{\circ}\right) \quad a_1 \mathbf{I}_k a_1 \mathbf{I}_k\right.
$$
我们记得 $a_1$ 和 $a_2$ 是前两个厄米系数 $a_1=\mathbb{E}[\xi f(\xi)]$ 和 $a_2=\mathbb{E}\left[\left(\xi^2-1\right) f(\xi)\right] / \sqrt{2}$ 为了 $\xi \sim \mathcal{N}(0,1)$, 如 (4.23) 中所定义。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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