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机器学习是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域，也就是说，利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据（称为训练数据）建立模型，以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用，如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉，在这些应用中，开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。

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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|The Case of Standard Distance Kernels

We have seen in Theorem $4.1$ that the dominant eigenvectors of $\mathbf{K}$ contain the class label information (through the indicator matrix $\mathbf{J}$ ) and can thus be used for spectral clustering. Yet, $\mathbf{K}$ has the inconvenience that its first two dominant eigenvalues scale like $O(n)$ and $O(\sqrt{n})$, and only the latter is informative, in the sense that it depends on the covariance traces $\mathbf{t}$, but not on the means $\mathbf{M}$ or covariance “shapes.” As for the matrix $\mathbf{D}-\mathbf{K}$, it can be readily seen as quite inappropriate for clustering. Indeed, while the informative spectrum of $\mathbf{K}$ is essentially of order $O(1)$ (if we exclude the little informative two dominant eigenvectors), the matrix $\mathbf{D}$ has diagonal elements
$$
[\mathbf{D}]_{i i}=n f\left(\tau_p\right)+\zeta_i+O(1), \quad \zeta_i=n f^{\prime}\left(\tau_p\right)[\psi]_i=O(\sqrt{n}),
$$
where the random $\zeta_i$ terms are “essentially” of zero mean and asymptotically independent across $i$. Consequently, the spectrum of $\mathbf{D}-\mathbf{K}$ is largely dominated by the noninformative diagonal elements of $\mathbf{D}$, and the dominant eigenvectors of $\mathbf{D}-\mathbf{K}$ are thus uncorrelated with the structure in $\mathbf{J}$ : this comes in stark opposition to the finitedimensional intuitions according to which the dominant (here smallest) eigenvectors of $\mathbf{D}-\mathbf{K}$ should be aligned with the vectors of classes. As such, $\mathbf{D}-\mathbf{K}$ is not appropriate for large-dimensional spectral clustering, and this is largely confirmed by empirical results (as already empirically established, but with no strong theoretical argument, in the spectral clustering literature).

The matrix $\mathbf{D}^{\frac{1}{2}} \mathbf{K D}{ }^{\frac{1}{2}}$ advocated by Ng-Weiss-Jordan is more interesting. First, sincè $d_i=\mathbf{D}_{i i}=O(n)$, it is more convenient to consider the said normalized Laplacian matrix
$$
\mathbf{L}=n \mathbf{D}^{-\frac{1}{2}} \mathbf{K D}^{-\frac{1}{2}}
$$
than the difference (of matrices of misaligned orders of magnitude) $\mathbf{D}-\mathbf{K} .^{14}$ In addition, note that $\mathbf{D}^{\frac{1}{2}} \mathbf{1}_n$ is an eigenvector for $\mathbf{L}$ with corresponding eigenvalue $n$, since
$$
n \mathbf{D}^{-\frac{1}{2}} \mathbf{K} \mathbf{D}^{-\frac{1}{2}}\left(\mathbf{D}^{\frac{1}{2}} \mathbf{1}_n\right)=\mathbf{D}^{-\frac{1}{2}} \mathbf{K} \mathbf{1}_n=n \mathbf{D}^{-\frac{1}{2}} \mathbf{D} \mathbf{1}_n=n \mathbf{D}^{\frac{1}{2}} \mathbf{1}_n
$$

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|The Case of “α-β” and Properly Scaling Kernels

The previous section demonstrated that, despite the phenomenon of distance concentration, spectral clustering with the normalized Laplacian $\mathbf{L}$ remains valid under large-dimensional data assumptions, at the expense of a few unexpected outcomes (presence of noninformative isolated eigenvectors, incoherence between the number of classes and the number of informative eigenvectors, etc.). These are immediate consequences of the theoretical study performed in Section $4.2$ and were shown to adequately match the actual performance of spectral clustering on, not only Gaussian, but also real-world data.

But Section $4.2$ also argued that kernels of the type $f\left(\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2 / p\right)$, despite their wide popularity, are suboptimal when it comes to classifying data down to their minimal statistical discrimination rate (particularly in exploiting the covariance structures). We then proved in Section $4.2 .4$ that $\alpha-\beta$ kernels, satisfying $f\left(\tau_p\right)=O(1)$, $f^{\prime}\left(\tau_p\right)=\alpha p^{-1 / 2}$ and $f^{\prime \prime}\left(\tau_p\right)=2 \beta$ for some $\alpha, \beta=O(1)$, are more powerful in discriminating data having close (even equal) means and slightly differing covariances. In Section $4.3, \alpha-\beta$ kernels were then shown to be a special case of the family of properly scaling kernels, which yield as good performance as $\alpha-\beta$ kernels (in exploiting covariancee “shape” structure) and havè the additionál advantage of being nonsmooth and thus be computed more efficiently.
We consider the $\alpha-\beta$ and properly scaling kernels here.
Specifically, Figure $4.12$ displays the comparative performance of Gaussian versus $\alpha-\beta$ inner-product kernels in the setting of a two-class Gaussian mixture data with equal means but slightly differing covariances (thus here with $\alpha=0$ ). We observe that the Gaussian kernel is incapable of resolving the two classes, while the $\alpha$ – $\beta$ kernel is fully adapted. Figure $4.13$ then extends the analysis to a real-world EEG dataset (epileptic versus sane patients) [Andrzejak et al., 2001] specifically chosen since, being a more or less stationary zero-mean time series, the critical class-discriminating features lie more in the second-order statistics (i.e., in the covariance matrix structure) than in the first (i.e., in the structure of the means). The data vectors were appropriately centered and normalized (such that $\left|\mathbf{x}_i\right|=\sqrt{p}$ ) to specifically exploit the covariance “shape” structure. In this case, the Gaussian kernel is observed to have less discriminating power compared with the $\alpha-\beta$ kernel (chosen here again with $\alpha=0$, that is, with $f^{\prime}\left(\tau_p\right)=0$ ).

机器学习代考

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|The Case of Standard Distance Kernels

我们在定理4.1中看到 $4.1$ 的主要特征向量K包含类标签 信息 (通过指标矩阵 $\mathbf{J}$ ， 因此可用于谱聚类。然而， $\mathbf{K}$ 其前两个主要特征值的比例如下 $O(n)$ 和 $O(\sqrt{n})$ ，并且 只有后者是信息性的，因为它取决于协方差轨迹 $\mathbf{t}$, 但不 在手段上 $\mathbf{M}$ 或协方差“形状”。至于矩阵 $\mathbf{D}-\mathbf{K}$, 它很容 易被视为非常不适合聚类。事实上，虽然信息丰富的频 谱K本质上是有序的 $O(1)$ （如果我们排除信息量小的 两个主要特征向量），矩阵 $\mathbf{D}$ 有对角元素
$$
[\mathbf{D}]{i i}=n f\left(\tau_p\right)+\zeta_i+O(1), \quad \zeta_i=n f^{\prime}\left(\tau_p\right)[\psi]_i $$ 随机的地方 $\zeta_i$ 项“本质上”为零均值且渐近独立 $i \ldots . .$. 因 此，Imathbf{D}-Imathbf{K}的谱 $\mathbf{D}-\mathbf{K}$ 主要由的非 信息对角线元素主导 $\mathbf{D}$, 以及的主要特征向量 $\mathbf{D}-\mathbf{K}$ 因 此与结构不相关 $\mathbf{J}$ : 这与有限维直觉截然相反，根据有 限维直觉， D-K应该与类的向量对齐。像这样， $\mathbf{D}-\mathbf{K}$ 不适用于大维谱聚类，这在很大程度上得到了 经验结果的证实（在谱聚类文献中已经凭经验建立，但 没有强有力的理论论据）。 矩阵 $\mathbf{D}^{\frac{1}{2}} \mathbf{K D}^{\frac{1}{2}}$ Ng-Weiss-Jordan 提倡的更有趣。首 先， sinced $d_i=\mathbf{D}{i i}=O(n)$, 考虑上述归一化拉普拉 斯矩阵更方便
$$
\mathbf{L}=n \mathbf{D}^{-\frac{1}{2}} \mathbf{K D}^{-\frac{1}{2}}
$$
比差（末对齐数量级的矩阵) $\mathbf{D}-\mathbf{K} .{ }^{14}$ 此外，请注意 $\mathbf{D}^{\frac{1}{2}} \mathbf{1}_n$ 是一个特征向量L具有相应的特征值 $n$ ，自从
$$
n \mathbf{D}^{-\frac{1}{2}} \mathbf{K} \mathbf{D}^{-\frac{1}{2}}\left(\mathbf{D}^{\frac{1}{2}} \mathbf{1}_n\right)=\mathbf{D}^{-\frac{1}{2}} \mathbf{K} \mathbf{1}_n=n \mathbf{D}^{-\frac{1}{2}} \mathbf{D} \mathbf{1}_n
$$

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|The Case of “α-β” and Properly Scaling Kernels

上一节表明，尽管存在距离集中现象，但使用归一化拉 普拉斯算子的谱聚类 $\mathbf{L}$ 在大维数据假设下仍然有效，但 会出现一些意想不到的结果 (存在无信息的孤立特征向 量、类数与信息特征向量数之间的不一致等)。这些是 第节中进行的理论研究的直接结果 $4.2$ 并且被证明与光 谱聚类的实际性能充分匹配，不仅是高斯数据，而且是 真实世界的数据。
但节 $4.2$ 还认为该类型的内核 $f\left(\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2 / p\right)$ ，尽管 它们广受欢迎，但在将数据分类到它们的最小统计歧视 率时 (特别是在利用协方差缲构时) 并不是最优的。然 后我们在第 $4.2 .4$ 那 $\alpha-\beta$ 内核，令人满意 $f\left(\tau_p\right)=O(1), f^{\prime}\left(\tau_p\right)=\alpha p^{-1 / 2}$ 和 $f^{\prime \prime}\left(\tau_p\right)=2 \beta$ 对于一些 $\alpha, \beta=O(1)$ ，在区分均值接近 (甚至相等) 且协方差略有不同的数据方面更有力。在节 $4.3, \alpha-\beta$ 然后内核被证明是适当缩放内核家族的一个特例，它产 生的性能与 $\alpha-\beta$ 内核 (在利用协方差“形状”结构中) 并且具有不光滑的额外优势，因此可以更有效地计算。 我们认为 $\alpha-\beta$ 并在此处适当缩放内核。
具体来说，图4.12显示高斯与 $\alpha-\beta$ 具有相等均值但协 方差略有不同的二类高斯混合数据设置中的内积内核 (因此这里有 $\alpha=0$ ). 我们观察到高斯核无法解析这两 个类，而 $\alpha-\beta$ 内核完全适配。数字 $4.13$ 然后将分析扩 展到真实世界的 EEG 数据集 (癫㾁患者与正常患者) [Andrzejak et al., 2001]，因为作为一个或多或少平稳 的零均值时间序列，关键的类别区分特征更多地在于二 阶统计 (即在协方差矩阵结构中) 比在一阶（即在均值 结构中）。数据向量被适当地居中和归一化（这样 $\left.\left|\mathbf{x}_i\right|=\sqrt{p}\right)$ 专门利用协方差“形状“结构。在这种情况 下，观察到高斯核与 $\alpha-\beta$ 内核 (在这里再次选择 $\alpha=0$ ，也就是说，与 $f^{\prime}\left(\tau_p\right)=0$ ).

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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