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机器学习是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域，也就是说，利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据（称为训练数据）建立模型，以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用，如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉，在这些应用中，开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。

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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Computationally Efficient Kernels

As already mentioned above, the performance of properly scaling kernels depends on the kernel function $f$ only via the three parameters $\left(a_1, a_2, v\right)$. It is thus possible to design a prototypical family $\mathcal{F}$ of functions $f$ having (i) universal properties with respect to $\left(a_1, a_2, v\right)$, that is, for each $\left(a_1, a_2, v\right)$ there exists $f \in \mathcal{F}$ with these Hermite coefficients and (ii) having numerically advantageous properties. Thus, any arbitrary kernel function $f$ can be mapped, through $\left(a_1, a_2, v\right)$, to a function in $\mathcal{F}$ with good numerical properties. One such prototypical family $\mathcal{F}$ is the set of “ternary kernel” functions $f \mathrm{~s}$, parametrized by a triplet $\left(t, s_{-}, s_{+}\right)$, and defined as
$$
f(x)=\left{\begin{array}{ll}
-r t & x \leq \sqrt{2} s_{-} \
0 & \sqrt{2} s_{-}\sqrt{2} s_{+}
\end{array},\left{\begin{array}{l}
a_1=\frac{t}{\sqrt{2 \pi}}\left(e^{-s_{+}^2}+r e^{-s_{-}^2}\right) \
a_2=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\left(s_{+} e^{-s_{+}^2}+r s_{-} e^{-s_{-}^2}\right) \
v=\frac{t^2}{2}\left(1-\operatorname{erf}\left(s_{+}\right)\right)(1+r)
\end{array},\right.\right.
$$
where $r \equiv \frac{1-\operatorname{erf}\left(s_{+}\right)}{1+\operatorname{er}\left(s_{-}\right)}$. That is, $f$ only takes three discrete values so that the resulting kernel matrix may be stored and operated on very efficiently. Figure $4.7$ displays such a function $f$ in (4.31) together with the cubic function $c_3 x^3+c_2\left(x^2-1\right)+c_1 x$ sharing the same coefficients $\left(a_1, a_2, v\right)$.

The equivalence class of kernel functions induced by this mapping (i.e., those having asymptotically equivalent spectral properties) is quite unlike the equivalence class of the previous section for the “improper” scaling $f\left(\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j / p\right)$ regime. In the latter, functions $f(x)$ of the same class of equivalence are those having common $f^{\prime}(0)$ and $f^{\prime \prime}(0)$ values, while here these functions may have no similar local behavior (as shown in the example of Figure 4.7).

In pursuit of computationally more efficient kernels by tuning the three key parameters $\left(a_1, a_2, v\right)$, one must be very careful since, by Theorem $4.5$ and Figure $4.5$, taking $a_2 \neq 0$ can result in up to two spurious noninformative spikes that may be mistaken as informative ones by spectral clustering algorithms. We refer the interested readers to Liao et al. [2021] for a thorough discussion on the “complexity and performance tradeoff” of properly scaling kernels for different $\mathcal{F}$ families (e.g., sparse, quantized, and even binarized functions).

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Implications to Kernel Methods

By simply “plugging” the random matrix equivalents of the kernel matrices studied in the previous sections into kernel-based learning algorithms, it is now possible to analyze the asymptotic performance of these algorithms in the large $n, p$ regime. The present section is dedicated to this analysis, successively for unsupervised (kernel spectral clustering in Section 4.4.1), semi-supervised (with kernel graph Laplacian in Section 4.4.2), and fully supervised (kernel ridge regression in Section 4.4.3) learning.
We will discover in this section that, as a result of the curse of dimensionality (following from the convergence $\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2 / p \stackrel{\text { a.s. }}{\longrightarrow} \tau_p$ ) and of the induced inappropriate (low-dimensional) intuitions when applied to the large-dimensional setting, all these algorithms (i) behave differently from what is expected, (ii) sometimes fail to perform as intended and, (iii) are often far from optimal. The random matrix analyses preformed in the previous section provide new intuitions and, as shall be seen, always allow for a proper adaptation (such as an optimal hyperparameter tuning) and improvement (sometimes via very simple but fundamental modifications) of the algorithms. As another important outcome, the possibility to access the performance of these improved algorithms provides a safer ground for further optimization and even for comparing to the ultimate information-theoretic bounds associated with the machine learning problem at hand.

From a machine learning perspective, spectral clustering is often seen as a discrete-tocontinuous relaxation of a graph min-cut problem [Luxburg, 2007]. More precisely, assuming $\mathbf{K}$ to be the adjacency matrix of a graph with nodes $\mathbf{x}1, \ldots, \mathbf{x}_n \in \mathbb{R}^p$ and edges $f\left(\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2 / p\right)$, the min-cut problem consists in determining a $k$-class partition $\mathcal{S}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{S}_k$ of ${1, \ldots, n}$ that minimizes the affinity across classes, that is, $$ \left(\mathcal{S}_1, \ldots, \mathcal{S}_k\right) \in \underset{\mathcal{S}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{S}_k={1, \ldots, n}}{\arg \min } \sum{a=1}^k \sum_{\substack{i \in \mathcal{S}_a \ j \notin \mathcal{S}_a}} \frac{f\left(\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2 / p\right)}{\left|\mathcal{S}_a\right|},
$$
where the division by the cardinality $\left|\mathcal{S}_a\right|$ ensures that classes have approximately balanced weights (this is formally known as the ratio-cut adaptation of the original min-cut problem for which the denominator is simply 1). This optimization problem has been shown to be equivalent to finding the isometric matrix $\mathbf{S}=\left[\mathbf{s}1, \ldots, \mathbf{s}_k\right] \in \mathbb{R}^{n \times k}$ (i.e., $\mathbf{S}^{\top} \mathbf{S}=\mathbf{I}_k$ ) with columns defined as $\left[\mathbf{s}_a\right]_i=\delta{i \in \mathcal{S}_a} / \sqrt{\left|\mathcal{S}_a\right|}$, which minimizes
$$
\operatorname{tr} \mathbf{S}^{\boldsymbol{T}}(\mathbf{D}-\mathbf{K}) \mathbf{S}
$$
where $\mathbf{D}=\operatorname{diag}\left(\mathbf{K} \mathbf{1}_n\right)$. Solving this discrete problem is known to be NP-hard [Luxburg, 2007], but relaxing $\mathbf{S}$ to be merely an orthonormal matrix with no structure constraint gives the straightforward solution that $\mathbf{S} \in \mathbb{R}^{n \times k}$ is the collection of the $k$ eigenvectors associated with the smallest eigenvalues of $\mathbf{D}-\mathbf{K}$.

机器学习代考

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Computationally Efficient Kernels

如上所述，正确缩放内核的性能取决于内核函数 $f$ 仅通 过三个参数 $\left(a_1, a_2, v\right)$. 因此可以设计一个原型家庭 $\mathcal{F}$ 函数的 $f$ 具有 (i) 关于 $\left(a_1, a_2, v\right)$ ，也就是说，对于每个 $\left(a_1, a_2, v\right)$ 那里存在 $f \in \mathcal{F}$ 这些 Hermite 系数和 (ii) 具 有数值上有利的特性。因此，任何任意核函数 $f$ 可以映 射，通过 $\left(a_1, a_2, v\right)$ ，到一个函数 $\mathcal{F}$ 具有良好的数值特 性。一个这样的典型家庭 $\mathcal{F}$ 是一组“三元核”函数 $f \mathrm{~s}$ ，由 三元组参数化 $\left(t, s_{-}, s_{+}\right)$，定义为 $\$ \$$ $f(x)=\vee$ left {
$$
-r t \quad x \leq \sqrt{2} s_{-} 0 \quad \sqrt{2} s_{-} \sqrt{2} s_{+}
$$
剩下{
$$
a_1=\frac{t}{\sqrt{2 \pi}}\left(e^{-s_{+}^2}+r e^{-s_{-}^2}\right) a_2=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\left(s_{+} e^{-s_{+}^2}+r s\right.
$$
、是的是的。
$\$ \$$
哪里 $r \equiv \frac{1-\operatorname{erf}\left(s_{+}\right)}{1+\operatorname{er}\left(s_{-}\right)}$. 那是， $f$ 只取三个离散值，因此可
以非常有效地存储和操作生成的内核矩阵。数字 $4.7$ 显 示这样的功能 $f$ 在 (4.31) 中连同三次函数
$c_3 x^3+c_2\left(x^2-1\right)+c_1 x$ 共享相同的系数
$\left(a_1, a_2, v\right)$
由该映射导出的核函数的等价类 (即具有渐近等价谱特性的核函数）与上一节“不正确”缩放的等价类完全不同 $f\left(\mathbf{x}_i^{\top} \mathbf{x}_j / p\right)$ 政权。在后者中，函数 $f(x)$ 同一类等价物 是那些具有共同 $f^{\prime}(0)$ 和 $f^{\prime \prime}(0)$ 值，而这里这些函数可 能没有类似的本地行为 (如图 $4.7$ 的示例所示) 。
通过调整二个关键参数来追求计算效率更高的内核 $\left(a_1, a_2, v\right)$ ， 必须非常小心，因为根据定理4.5和图4.5， 服用 $a_2 \neq 0$ 可能会导致最多两个虚假的非信息性尖 峰，这些尖峰可能被光谱聚类算法误认为是信息性尖 峰。我们将感兴趣的读者推荐给 Liao 等人。[2021]对 针对不同的适当缩放内核的“复杂性和性能权衡”进行了 彻底的讨论 $\mathcal{F}$ 族 (例如，稀硫、量化甚至二值化函 数)。

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Implications to Kernel Methods

通过简单地将前几节中研究的核矩阵的随机矩阵等价物 “揷入”到基于核的学习算法中，现在可以分析这些算法 在大型环境中的渐近性能 $n, p$ 政权。本节专门介绍此分析，依次是无监督（第 4.4.1 节中的核谱聚类）、半监督 (第 4.4.2 节中的核图拉普拉斯算子) 和完全监督 (第 4.4.3 节中的核岭回归) ）学习。
我们将在本节中发现，由于维数灾难（收敛之后 $\left|\mathbf{x}i-\mathbf{x}_j\right|^2 / p \stackrel{\text { a.s. }}{\longrightarrow} \tau_p$ ) 以及当应用于大维设置时引起的不适当 (低维) 直觉，所有这些算法 (i) 表现与预期 不同，(ii) 有时无法按预期执行，并且 (iii) 经常远非最佳。上一节中执行的随机矩阵分析提供了新的直觉， 并且正如应该看到的那样，始终允许对算法进行适当的调整 (例如最佳超参数调整) 和改进 (有时通过非常简单但基本的修改) 。作为另一个重要结果，访问这些改 进算法的性能的可能性为进一步优化提供了更安全的基础，甚至可以与与手头的机器学习问题相关的最终信息 理论界限进行比较。 从机器学习的角度来看，谱聚类通常被视为图形最小切 割问题的离散到连续松弛 [Luxburg，2007]。更准确地 说，假设 $\mathbf{K}$ 是具有节点的图的邻接矩阵 $\mathbf{x} 1, \ldots, \mathbf{x}_n \in \mathbb{R}^p$ 和边缘 $f\left(\left|\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j\right|^2 / p\right)$ ，最小切 割问题在于确定一个 $k$ 类分区 $\mathcal{S}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{S}_k$ 的 $1, \ldots, n$ 最小化跨类的亲和力，即$$ \left(\mathcal{S}_1, \ldots, \mathcal{S}_k\right) \in \underset{\mathcal{S}_1 \cup \ldots \cup \mathcal{S}_k=1, \ldots, n}{\arg \min } \sum a=1^k \sum{i \in \mathcal{S}_a, j \notin \mathcal{S}_a}
$$
除以基数 $\left|\mathcal{S}_a\right|$ 确保类具有近似平衡的权重 (这正式称为原始最小切割问题的比率切割适应，其分母仅为 1）。 这个优化问题已被证明等同于找到等距矩阵 $\mathbf{S}=\left[\mathbf{s} 1, \ldots, \mathbf{s}_k\right] \in \mathbb{R}^{n \times k}\left(\mathbb{E E}, \mathbf{S}^{\top} \mathbf{S}=\mathbf{I}_k\right)$ 列定义 为 $\left[\mathbf{s}_a\right]_i=\delta i \in \mathcal{S}_a / \sqrt{\left|\mathcal{S}_a\right|}$, 最小化
$$
\operatorname{tr} \mathbf{S}^T(\mathbf{D}-\mathbf{K}) \mathbf{S}
$$
在哪里 $\mathbf{D}=\operatorname{diag}\left(\mathbf{K} \mathbf{1}_n\right)$ ) 解决这个离散问题被认为是 NP-hard [Luxburg, 2007]，但放松S仅仅是一个没有结 构约束的正交矩阵给出了直接的解决方案 $\mathbf{S} \in \mathbb{R}^{n \times k}$ 是 的集合 $k$ 与最小特征值关联的特征向量D $-\mathbf{K}$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。