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机器学习是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域，也就是说，利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据（称为训练数据）建立模型，以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用，如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉，在这些应用中，开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。

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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Theory versus Practice

Our first argument follows after numerous comparative experiments made between theoretical findings on Gaussian versus real data. Indeed, although mostly derived under simple and seemingly unrealistic Gaussian mixture models, many theoretical results mentioned above show an unexpected close match when applied to popular real-world (sometimes not so) large-dimensional datasets, such as the MNIST handwritten-digit dataset [LeCun et al., 1998], the related Fashion-MNIST [Xiao et al., 2017], Kannada-MNIST [Prabhu, 2019] and Kuzushiji-MNIST [Clanuwat et al., 2018] datasets, the German Traffic Sign dataset [Houben et al., 2013], deep neural network features of the now popular ImageNet dataset [Deng et al., 2009], used for state-of-the-art machine learning and computer vision applications, as well as numerous financial and electroencephalography (EEG) time series datasets. In particular, while most elementary machine learning methods discussed in this book cannot be applied directly on raw ImageNet images to yield satisfactory performance, when performed on “deep” features of the data (such as VGG, DenseNet, or ResNet features) obtained from independent deep neural networks, these algorithms tend to behave the same as with simple Gaussian mixtures [Seddik et al., 2020]. These seemingly striking empirical observations are indeed theoretically sustained by universality arguments arising from the powerful concentration of measure theory.

To be more precise, the following systematic comparison approach will be pursued in this book. An asymptotically nontrivial classification or regression problem is studied: that is, we assume that the problem at hand is theoretically neither too easy nor too hard to solve (as the one discussed in Section 1.1.3) and practically leads, in general, to, say, (binary) classification error rates of the order of $5 \%-30 \%$ and of relative regression errors also of the order $5 \%-30 \%$. In particular, we insist that the asymptotic random matrix framework under study is, in general, incapable to thinly grasp error rates below the $1 \%-2 \%$ region, which may be the domain of “outliers” and marginal data.

Having posed this nontriviality assumption, we shall generically model the data as being drawn from a simple mixture model, for example, the Gaussian mixture model that gives access to a large panoply of powerful technical tools. The theoretical results obtained from the proposed analyses (asymptotic performance notably) are thus function of the statistical means and covariances of the mixture distribution. To compare the theoretical results to real data, we then conduct the following procedure:
(i) exploiting the numerous and labeled samples of the real datasets (such as the $\sim 60000$ images of the training MNIST database), we empirically estimate the scalar functions of the statistical means and covariances (that determine the asymptotic performance of the method under study), for each class in the database;
(ii) we then evaluate the asymptotic performance that a genuine Gaussian mixture model having these means and covariances would have;
(iii) we compare these “theoretical” values to actual simulations.

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Concentrated Random Vectors and Real Data Modeling

The modeling assumption that the data vectors $\mathbf{x}i$ are linear or affine $\operatorname{maps~}{\mathbf{x}_i}=\mathbf{A} \mathbf{z}_i+\mathbf{b}$ of random vectors $\mathbf{z}_i$ constituted of i.i.d. entries is simultaneously an asset for random matrix analysis (by exploiting the degrees of freedom in the entries of $\mathbf{z}_i$ ) but a severe practical limitation, as few real datasets are likely of this simplistic form.

El Karoui [2009] provided a first means for random matrix theory to go beyond the “vector of independent entries” assumption. ${ }^9$ There, relying on elements of the concentration of measure theory, extensively developed by Ledoux [2005], El Karoui essentially shows (in a rather technical manner) that some of the early random matrix results from Pastur, Bai, and Silverstein remain valid under the assumption that the $\mathbf{x}_i \mathrm{~s}$ are concentrated random vectors. Roughly speaking, a random vector $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^p$ is concentrated if, for a certain family of functions $f: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}$, there exists a deterministic scalar $M_f \in \mathbb{R}$ such that
$$
\mathbb{P}\left(\left|f(\mathbf{x})-M_f\right|>t\right) \leq \alpha(t)
$$
for some decreasing function $\alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$; in general, $\alpha(t)$ will be of the form $\alpha(t)=C e^{-c t^q}$ for some $q>0$ and $C, c>0$ constants (which may depend on $p$ though). Intuitively, a concentrated random vector is a (random) point in high-dimensional space having “predictable scalar observation” $f(\mathbf{x})$, in the sense that, with (exponentially) high probability, $f(\mathbf{x})$ takes values very close to the deterministic $M_f$. Thus, in the (one-dimensional) “observable world,” the observation $f(\mathbf{x})$, which may typically be any performance metric of a machine learning algorithm on a test datum $\mathbf{x}$, appears to be “stable” for any concentrated vector $\mathbf{x} .{ }^{10}$

Ledoux and El Karoui mostly focused on concentrated random vectors defined on Lipschitz classes of functions $f$, that is, $\mathbf{x}$ is Lipschitz-concentrated if (1.14) holds for all $f$ such that $|f(\mathbf{x})-f(\mathbf{y})| \leq|\mathbf{x}-\mathbf{y}|$ for all $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^p$. These stringent constraints, however, make it hard to find random vector belonging to this class. As a matter of fact, in this class, the only standard random vectors are the Gaussian random vector $\mathbf{x} \sim \mathcal{N}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_p\right)$ and the uniform vector on the sphere $\mathbf{u}=\mathbf{x} /|\mathbf{x}| \sim \mathbb{S}^{p-1}$ for $\mathbf{x} \sim \mathcal{N}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_p\right)$. However, quite importantly, every $\mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^q$ Lipschitz-mapping $g(\mathbf{x})$ and $g(\mathbf{u})$ of these two random vectors, by definition, also belong to the class. ${ }^{11}$

A visual representation of the notion of concentration is presented in Figure 1.6. Yet, since the widest class of (Lipschitz) concentrated random vectors is restricted to Lipschitz maps of standard Gaussian vectors, at first sight, concentrated random vectors are seemingly no more elaborate models than linear and affine maps of Gaussian vectors. As a consequence, there is a priori no reason to assume that the mixtures of concentrated random vectors can model real data any better than Gaussian mixtures.

机器学习代考

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Theory versus Practice

我们的第一个论点是在对高斯的理论发现与实际数据进行了大量比较实验之后得出的。事实上，尽管大多数是在简单且看似不切实际的高斯混合模型下得出的，但上述许多理论结果在应用于流行的现实世界（有时并非如此）大维数据集（例如 MNIST 手写数字数据集）时显示出意想不到的紧密匹配 [ LeCun et al., 1998]，相关的 Fashion-MNIST [Xiao et al., 2017]，Kannada-MNIST [Prabhu, 2019] 和 Kuzushiji-MNIST [Clanuwat et al., 2018] 数据集，德国交通标志数据集 [ Houben 等人，2013 年]，现在流行的 ImageNet 数据集的深度神经网络特征 [Deng 等人，2009 年]，用于最先进的机器学习和计算机视觉应用，以及大量金融和脑电图 (EEG) 时间序列数据集。特别是，虽然本书中讨论的大多数基本机器学习方法不能直接应用于原始 ImageNet 图像以产生令人满意的性能，但当对从独立的数据中获得的数据的“深度”特征（例如 VGG、DenseNet 或 ResNet 特征）执行时深度神经网络，这些算法的行为往往与简单的高斯混合相同 [Seddik 等人，2020 年]。这些看似引人注目的经验观察实际上在理论上得到了普遍性论证的支持，这些论证源于测度论的强大集中。当对从独立深度神经网络获得的数据的“深度”特征（例如 VGG、DenseNet 或 ResNet 特征）执行时，这些算法的行为往往与简单的高斯混合相同 [Seddik 等人，2020]。这些看似引人注目的经验观察实际上在理论上得到了普遍性论证的支持，这些论证源于测度论的强大集中。当对从独立深度神经网络获得的数据的“深度”特征（例如 VGG、DenseNet 或 ResNet 特征）执行时，这些算法的行为往往与简单的高斯混合相同 [Seddik 等人，2020]。这些看似引人注目的经验观察实际上在理论上得到了普遍性论证的支持，这些论证源于测度论的强大集中。

更准确地说，本书将采用以下系统的比较方法。研究了一个渐近非平凡的分类或回归问题：也就是说，我们假设手头的问题在理论上既不太容易也不太难解决（如第 1.1.3 节中讨论的那样）并且实际上通常导致，比如说，（二进制）分类错误率的顺序5%−30%以及相对回归误差的顺序5%−30%. 特别是，我们坚持认为，所研究的渐近随机矩阵框架通常无法精确把握低于1%−2%区域，这可能是“异常值”和边缘数据的领域。

提出这个非平凡的假设后，我们一般将数据建模为从一个简单的混合模型中提取，例如，高斯混合模型，它可以访问大量强大的技术工具。因此，从所提出的分析（尤其是渐近性能）中获得的理论结果是混合分布的统计均值和协方差的函数。为了将理论结果与实际数据进行比较，我们进行了以下过程：
（i）利用真实数据集的大量标记样本（例如∼60000训练 MNIST 数据库的图像），我们根据经验估计数据库中每个类的统计均值和协方差（确定所研究方法的渐近性能）的标量函数；
(ii) 然后我们评估具有这些均值和协方差的真正高斯混合模型的渐近性能；
(iii) 我们将这些“理论”值与实际模拟进行比较。

计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Concentrated Random Vectors and Real Data Modeling

建模假设数据向量 $\mathbf{x} i$ 是线性的或仿射的
$\operatorname{maps} \mathbf{x}_i=\mathbf{A} \mathbf{z}_i+\mathbf{b}$ 随机向量 $\mathbf{z}_i$ 由 $\mathrm{iid}$ 条目构成同时 是随机矩阵分析的资产 (通过利用条目中的自由度 $\mathbf{z}_i$ ) 但 这是一个严重的实际限制，因为很少有真实数据集可能 是这种简单形式。

El Karoui [2009] 为随机矩阵理论提供了超越”独立条目 向量”假设的第一种方法。 ${ }^9$ 在那里，依靠 Ledoux [2005] 广泛发展的测度集中理论的要素，El Karoui 基本 上表明 (以一种相当技术性的方式) Pastur、Bai 和 Silverstein 的一些早期随机矩阵结果在假设 $\mathbf{x}_i$ s 是集中 的随机向量。粗略地说，一个随机向量 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^p$ 是集中 的，如果，对于某个函数族 $f: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}$ ，存在一个确定 性标量 $M_f \in \mathbb{R}$ 这样
$$
\mathbb{P}\left(\left|f(\mathbf{x})-M_f\right|>t\right) \leq \alpha(t)
$$
对于一些递减函数 $\alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$; 一般来说， $\alpha(t)$ 将是形 式 $\alpha(t)=C e^{-c t^q}$ 对于一些 $q>0$ 和 $C, c>0$ 常量 (可 能取决于 $p$ 尽管) 。直观上，集中随机向量是高维空间中 具有“可预测标量观察”的 (随机) 点 $f(\mathbf{x})$ ，在某种意义 上，以 (指数) 高概率， $f(\mathbf{x})$ 取值非常接近确定性 $M_f$. 因此，在 (一维) “可观察世界”中，观察 $f(\mathbf{x})$ ，通常可 以是机器学习算法在测试数据上的任何性能指标 $\mathbf{X}$, 似平 对任何集中向量都是”稳定的”x. ${ }^{10}$
Ledoux 和 El Karoui 主要关注在 Lipschitz 类函数上定 义的集中随机向量 $f$ ，那是， $\mathbf{x}$ 如果 (1.14) 对所有都成 立，则 Lipschitz 集中 $f$ 这样 $|f(\mathbf{x})-f(\mathbf{y})| \leq|\mathbf{x}-\mathbf{y}|$ 对所有人 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^p$. 然而，这些严格的限制使得很难找 到属于此类的随机向量。事实上，在这个类中，唯一的 标准随机向量是高斯随机向量 $\mathbf{x} \sim \mathcal{N}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_p\right)$ 和球体上 的均匀矢量 $\mathbf{u}=\mathbf{x} /|\mathbf{x}| \sim \mathbb{S}^{p-1}$ 为了 $\mathbf{x} \sim \mathcal{N}\left(\mathbf{0}, \mathbf{I}_p\right)$. 然而，非常重要的是，每 $\mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^q \operatorname{Lipschitz}$ 映射 $g(\mathbf{x})$ 和 $g(\mathbf{u})$ 根据定义，这两个随机向量也属于该类。 11
图 1.6 展示了浓度概念的可视化表示。然而，由于最广 泛的 (Lipschitz) 集中随机向量仅限于标准高斯向量的 Lipschitz 图，因此乍一看，集中随机向量似乎并不比高 斯向量的线性和仿射映射更复杂。因此，没有理由先验 地假设集中随机向量的混合可以比高斯混合更好地模拟 真实数据。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。