## 数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Null Space, Row Space, and Column Space

2023年4月7日

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## 数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Null Space, Row Space, and Column Space

Although this book has been written in the spirit of binding together matrices and any other concept developed, it might be the case that this section shows it like no other. Here we shall define four fundamental subspaces associated with each matrix, definitely ‘entangling’ matrices and vector spaces. These are the null space, the row space, and the column space of a matrix and the null space of its transpose.

Definition 29 The null space $N(A)$ of a $k \times n$ matrix $A$ over $\mathbb{K}$ is the solution set of the homogeneous system of linear equations $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$.
We proved in Example 3.1 the following proposition.
Proposition 3.8 Let $A$ be a $k \times n$ matrix over $\mathbb{K}$. The null space
$$N(A)=\left{\mathrm{x} \in \mathbb{K}^n: A \mathrm{x}=\mathbf{0}\right}$$
is a vector subspace of $\mathbb{K}^n$.
Example 3.16 Part I: The null space of $A$.
Consider the matrix
$$A=\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 2 & 2 \ 1 & 2 & 1 & 1 \ 2 & 3 & 3 & 3 \end{array}\right] .$$
To find the null space $N(A)$, we must solve the homogeneous system $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$.

## 数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Ax=b

Let $A$ be a matrix over $\mathbb{K}$ of size $k \times n$. Let $\mathrm{x}_0$ be a solution of the homogeneous system $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$ and let $\mathbf{x}_p$ be a particular solution of the system $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$. In other words, we are supposing that $\mathbf{x}_0, \mathbf{x}_p$ are vectors in $\mathbb{K}^n$ such that
$$A \mathrm{x}_0=\mathbf{0} \quad A \mathrm{x}_p=\mathbf{b} .$$
Example 3.20 Consider the system of linear equations
$$\underbrace{\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \ -2 & 2 & 0 \end{array}\right]}_A\left[\begin{array}{l} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 1 \ -2 \end{array}\right] .$$
The solution set of $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$ is $\left{\left(x_1, x_2, x_3\right) \in \mathbb{R}^3: x_1=x_2\right}$. Hence, for example, $\mathbf{x}_0=(3,3,-17)$ is a solution of $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$.

# 线性代数代考

## 数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Null Space, Row Space, and Column Space

$N(A)=\backslash$ left $\left{\right.$ math ${x} \backslash$ in $\backslash m a t h b b{K}^{\wedge} n: A \backslash m a t h b r{x}=\backslash m$

## 数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Ax=b

. 因此，例如， $\mathbf{x}_0=(3,3,-17)$ 是一个解诀方案 $A \mathbf{x}=\mathbf{0}$.

## 有限元方法代写

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