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数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Properties of an orthonormal basis

In this subsection, we prove that if we have an orthogonal set of vectors then they are linearly independent. We use this to prove that in an $n$-dimensional vector space, any set of $n$ orthogonal non-zero vectors forms a basis for that vector space. (Generally, checking orthogonality is easier than checking linear independence.)

Proposition (4.14). If $\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \ldots, \mathbf{v}_n\right}$ is an orthogonal set of non-zero vectors in an inner product space then the elements of this set are linearly independent.
How do we prove this proposition?
We want to prove that the vectors $\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \ldots, \mathbf{v}_n\right}$ are linearly independent, so we consider the linear combination:
$$
k_1 \mathbf{v}_1+k_2 \mathbf{v}_2+\cdots+k_n \mathbf{v}_n=\mathbf{O}
$$
and show that all the scalars are zero: $k_1=0, k_2=0, k_3=0, \ldots$ and $k_n=0$.

Why?
Because from chapter 3 we have:
(3.10). Vectors $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n$ are linearly independent $\Leftrightarrow$ the only solution to $k_1 \mathbf{v}_1+k_2 \mathbf{v}_2+k_3 \mathbf{v}_3+\cdots+k_n \mathbf{v}_n=\mathbf{O}$ is $k_1=k_2=k_3=\cdots=k_n=0$
Proof.
Consider the linear combination of the vectors $\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \ldots, \mathbf{v}_n\right}$ and equate them to the zero vector, $\mathbf{O}$ :
$$
k_1 \mathbf{v}_1+k_2 \mathbf{v}_2+k_3 \mathbf{v}_3+\cdots+k_n \mathbf{v}_n=\mathbf{O}
$$
Consider the inner product of an arbitrary vector $\mathbf{v}_j$ in the set $\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \ldots, \mathbf{v}_n\right}$ with the zero vector given in $(\dagger)$.

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|What does this proposition mean?

It means that orthogonality implies linear independence. For example, the vectors $\left{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\right}$ are orthogonal (perpendicular), therefore linearly independent.
We can go further, as the next proposition states.
Corollary (4.15). In an $n$-dimensional inner product space $V$, any set of $n$ orthogonal nonzero vectors forms a basis (or axes) for $V$.
Which tools do we use to prove this result?
Theorem (3.22) (a) of the last chapter which says:
Any linearly independent set of $n$ vectors $\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \ldots, \mathbf{v}_n\right}$ forms a basis for $V$.
Proof.
By the previous Proposition (4.14), we know that the set of $n$ orthogonal vectors are linearly independent.
By Theorem (3.22) we conclude that $n$ orthogonal vectors form a basis for $V$.
What does this corollary mean?
If we have an $n$-dimensional vector space with an inner product then any $n$ orthogonal (perpendicular) non-zero vectors form a set of basis (axes) vectors for that vector space.

However, vectors which are linearly independent may not be orthogonal. For example, the vectors $\mathbf{u}=\left(\begin{array}{ll}3 & 1\end{array}\right)^T$ and $\mathbf{v}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right)^T$ in $\mathbb{R}^2$ are linearly independent (we cannot make $\mathbf{v}$ from a scalar multiple of $\mathbf{u}$, and vice versa) but not orthogonal as you can see in Fig. 4.13.

线性代数代考

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Properties of an orthonormal basis

在这个小节中，我们证明如果我们有一个向量的正交集合那么它们是线性无关的。我们用它来证明在$n$维向量空间中，任何$n$正交非零向量的集合构成了该向量空间的一组基。(一般来说，检查正交性比检查线性无关性更容易。)

命题(4.14)。如果$\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \ldots, \mathbf{v}_n\right}$是内积空间中非零向量的正交集合，那么这个集合的元素是线性无关的。
我们如何证明这个命题?
我们想要证明向量$\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \ldots, \mathbf{v}_n\right}$是线性无关的，所以我们考虑线性组合:
$$
k_1 \mathbf{v}_1+k_2 \mathbf{v}_2+\cdots+k_n \mathbf{v}_n=\mathbf{O}
$$
证明所有的标量都是0 $k_1=0, k_2=0, k_3=0, \ldots$和$k_n=0$。

为什么?
因为从第三章我们知道
(3.10)。向量$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n$是线性无关的$\Leftrightarrow$$k_1 \mathbf{v}_1+k_2 \mathbf{v}_2+k_3 \mathbf{v}_3+\cdots+k_n \mathbf{v}_n=\mathbf{O}$的唯一解是$k_1=k_2=k_3=\cdots=k_n=0$
证明。
考虑向量$\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \ldots, \mathbf{v}_n\right}$的线性组合，并将它们等同于零向量$\mathbf{O}$:
$$
k_1 \mathbf{v}_1+k_2 \mathbf{v}_2+k_3 \mathbf{v}_3+\cdots+k_n \mathbf{v}_n=\mathbf{O}
$$
考虑集合$\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \ldots, \mathbf{v}_n\right}$中任意向量$\mathbf{v}_j$与$(\dagger)$中给出的零向量的内积。

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|What does this proposition mean?

它意味着正交性意味着线性无关。例如，向量$\left{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3\right}$是正交的(垂直的)，因此线性无关。
我们可以更进一步，正如下一个命题所述。
推论(4.15)。在$n$维内积空间$V$中，任何一组$n$正交的非零向量构成了$V$的基(或轴)。
我们用什么工具来证明这个结果?
最后一章定理(3.22)(a)
任何线性无关的$n$向量集$\left{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \ldots, \mathbf{v}_n\right}$构成$V$的一组基。
证明。
由前面的命题(4.14)，我们知道$n$正交向量的集合是线性无关的。
由定理(3.22)我们得出$n$正交向量构成$V$的一组基。
这个推论意味着什么?
如果我们有一个具有内积的$n$维向量空间，那么任何$n$正交(垂直)非零向量构成该向量空间的一组基(轴)向量。

然而，线性无关的向量可能不是正交的。例如，$\mathbb{R}^2$中的向量$\mathbf{u}=\left(\begin{array}{ll}3 & 1\end{array}\right)^T$和$\mathbf{v}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2\end{array}\right)^T$是线性无关的(我们不能从$\mathbf{u}$的标量倍数中得到$\mathbf{v}$，反之亦然)，但不是正交的，如图4.13所示。

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金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

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非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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