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勒贝格积分一词既可以指勒贝格积分提出的关于函数相对于一般度量的积分的一般理论，也可以指定义在实线子域上的函数相对于勒贝格积分度量的积分的具体情形。

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数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Accommodating Algebra

The real number line entails more than distance. We want to assign values to its points. We choose a point that will represent the origin, 0 , and then pick a second point, label it “1,” and use the distance between the origin and 1 as our basic linear unit. We can locate points whose distances from the origin correspond to integers and rational numbers. We can even locate points that correspond to irrational lengths such as $\sqrt{2}$, the length of the diagonal of a unit square. Taking mirror images across the origin, we locate the negatives of these numbers. We have imposed a system of a discrete set of objects – integers, rational numbers, algebraic numbers – onto our continuum of distances. But this system does not account for all points in $\mathbb{R}$. In 1844, Joseph Liouville proved that there are points on the real line that are not algebraic.

It is a very small and self-evident step to believe that every point on the continuum of the real line corresponds to a number, but this step carries enormous repercussions, for from now on we will be using the geometric notion of distance to inform our concept of number that, until now, had been restricted to quantities arising from algebraic constructions.

Although some mathematicians resisted expanding the notion of number beyond algebraic numbers, most recognized the need to do so. Foremost among them were Richard Dedekind and Karl Weierstrass.

Beginning in the academic year 1857-1858 and then every 2 years until the $1880 \mathrm{~s}$, Weierstrass lectured on analysis at the University of Berlin. In these lectures, he developed and expounded many of the basic principles of analysis. His students would work through these ideas, refine them, and eventually publish them. It was in these lectures that Weierstrass first explained what today we call the Bolzano-Weierstrass theorem. His proof rested on the nested interval principle. The shared attribution with Bernhard Bolzano arises from Weierstrass’s acknowledgment of his indebtedness to Bolzano’s 1817 proof that the convergence of every Cauchy sequence implies that every bounded, increasing sequence has a limit.

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Harnack’s Mistake

We take the ordering of the rational points in $[0,1]$ given in $(3.2)$ and call them $\left(a_1=\right.$ $\left.0, a_2=1, a_3=1 / 2, a_4=1 / 3, \ldots\right)$. We choose any positive $\epsilon$ and let $I_k$ be the open interval of length $\epsilon / 2^k$ that is centered at $a_k: I_k=\left(a_k-\epsilon / 2^{k+1}, a_k+\epsilon / 2^{k+1}\right)$. Does the union of these intervals contain all points in $[0,1]$ ? In other words, can we put the closed interval $[0,1]$ inside a countable union of open intervals whose lengths add up to $\epsilon$ ? This was a problem first posed by Axel Harnack in 1885 . He convinced himself that the answer is “yes.”

Axel Harnack (1851-1888) was the younger twin brother of the German theologian Adolf von Harnack. Axel earned his doctorate at Erlangen-Nürnberg University in 1875 , working under the direction of Felix Klein. He is best known for his work in harmonic analysis and the theory of algebraic curves.

In essence, what Harnack did was to ask himself, “What is the complement of a countable union of intervals?” He believed that it must also be a countable union of intervals. Think about this. The intervals might be open or closed or half-open/halfclosed, and a closed interval might be a single point. It is certainly true that the complement of any finite union of intervals is a finite union of intervals. It is not obvious that the same would not be true for countable unions. But if Harnack was right, then the complement of $\bigcup I_k$ is a countable union of intervals. The intervals in the complement must be single points, otherwise they would contain rational numbers between 0 and 1 . We now put each of these countably many points inside intervals whose lengths add up to $\epsilon$, and we now have all of $[0,1]$ contained within a union of countably many intervals whose lengths add up to $2 \epsilon$.

In fact, Harnack’s basic premise, that the complement of a countable union of intervals is a countable union of intervals, is wrong. The complement can be an uncountable union. Georg Cantor and others understood this. The flaw in Harnack’s reasoning underscores some of the complexity of the real number line as a set of numbers, and we shall treat it in full detail in the next section. But that does not prove that his answer was wrong. This was accomplished by Émile Borel in 1895.

勒贝格积分代考

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Accommodating Algebra

实数线所包含的不仅仅是距离。我们想给它的点赋值。我们选择一个代表原点的点 0 ，然后选择第二个点，将其标记为“1”，并使用原点和 1 之间的距离作为我们的基本线性单位。我们可以找到与原点的距离对应于整数和有理数的点。我们甚至可以找到对应于不合理长度的点，例如2, 单位正方形对角线的长度。在原点拍摄镜像，我们找到这些数字的负数。我们已将一组离散对象（整数、有理数、代数数）的系统强加到我们的距离连续体上。但是这个系统并没有考虑到所有的点R. 1844 年，Joseph Liouville 证明了实线上有些点不是代数点。

相信实线连续体上的每个点都对应一个数字是一个非常小且不言而喻的步骤，但是这个步骤带来​​了巨大的影响，因为从现在开始我们将使用距离的几何概念来告知我们直到现在，数字的概念仅限于代数构造产生的数量。

尽管一些数学家拒绝将数的概念扩展到代数数之外，但大多数人都认识到这样做的必要性。其中最重要的是 Richard Dedekind 和 Karl Weierstrass。

从 1857-1858 学年开始，然后每 2 年一次，直到1880 s, Weierstrass 在柏林大学讲授分析。在这些讲座中，他发展并阐述了许多分析的基本原则。他的学生会研究这些想法，完善它们，并最终发表它们。正是在这些讲座中，Weierstrass 首次解释了今天我们所说的 Bolzano-Weierstrass 定理。他的证明基于嵌套区间原则。与 Bernhard Bolzano 的共同归因源于 Weierstrass 承认他受益于 Bolzano 1817 年的证明，即每个柯西序列的收敛意味着每个有界的递增序列都有一个极限。

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Harnack’s Mistake

我们对有理点进行排序 $[0,1]$ 给予 (3.2)并打电话给他们 $\left(a_1=0, a_2=1, a_3=1 / 2, a_4=1 / 3, \ldots\right)$. 我们选 择任何积极的 $\epsilon$ 然后让 $I_k$ 是长度的开区间 $\epsilon / 2^k$ 以 $a_k: I_k=\left(a_k-\epsilon / 2^{k+1}, a_k+\epsilon / 2^{k+1}\right)$. 这些区间 的并集是否包含中的所有点 $[0,1]$ ? 换句话说，我们可以 把闭区间 $[0,1]$ 在开区间的可数并集内，其长度加起来为 $\epsilon$ ? 这是 Axel Harnack 于 1885 年首先提出的问题。他 说服自己答案是“是的”。
阿克塞尔·哈纳克 (Axel Harnack, 1851-1888) 是德国神 学家阿道夫·冯·哈纳克 (Adolf von Harnack) 的孪生弟 弟。阿克塞尔于 1875 年在费利克斯克莱因的指导下在 埃尔兰根-纽伦堡大学获得博士学位。他以在调和分析和 代数曲线理论方面的工作而闻名。
本质上，Harnack 所做的是问自己：“可数区间并集的补 集是什么?” 他认为它也必须是区间的可数并集。想想 这个。区间可能是开区间或闭区间或半开/半闭区间，闭 区间可能是一个点。任何有限区间并集的补集肯定是有 限区间并集。对于可数联合来说，情况并非如此，这一 点并不明显。但如果 Harnack 是对的，那么U $I_k$ 是区 间的可数并集。补码中的区间必须是单点，否则它们将 包含介于 0 和 1 之间的有理数。我们现在将这些可数个 点中的每一个都放在区间内，区间的长度加起来为 $\epsilon$ ，我 们现在有所有 $[0,1]$ 包含在可数个区间的并集中，这些区 间的长度加起来为 $2 \epsilon$.
事实上，Harnack 的基本前提，即可数区间并集的补码 是可数区间并集，是错误的。补语可以是不可数并集。 Georg Cantor 等人明白这一点。Harnack 推理中的缺 陷强调了实数轴作为一组数字的某些复杂性，我们将在 下一节中详细讨论它。但这并不能证明他的回答是错误 的。这是 Émile Borel 于 1895 年完成的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。