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勒贝格积分一词既可以指勒贝格积分提出的关于函数相对于一般度量的积分的一般理论，也可以指定义在实线子域上的函数相对于勒贝格积分度量的积分的具体情形。

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数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Hankel’s Types of Discontinuity

It is clear that Hankel was very impressed by Riemann’s example of a function (Example 2.1) that is discontinuous at all rational numbers with even denominators, yet is integrable. He sought to understand what happens in general. Using a technique that he dubbed “condensation of singularities,” Hankel showed how to take a function with a singularity at one point, either a discontinuity or an infinite oscillation such as $\sin (1 / x)$ near $x=0$, and use it to construct integrable functions with singularities at every rational number. Cantor would later simplify this method and show how to apply it to any countable set. What is significant for our purposes is that both the set of points at which the function is continuous and the set of points at which the function is discontinuous are dense.

The rational numbers are dense in $\mathbb{R}$. The rational numbers with even denominators are also dense. So are the irrational numbers.

Hankel noticed that all of his examples of integrable functions that are discontinuous on a dense set of points have the property that the set of points of continuity is also dense. The examples that we have seen so far of Riemann integrable functions that are discontinuous on a dense set of points include Riemann’s function (Example 2.1), the function $g$ in Exercise 2.1.5, and the function $m$ in Exercise 2.1.14. What characterizes all of these examples as well as the others that Hankel found is that the set of points of continuity are also dense. This suggested to him that he should separate discontinuous functions into two classes: those for which the points of continuity are not dense and those for which the points of continuity are dense.

Thus, for example, Dirichlet’s function (Example 1.1) is totally discontinuous since it is discontinuous at every point.

All of the examples that we have seen so far of Riemann integrable functions that are discontinuous on a dense set of points are pointwise discontinuous. Hankel believed that every pointwise discontinuous function must be Riemann integrable.

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Hankel’s Error

Hankel’s argument for his assertion that every pointwise discontinuous function is Riemann integrable is not unreasonable. We choose an arbitrary $\sigma>0$. If a function is continuous at one value, then we can find an interval around this value on which the oscillation is less than $\sigma$. If the set of points of continuity is dense, then we have succeeded in putting each element of this dense set inside an interval that contains no points of $S_\sigma$.

Those points with oscillation larger than $\sigma$ constitute a very thin set. Between any two points of this set there must be an entire open interval of points not in the set. Hankel believed that such a set must have outer content 0 and therefore must be Riemann integrable. This belief was reinforced by the fact that all of the examples of pointwise discontinuous functions that Hankel knew, examples such as Riemann’s function, were integrable.

Hankel’s fallacy, and he was not the only prominent mathematician to fall into it, was to assume that such a thin set cannot have positive outer content. Thomas Hawkins has presented evidence that between 1870 and 1875 this was the case for Hankel, for Axel Harnack, and for Paul du Bois-Reymond. But in 1878, when Ulisse Dini published his book on the theory of functions of real variables, Fondamenti per la teorica delle funczioni di variabili reali, Dini expressed doubt in the validity of Hankel’s claim. As we shall see in Chapter 4, finding the flaw in Hankel’s reasoning would greatly advance our understanding of the structure of the real numbers, as it also revealed problems with Riemann’s definition of the integral.

勒贝格积分代考

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Hankel’s Types of Discontinuity

很明显，黎曼的函数示例（示例 2.1）给汉克尔留下了深刻的印象，该函数在所有分母为偶数的有理数处都是不连续的，但却是可积的。他试图了解一般情况下发生的事情。汉克尔使用一种他称之为“奇点凝聚”的技术，展示了如何在一个点上取一个具有奇点的函数，或者是一个不连续点，或者是一个无限振荡，例如sin⁡(1/x)靠近x=0，并用它来构造在每个有理数处都具有奇点的可积函数。康托尔后来简化了这个方法，并展示了如何将它应用于任何可数集。对我们的目的来说重要的是函数连续的点集和函数不连续的点集都是稠密的。

有理数密集于R. 偶数分母的有理数也是稠密的。无理数也是如此。

Hankel 注意到他的所有在稠密点集上不连续的可积函数示例都具有连续点集也是稠密的属性。到目前为止，我们看到的黎曼可积函数在密集点集上不连续的例子包括黎曼函数（例 2.1）、函数g在练习 2.1.5 中，函数m在练习 2.1.14 中。所有这些例子以及汉克尔发现的其他例子的特征是连续点集也很密集。这向他建议，他应该将不连续函数分为两类：连续点不密集的函数和连续点密集的函数。

因此，例如，狄利克雷函数（例 1.1）是完全不连续的，因为它在每一点都是不连续的。

到目前为止，我们看到的所有在稠密点集上不连续的黎曼可积函数的例子都是逐点不连续的。Hankel 相信每一个逐点不连续的函数都必须是黎曼可积的。

数学代写|勒贝格积分代写Lebesgue Integration代考|Hankel’s Error

Hankel 断言每个点不连续函数都是黎曼可积的论点并非不合理。我们任意选择σ>0. 如果一个函数在一个值上是连续的，那么我们可以找到一个围绕这个值的区间，在该区间上振荡小于σ. 如果连续点集是稠密的，那么我们已经成功地将这个稠密集的每个元素放在一个不包含点的区间内Sσ.

振荡大于的那些点σ构成一个非常薄的集合。在这个集合的任意两点之间，必须有一个不在集合中的点的完整开区间。汉克尔认为这样的集合必须具有外层内容 0，因此必须是黎曼可积的。汉克尔知道的所有点不连续函数的例子，例如黎曼函数，都是可积的，这一事实加强了这种信念。

汉克尔的谬误，而且他不是唯一陷入其中的著名数学家，是假设这样一个薄集合不可能有积极的外部内容。托马斯·霍金斯提供的证据表明，在 1870 年至 1875 年间，汉克尔、阿克塞尔·哈纳克和保罗·杜布瓦-雷蒙德就是这种情况。但在 1878 年，当乌利塞·迪尼 (Ulisse Dini) 发表了他关于实变函数理论的著作 Fondamenti per la teorica delle funczioni di variability reali 时，迪尼对汉克尔的说法的有效性表示怀疑。正如我们将在第 4 章中看到的那样，找到汉克尔推理中的缺陷将极大地促进我们对实数结构的理解，因为它也揭示了黎曼积分定义的问题。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。