## 数学代写|信息论作业代写information theory代考|Some compactness criteria

2023年4月10日

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## 数学代写|信息论作业代写information theory代考|Compactness criteria on s

We have the following compactness criterion, due originally to Holevo and Shirokov [81] for closed subsets of $\mathcal{S}(\mathbb{H})$ (see Holevo and Shirokov [81] and Chang [22, 24]).
Theorem 3.2.1 (Prohorov’s compactness criterion). A closed subset $\mathcal{K} \subset \mathcal{S}(\mathbb{H})$ is compact (in the trace-class norm) if and only if for every $\epsilon>0$ there is a finite-dimensional projection $\mathbf{P}\epsilon$ on $\mathbb{H}$ such that $\operatorname{tr}\left[\rho \mathbf{P}\epsilon\right] \geq 1-\epsilon$ for all $\rho \in \mathcal{K}$.

Proof. $(\Rightarrow)$. We follow the proof provided in Chang [22] for necessity condition as follows. Let $\mathcal{K}$ be a compact subset of $\mathcal{S}(\mathbb{H})$. We want to show that for every $\epsilon>0$ there is a finite-dimensional projection $\mathbf{P}\epsilon$ on $\mathbb{H}$ such that $\operatorname{tr}\left[\rho \mathbf{P}\epsilon\right] \geq 1-\epsilon$ for all $\rho \in \mathcal{K}$. Suppose this were not true for contradiction purpose. Then there is an $\epsilon>0$ such that for any arbitrary finite rank projection operator $\mathbf{P}$ there exists a state $\rho \in \mathcal{K}$ such that $\operatorname{tr}[\rho \mathbf{P}]<1-\epsilon$. Let $\left(\mathbf{P}n\right){n=1}^{+\infty}$ be a sequence of finite rank projections on $\mathbb{H}$ monotonically converging to the identity operator $\mathbf{I}{\mathrm{H}}$ on $\mathbb{H}$ in the weak operator topology. That is, $$\lim {n \rightarrow+\infty}\left\langle\phi, \mathbf{P}n \psi\right\rangle{\mathbb{H}}=\left\langle\phi, \mathbf{I}{\mathrm{H}} \psi\right\rangle{\mathrm{H}}=\langle\phi, \psi\rangle_{\mathrm{H}}, \quad \forall \phi, \psi \in \mathbb{H}$$
Let $\left(\rho_n\right){n=1}^{+\infty}$ be the corresponding sequence of states in $\mathcal{K}$ such that $\operatorname{tr}\left[\rho_n \mathbf{P}_n\right]<1-\epsilon$ for all $n \geq 1$. Since $\mathcal{K}$ is compact, there exists a subsequence $\left(\rho{n_k}\right){k=1}^{+\infty}$ of $\left(\rho_n\right){n=1}^{+\infty}$ converging to a state $\rho_* \in \mathcal{K}$. Therefore, by construction, we have
$$\operatorname{tr}\left[\rho_{n_k} \mathbf{P}{n_l}\right] \leq \operatorname{tr}\left[\rho{n_k} \mathbf{P}{n_k}\right]<1-\epsilon, \quad \forall k>l$$ Hence, $$\operatorname{tr}\left[\rho\right]=\operatorname{tr}\left[\rho_ \mathbf{I}{\mathbb{H}}\right]=\lim {l \rightarrow+\infty} \operatorname{tr}\left[\rho_* \mathbf{P}{n_l}\right]=\lim {l \rightarrow+\infty} \lim {k \rightarrow+\infty} \operatorname{tr}\left[\rho{n_k} \mathbf{P}_{n_l}\right]<1-\epsilon$$

## 数学代写|信息论作业代写information theory代考|Compactness criteria

Let $\mathcal{A}$ be a closed subset of $\mathcal{S}(\mathbb{H})$ under trace-norm $|\cdot|_1$. We equip $\mathcal{P}(\mathcal{A})$, the space of Borel probability measures on $\mathcal{A}$, with the topology of weak convergence (see Billingsley [11] and Parthasarathy [122]). Recall that a sequence of Borel probability measures $\left(\mu_n\right){n=1}^{+\infty} \subset \mathcal{P}(\mathcal{A})$ is said to converge to $\mu \in \mathcal{P}(\mathcal{A})$ weakly if $$\lim {n \rightarrow \infty} \int_{\mathcal{A}} f(\rho) \mu_n(d \rho)=\int_{\mathcal{A}} f(\rho) \mu(d \rho), \quad \forall f \in C_b(\mathcal{A}),$$
where $C_b(\mathcal{A})$ is the space of bounded continuous real-valued functions on $\mathcal{A}$.
Since $\mathcal{A}$ is a closed subset of $\mathcal{S}(\mathbb{H})$, it is a complete separable metric space under the trace-norm $|\cdot|_1$. In this case, $\mathcal{P}(\mathcal{A})$ can be considered as a complete separable metric space under the topology of weak convergence (see Parthasarathy [122]).

Definition 3.2.6. A set $\mathcal{P}$ of Borel probability measures $\mathcal{P}(\mathcal{S}(\mathbb{H}))$ on $\mathcal{S}(\mathbb{H})$ is said to be tight if, for each $\epsilon>0$, there is a compact set $\mathcal{K} \subset \mathcal{S}(\mathbb{H})$ such that
$$\mu(\mathcal{K})>1-\epsilon, \quad \forall \mu \in \mathcal{P}$$
The proof of the following Prokhorov theorem can be found in Billingsley [11] or Parsatherathy [122] for any general metric space.

Theorem 3.2.7 (Prokhorov theorem). A subset $\mathcal{P}$ of $\mathcal{P}(\mathcal{S}(\mathbb{H})$ ) is tight if and only if is relatively compact under weak convergence.

In the following, we explore compactness properties of probability measures defined on a closed subset $\mathcal{K}$ of $\mathcal{S}(\mathbb{H})$.

# 信息论代写

## 数学代写|信息论作业代写information theory代考|Compactness criteria on s

Shirokov [81] 的封闭子集 $\mathcal{S}(\mathbb{H})$ ) (参见 Holevo 和
Shirokov [81] 以及 Chang [22、24]) 。

$\mathcal{K} \subset \mathcal{S}(\mathbb{H})$ )是紧湊的 (在跟踪类规范中) 当且仅当对于

$\operatorname{tr}[\rho \mathbf{P} \epsilon] \geq 1-\epsilon$ 对全部 $\rho \in \mathcal{K}$.

$\operatorname{tr}[\rho \mathbf{P} \epsilon] \geq 1-\epsilon$ 对全部 $\rho \in \mathcal{K}$. 出于矛盾的目的，假设 这不是真的。然后有一个 $\epsilon>0$ 这样对于任意任意有限 秩投影算子 $\mathbf{P}$ 存在一个状态 $\rho \in \mathcal{K}$ 这样 $\operatorname{tr}[\rho \mathbf{P}]<1-\epsilon$ . 让 $(\mathbf{P} n) n=1^{+\infty}$ 是一系列有限秩投影田单调收敛于 恒等算子IIH在㕧在弱算子拓扑中。那是， $\lim n \rightarrow+\infty\langle\phi, \mathbf{P} n \psi\rangle \mathbb{H}=\langle\phi, \mathbf{I H} \psi\rangle \mathbf{H}=\langle\phi, \psi\rangle_{\mathrm{H}}$ 让 $\left(\rho_n\right) n=1^{+\infty}$ 是相应的状态序列 $\mathcal{K}$ 这样 $\operatorname{tr}\left[\rho_n \mathbf{P}n\right]<1-\epsilon$ 对全部 $n \geq 1$. 自从 是紧致的，存 在子序列 $\left(\rho n_k\right) k=1^{+\infty}$ 的 $\left(\rho_n\right) n=1^{+\infty}$ 收敛到一 个状态 $\rho* \in \mathcal{K}$. 因此，通过构造，我们有 $\operatorname{tr}\left[\rho_{n_k} \mathbf{P} n_l\right] \leq \operatorname{tr}\left[\rho n_k \mathbf{P} n_k\right]<1-\epsilon, \quad \forall k>l$

$\operatorname{tr}[\rho]=\operatorname{tr}\left[\rho_{\mathbf{I}} \mathbb{H}\right]=\lim l \rightarrow+\infty \operatorname{tr}\left[\rho_* \mathbf{P} n_l\right]=\lim l \rightarrow$

## 数学代写|信息论作业代写information theory代考|Compactness criteria

$$\mu(\mathcal{K})>1-\epsilon, \quad \forall \mu \in \mathcal{P}$$

## 有限元方法代写

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