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信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。

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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Compactness criteria on s

We have the following compactness criterion, due originally to Holevo and Shirokov [81] for closed subsets of $\mathcal{S}(\mathbb{H})$ (see Holevo and Shirokov [81] and Chang [22, 24]).
Theorem 3.2.1 (Prohorov’s compactness criterion). A closed subset $\mathcal{K} \subset \mathcal{S}(\mathbb{H})$ is compact (in the trace-class norm) if and only if for every $\epsilon>0$ there is a finite-dimensional projection $\mathbf{P}\epsilon$ on $\mathbb{H}$ such that $\operatorname{tr}\left[\rho \mathbf{P}\epsilon\right] \geq 1-\epsilon$ for all $\rho \in \mathcal{K}$.

Proof. $(\Rightarrow)$. We follow the proof provided in Chang [22] for necessity condition as follows. Let $\mathcal{K}$ be a compact subset of $\mathcal{S}(\mathbb{H})$. We want to show that for every $\epsilon>0$ there is a finite-dimensional projection $\mathbf{P}\epsilon$ on $\mathbb{H}$ such that $\operatorname{tr}\left[\rho \mathbf{P}\epsilon\right] \geq 1-\epsilon$ for all $\rho \in \mathcal{K}$. Suppose this were not true for contradiction purpose. Then there is an $\epsilon>0$ such that for any arbitrary finite rank projection operator $\mathbf{P}$ there exists a state $\rho \in \mathcal{K}$ such that $\operatorname{tr}[\rho \mathbf{P}]<1-\epsilon$. Let $\left(\mathbf{P}n\right){n=1}^{+\infty}$ be a sequence of finite rank projections on $\mathbb{H}$ monotonically converging to the identity operator $\mathbf{I}{\mathrm{H}}$ on $\mathbb{H}$ in the weak operator topology. That is, $$ \lim {n \rightarrow+\infty}\left\langle\phi, \mathbf{P}n \psi\right\rangle{\mathbb{H}}=\left\langle\phi, \mathbf{I}{\mathrm{H}} \psi\right\rangle{\mathrm{H}}=\langle\phi, \psi\rangle_{\mathrm{H}}, \quad \forall \phi, \psi \in \mathbb{H}
$$
Let $\left(\rho_n\right){n=1}^{+\infty}$ be the corresponding sequence of states in $\mathcal{K}$ such that $\operatorname{tr}\left[\rho_n \mathbf{P}_n\right]<1-\epsilon$ for all $n \geq 1$. Since $\mathcal{K}$ is compact, there exists a subsequence $\left(\rho{n_k}\right){k=1}^{+\infty}$ of $\left(\rho_n\right){n=1}^{+\infty}$ converging to a state $\rho_* \in \mathcal{K}$. Therefore, by construction, we have
$$
\operatorname{tr}\left[\rho_{n_k} \mathbf{P}{n_l}\right] \leq \operatorname{tr}\left[\rho{n_k} \mathbf{P}{n_k}\right]<1-\epsilon, \quad \forall k>l $$ Hence, $$ \operatorname{tr}\left[\rho\right]=\operatorname{tr}\left[\rho_ \mathbf{I}{\mathbb{H}}\right]=\lim {l \rightarrow+\infty} \operatorname{tr}\left[\rho_* \mathbf{P}{n_l}\right]=\lim {l \rightarrow+\infty} \lim {k \rightarrow+\infty} \operatorname{tr}\left[\rho{n_k} \mathbf{P}_{n_l}\right]<1-\epsilon
$$

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Compactness criteria

Let $\mathcal{A}$ be a closed subset of $\mathcal{S}(\mathbb{H})$ under trace-norm $|\cdot|_1$. We equip $\mathcal{P}(\mathcal{A})$, the space of Borel probability measures on $\mathcal{A}$, with the topology of weak convergence (see Billingsley [11] and Parthasarathy [122]). Recall that a sequence of Borel probability measures $\left(\mu_n\right){n=1}^{+\infty} \subset \mathcal{P}(\mathcal{A})$ is said to converge to $\mu \in \mathcal{P}(\mathcal{A})$ weakly if $$ \lim {n \rightarrow \infty} \int_{\mathcal{A}} f(\rho) \mu_n(d \rho)=\int_{\mathcal{A}} f(\rho) \mu(d \rho), \quad \forall f \in C_b(\mathcal{A}),
$$
where $C_b(\mathcal{A})$ is the space of bounded continuous real-valued functions on $\mathcal{A}$.
Since $\mathcal{A}$ is a closed subset of $\mathcal{S}(\mathbb{H})$, it is a complete separable metric space under the trace-norm $|\cdot|_1$. In this case, $\mathcal{P}(\mathcal{A})$ can be considered as a complete separable metric space under the topology of weak convergence (see Parthasarathy [122]).

Definition 3.2.6. A set $\mathcal{P}$ of Borel probability measures $\mathcal{P}(\mathcal{S}(\mathbb{H}))$ on $\mathcal{S}(\mathbb{H})$ is said to be tight if, for each $\epsilon>0$, there is a compact set $\mathcal{K} \subset \mathcal{S}(\mathbb{H})$ such that
$$
\mu(\mathcal{K})>1-\epsilon, \quad \forall \mu \in \mathcal{P}
$$
The proof of the following Prokhorov theorem can be found in Billingsley [11] or Parsatherathy [122] for any general metric space.

Theorem 3.2.7 (Prokhorov theorem). A subset $\mathcal{P}$ of $\mathcal{P}(\mathcal{S}(\mathbb{H})$ ) is tight if and only if is relatively compact under weak convergence.

In the following, we explore compactness properties of probability measures defined on a closed subset $\mathcal{K}$ of $\mathcal{S}(\mathbb{H})$.

信息论代写

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Compactness criteria on s

我们有以下紧凑性标准，最初是由于 Holevo 和
Shirokov [81] 的封闭子集 $\mathcal{S}(\mathbb{H})$ ) (参见 Holevo 和
Shirokov [81] 以及 Chang [22、24]) 。
定理 3.2.1 (Prohorov 的紧姿性准则)。封闭子集
$\mathcal{K} \subset \mathcal{S}(\mathbb{H})$ )是紧湊的 (在跟踪类规范中) 当且仅当对于
每个 $\epsilon>0$ 存在有限维投影 $\mathbf{P} \epsilon$ 在 $\mathrm{H}$ 这样
$\operatorname{tr}[\rho \mathbf{P} \epsilon] \geq 1-\epsilon$ 对全部 $\rho \in \mathcal{K}$.
证明。 $(\Rightarrow)$. 我们遵循 Chang [22] 中提供的必要条件证 明如下。让 $\mathcal{K}$ 是一个紧失的子集 $\mathcal{S}(\mathbb{H})$. 我们想证明对于 每一个 $\epsilon>0$ 存在有限维投影 $\mathbf{P} \epsilon$ 在萠这样
$\operatorname{tr}[\rho \mathbf{P} \epsilon] \geq 1-\epsilon$ 对全部 $\rho \in \mathcal{K}$. 出于矛盾的目的，假设 这不是真的。然后有一个 $\epsilon>0$ 这样对于任意任意有限 秩投影算子 $\mathbf{P}$ 存在一个状态 $\rho \in \mathcal{K}$ 这样 $\operatorname{tr}[\rho \mathbf{P}]<1-\epsilon$ . 让 $(\mathbf{P} n) n=1^{+\infty}$ 是一系列有限秩投影田单调收敛于 恒等算子IIH在㕧在弱算子拓扑中。那是， $\lim n \rightarrow+\infty\langle\phi, \mathbf{P} n \psi\rangle \mathbb{H}=\langle\phi, \mathbf{I H} \psi\rangle \mathbf{H}=\langle\phi, \psi\rangle_{\mathrm{H}}$ 让 $\left(\rho_n\right) n=1^{+\infty}$ 是相应的状态序列 $\mathcal{K}$ 这样 $\operatorname{tr}\left[\rho_n \mathbf{P}n\right]<1-\epsilon$ 对全部 $n \geq 1$. 自从 是紧致的，存 在子序列 $\left(\rho n_k\right) k=1^{+\infty}$ 的 $\left(\rho_n\right) n=1^{+\infty}$ 收敛到一 个状态 $\rho* \in \mathcal{K}$. 因此，通过构造，我们有 $\operatorname{tr}\left[\rho_{n_k} \mathbf{P} n_l\right] \leq \operatorname{tr}\left[\rho n_k \mathbf{P} n_k\right]<1-\epsilon, \quad \forall k>l$
因此，
$\operatorname{tr}[\rho]=\operatorname{tr}\left[\rho_{\mathbf{I}} \mathbb{H}\right]=\lim l \rightarrow+\infty \operatorname{tr}\left[\rho_* \mathbf{P} n_l\right]=\lim l \rightarrow$

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Compactness criteria

让 $\mathcal{A}$ 是一个封闭的子集 $\mathcal{S}(\mathbb{H})$ 迹范数下 $|\cdot|1$. 我们装备 $\mathcal{P}(\mathcal{A})$ ， Borel 概率测度的空间 $\mathcal{A}$ ，具有弱收敛的拓扑结 构 (参见 Billingsley [11] 和 Parthasarathy [122])。回 想一下 Borel 概率测度序列 $\left(\mu_n\right) n=1^{+\infty} \subset \mathcal{P}(\mathcal{A})$ 据说收敛于 $\mu \in \mathcal{P}(\mathcal{A})$ 弱如果 $$ \lim n \rightarrow \infty \int{\mathcal{A}} f(\rho) \mu_n(d \rho)=\int_{\mathcal{A}} f(\rho) \mu(d \rho)
$$
在哪里 $C_b(\mathcal{A})$ 是有界连续实值函数的空间 $\mathcal{A}$.
自从 $\mathcal{A}$ 是的闭子集 $\mathcal{S}(\mathbb{H})$ ，是迹范数下的完全可分度量空
间 $|\cdot|_1$. 在这种情况下， $\mathcal{P}(\mathcal{A})$ 可以被认为是弱收敛拓扑 下的完全可分离度量空间 (参见 Parthasarathy $[122])$.
定义 3.2.6。一套 $\mathcal{P}$ Borel 概率测度 $\mathcal{P}(\mathcal{S}(\mathbb{H}))$ 在 $\mathcal{S}(\mathbb{H})$ 据 说是紧的，如果，对于每个 $\epsilon>0$, 有一个紧集 $\mathcal{K} \subset \mathcal{S}(\mathbb{H})$ 这样
$$
\mu(\mathcal{K})>1-\epsilon, \quad \forall \mu \in \mathcal{P}
$$
对于任何一般度量空间，可以在 Billingsley [11] 或 Parsatherathy [122] 中找到以下 Prokhorov 定理的证 明。
定理 3.2.7 (普罗霍罗夫定理)。一个子集 $\mathcal{P}$ 的 $\mathcal{P}(\mathcal{S}(\mathbb{H})$ ) 是紧的当且仅当在弱收敛下相对紧凑。
在下文中，我们探讨了在封闭子集上定义的概率度量的 紧湊性 $\mathcal{K}$ 的 $\mathcal{S}(\mathbb{H})$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。